DEUXIÈME CAS

Le rapport ^ est suppose indépendant de h.

y. Supposons maintenant que le rapport ^ soit indépendant de h; il viendra

étant une quantité qui ne varie point avec h, mais qui peut dépendre de la variable x.

Si dans l’équation (10) nous remplaçons x par i + nous aurons :

C, étant ce que devient C, lorsqu’on y remplace x par x-\-h.

Les équations (10) et (11), ajoutées membre à membre, donnent.

(12) f[x ih) - f{x) = (C ^ C,) h.

D’un autre côté, si l’on opère directement sur l’équation (10) et qu’on y remplace /i par2/i, l’on a :

(15) ni -rU) - /-(x) = 2C A.

Il vient donc en vertu des équations (12) et (15),

et par suite

(lii (i, =s C.

Par li)'pothèse,Cest indépendant de h et peut dépendre de x. Si C dépend de X sans dépendre de h et qu’on y remplace x par x-)-/i, la quantité C ainsi obtenue, devient nécessairement dépendante de h. L’égalité (14)

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

prouvant que G, ne diiïère pas de G, il en résulte : 1° que G, ne dépend pas de /i; 2" que G ne dépend pas de x.

Goncluons, que, pour tout intervalle où le rapport ne dépend pas de /i, ce rapport est en même temps indépendant de x.