En résumé, la fonction

nous est donnée comme étant continue et constamment croissante dans

SL’R DEIX EQUATIONS FONDAMENTALES.

l'intervalle — x„, où pour chaque valeur attribuée à x, elle u’allecte jamais qu’une valeur effective, unique, réelle et déterminée.

Soient x et x + /i , deux valeurs quelconques comprises entre les valeurs extrêmes x# et x^,. Si, dans réquation (2), l’on remplace x par x + qu’on désigne par Ay l’accroissement correspondant de la fonction, il vient

(3) y MJ = f(x h) ,

et, soustrayant, membre à membre, l’équation (2) de l’équation (5),

(*) ày — f[x + h) — f{x).

Divisons l’accroissement de la fonction par l’accroi.ssement de la variable, désigné indifféremment, soit par h, soit par Ax, nous aurons pour résultat

(5, Aÿ ^ fjx ■■■ h)—f{x)

et comme l’équation (5) ne peut se déduire de l’équation (4), qu'elle remplace , que dans le cas où le diviseur, introduit à la fois dans les deux membres, est un nombre, nous ferons observer qu’il nous est absolument interdit de nous placer, relativement à l’équation (5), dans l’hypotbcse où ce diviseur s’annulerait.

Tout ce qui précède étant bien entendu, et restant toujours présent à la pensée, comme point de départ des déductions qui vont suivre, nous allons procéder à la recherche analytique des diverses conditions que peut subir le rapport ^ , lorsque, pour une valeur quelconque attribuée à la variable, l’on fait décroître l’accroissement h de manière qu’il converge indéfiniment vers zéro.

Recherche des diverses conditions que peut subir le rapport de t’accroisst^ent de ta fonction à l'accroissement de ta variable.

6. Eu général, le rapporl ~ dépend à la fois de x et de h. On conçoit néanmoins qu’il puisse être constant, ou du moins ne dépendre que de l’une ou de l’autre de ces deux quantités.

Examinons d’abord les cas les plus simples, et, en premier lieu, celui où le rapport ^ est supposé constant, indépendamment de toute valeur attribuée soit à h, soit à x.