Soit une surface

Pour abréger, nous représenterons par p et 9 les dérivées partielles du premier ordre ÿ), Fÿ(ir, y), et par r, s, t. les dérivées partielles

du second ordre {x, y), y), rjJ{a?, y).

Soit un point quelconque pris sur la surface. En ce point, où nous supposons l'origine des coordonnées transportée, le plan tangent a pour équation

()) ds — pdx — qdy = 0 ;

on a, d’ailleurs, pour équation différentielle du second ordre,

(2) (Pz — p(Px — qtPy = nPx ■+■ isdxdy -t- tdy'.

Considérons le cercle osculateur à une section plane faite sur la surface, pour le point dont il s’agit, et quel que soit ce cercle, concevons-le tracé sur la sphère.

par hypothèse, la sphère passe par l’origine, et l’on peut l’assujettir à toucher en ce point la surface donnée. On a donc, d’abord,

puis, différentiant l’équation (3)

(4) (x — a)dx -t- {y — b)dy {z — c) dz = o,

et posant x = 0 , y — 0 , z — o,

adx ■+■ bdy edz = 0 .

De là résulte, eu égard à l’identité du plan représenté par cette équation, et du plan tangent fourni par l’équation ( 1 )

il vient donc, en substituant dans l’expression de p,

Veut-on maintenant que pour deux sections quelconques faites par un même plan, l’une sur la surface donnée, l’autre sur la sphère, le point de contact devienne un point d’osculation? Il faut exprimer que, pour cliacune de ces deux sections, la courbure, en ce point, est la même de part et d’autre.

Différentions, en conséquence, l’équation (4) et posons x = o y = o, z^o, dans le résultat de la différentiation. Il vient ainsi

ad'x + bd'y ctf'z = dx' -t- dy' -e dz' = ou remplaçant n et 6 par leurs valeurs

(6) rf*2 — prf*i — çd’y = — ;

observons que, si le plan sécant est déterminé, les quantités dx, dy, dz le sont également. Donc , aussi , pour faire coïncider les équations de courbure (2) et (5), il suffit d’écrire

.. du*

(h) — = rdx' -t- ’îzdxdy + Idy*,

et l’on en déduit immédiatement

rd** -t- ’isdxdy -t- (dy*

Cela posé, s’il s’agit d’une section normale, la section qui lui correspond dans la sphère est un grand cercle, et elle a pour rayon de courbure le rayon p de la sphère. S’agit-il au contraire d’une section obliqne , la section correspondante est un petit cercle. Néanmoins la sphère, sur laquelle ce cercle est tracé, ne change pas, si les quantités dx, dy, dz, restent les mêmes , c’est-à-dire si la section oblique a même tangente que la section normale. Or, en ce cas, désignant par « l’angle des deux sections et par R le rayon du petit cercle , on a évidemment,

(8) R = ^ coft r.

SUR DEliX EQUATIONS FONDAMENTALES