II

Donc, pour toute section nomiale , le rayon de courbure est fourni par l’équation (7), et, pour toute section oblique ayant même tangente, par l'équation (8).

Que l’on compare ces diverses solutions à celles que fournissent les inétiiodcs ordinaires, et l’on devra convenir que, tout en gagnant sous le double rapport de la facilité des déductions et de la rigueur algébritpie, nous sommes parvenus à acquérir des notions plus précises et (iliis a|)profondies.

Dans le dernier exemple, nous avons fait usage des dilférentielles du second ordre. Il convient qu'avant de terminer, nous indiquions en quelques mots le sens qui s’attaclie en général à ces dilférentielles, ainsi qu’à celles des ordres supérieurs.

hil]'crentivlles des ordres suftérieurs.

üG. Reprenons l'équation dilférentielle

dy = r(.r)

et imaginons que la valeur attribuée à Aa- soit quelconque, mais constante.

L’expression f'(x) Ax peut alors être considérée comme variant avec l’origine de l’intervalle Ax. En ce cas l’on prend, pour objet direct de spéculation, l'étude dos cliangements que subit, avec celte origine, le rapport suivant lequel commence la génération simultanée des accroissements, et rien ii’cmpéche qu’on n’opère sur le produit /'(x) Ax, comme on l’a fait d’abord sur la fonction donnée y—f(x).

De là résulte, en dilTérentiant ,

d. dy = f"{x) ix*.

On aurait de même

d. d. dy — a**.

et ainsi de suite, indéfiniment.

En général, on rappelle par un indice le nombre des dilférenlialions

là

ETl.DE APPROFONDIE

effectuées successivement, et l’on a, pour la différentielle de l’ordre n,

il-y — f" {r)

Les notions qui précèdent peuvent suffire, en ce qui concerne la définition des différentielles des ordres supérieurs. Cependant, elles ne donnent point une idée précise de ce que sont ces différentielles par rapport aux différences du même ordre qui leur correspondent, et, ne fût-ce que par ce motif, il ne saurait être sans utilité d’établir, pour une différentielle d’un ordre quelconque, l’interprétation directe dont elle est immédiatement su.sccptible.

Nous avons établi n" -49 que lorsque la dérivée de l’ordre «, f'(x) se résout en une constante, l’on a

et, généralement, dans le cas contraire,

I étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que Sx.

De là résultent, comme conséquences faciles à démontrer, sinon tout à fait évidentes, les énoncés suivants :

1° C’est suivant une raison déterminée, cl exprimée , fiour chaque origine, jxir la valeur correspondante de la dérivée f"{x), que commence la génération simultanée des grandeurs S’y, Sx’;

2° Dans le cas des fonctions algébriques rationnelles et entières de l'ordre n, cette laison est constante ; elle est nulle jmur les mêmes fonctions d'un ordre inférieur. Sauf ces exceptions, elle est toujours variable avec x dans Cintcnalle Sx.

Cela posé, considérons une fonction quelconque autre que celles qui rentrent dans les exceptions précitées; si l'on supjxtse pour cette fonction que la dérivée de l’ordre ii conserve dans toute l’étendue de l’intervalle Aa' la valeur particulière qu’elle y affecte à l’origine, la différence de l’ordre n correspondante à cette hypothèse est généralement autre que la différence effective S’y. Pour l’en distinguer, on lui donne le nom de diD'érentielle , et l’on

SLR DEUX ÉQt AXIONS FONDAMENTALES H.'»

substitue à la caractéristique A la caractéristique d. L’on a ainsi etsimullanéinent

a-y == iJ* [/••(X) -t- $1 = ix- ]yj r-(x).

d’y = Jx". /'(x).

On voit, par ces détails très-simples, que la définition, donnée d’abord pour la différentielle du premier ordre, s’étend d’elle-môme aux différentielles des ordres supérieurs, la différentielle de l’ordre n n’étant, en général, qu’une différence ordinaire du même ordre prise dans une hypothèse partkuiière. Quant à cette hypothèse, voici en quoi elle consiste ;

On sait que la raison de proportionnalité, suivant laquelle commence la génération simultanée des grandeurs Ax" varie incessamment dans l’intervalle Ax. Cela posé, au lieu de considérer ce qui a lieu effectivement, c’està-dire la génération complexe qui correspond à la succession non interrompue des valeurs toujours changeantes et toujours transitoires do la raison dont il s’agit, on suppose que cette même raison, devenue jtcrmanente , persiste dans la valeur particulière qu’elle affecte à l’origine des accroissements. A cette hypothèse répond une différence ordinaire de l’ordre n exprimée par le produit /'“(x) Ax" et constituant, par rapport à la fonction donnée, la différentielle du même ordre d^y. A ce point de vue la différentielle n’est qu’une différence ordinaire. Toutefois elle ne doit pas être confondue avec la différence effective A"ÿ. De là le changement de caractéristique. Il accuse à la fois la distinction qui doit être maintenue entre les grandeurs A"i/ct d";/ et le lien de dépendance qui les détermine l’une par l’autre, et réciproquement.

D’après ce qui précède , il est visible que les formules générales (18) et (57) des numéros (d8) et (oO) peuvent s’écrire très-simplement à l’aide des différentielles des ordres supérieurs. Suppose-t-on, par exemple, que la fonction donnée soit développable en série convergente d’après la formule de Taylor? L’on a dans ce cas

MJ = dy

d'y il"y

— ~ + etc. + —

etc.

IKi

ETUDE APPROFONDIE, etc.

et [iliis gûnéralemeni