AA) - (V. = C

C' étant une constante absolue. De là résulte en substituant,

(9) /-{x) = Cr. C .

Les équations (8) et (9) conduisent toutes deux à un seul et même théorème, susceptible d’être énoncé, comme il suit :

Lorsque , pour UH intervalle quelconque, le rapport ^ reste égal à C, indépendamment de toute valeur attribuée, soit à x, soit à h, la fonction y se résout pour ce même intervalle en une fonction linéaire de la forme

y = Cx C.

11 est d'ailleurs visible que la réciproque subsiste également, c'est-àdire que pour toute fonction linéaire de cette forme, l’on a uécessaireinent

— = C = const.

às

8. Le même mode de démonstration conduit à cet autre théorème.

Lorsque les accroissements de deux fonctions d'une même variable x, sont égaux pour toute l’étendue d'un même intervalle quelconque àx, la dilJérence des fonctions est constante ou nulle dans toute cette étendue.

Soient, en effet, f(x) et F(a:) les deux fonctions dont il s’agit. On a par hypothèse

De là résulte d’abord ,

f{x + A) — F(x + A) = f{x) — F(x), puis comme ci-dessus :

f{x) — F(x) = AA) — F (A) = cooit = C'. c. Q. F. D.