TROISIÈME CAS

Le rapfmrl ^ est supposé indépendant de x.

10. Supposons en dernier lieu que le rapport ^ soit indépendant de x; nous aurons,

(13) fis A. h) - fis) = C.A.

G étant une quantité qui ne dépend pas de x mais qui peut dépendre de h.

Soit ht — m étant un nombre entier quelconque, et G, ce que devient G lorsque, dans l’équation (15), on remplace h par /<,. On a d'abord ;

puis substituant à x les valeurs successives x -j- -{- 2A„ x -j- SA, etc.

J f(x ^ ih,) - f{T + A,) = C.A.

Les équations (16) et (17) ajoutées membre à membre donnent :

ou remplaçant mli, , par h.

La comparaison des équations (15) et (10) conduit à l'égalité.

D’un autre côté, si l’on désigne par h’ une valeur quelconque admissible pour h et telle que l’on ait ll' = nll^, il est évident qu’en opérant sur n comme on l’a fait sur m , on trouverait au lieu de l’équation (18),

c’est-à-dire

/(x -f- nh,.) — f{i) = nC,b,,

ou remplaçant C, par C, qui lui est égal,

Cela posé, imaginons que dans l’équation (15) on remplace h par /i' et désignons par C', ce que devient C par suite de cette substitution; nous aurons,

(il) -i- h-) - f{x) = C'A'.

Les équations (20) et (21) donnent

et par conséquent, eu égard à l'équation (15),

f{x h) — f{x) fix -e A') — f{x)

(«). . . . ' = - — = COD«l = c.

L’équation (22) montre que, pour toute valeur h' commensiirable avec h, la quantité! C demeure constante. Eu égard à la continuité de la fonclioti y, celte circonstance suflil pour que cette condition s’étende d’elle-mème aux valeurs de h' qui ne seraient |)oint conimcnsurablcs avec h.

On voit ihmc que C est une eonslante absolue et qu'en conséquence le rapport ^ ne peut être indépendant de ta variable x sa)is l’èlre en même temps de l’accroissement h.

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

11. D’après ce qui précède nous sommes en droit de poser la conclusion suivante ;

Abstraction faite du cas particulier et unique présenté par la fonction linéaire

y = Cx -t- C'.

Le rapport ^ est une fonction qui dépend, à la fois et toujours, des deux quatitités X et h.

Ce premier point établi, laissons de côté le cas simple des fonctions linéaires , et cherchons à reconnaître et à déterminer, d’une manière précise, ce qui arrive en général, lorsque, pour une valeur quelconque attribuée à X, l’accroissement /i converge indéfiniment vers zéro.

Élude des diverses conditions que peut offrir la variation du rapport — , la fonction y n'étant pas linéaire , et faccroissement h = Ax convergeant vers téro.

12. Nous commencerons cette étude par deux observations importantes. La première consiste en ce que, pour chaque valeur attribuée d’une part à la variable *, d’autre part à l’accroissement h, le rapport affecte toujours une valeur unique, réelle et déterminée. La seconde, en ce que ce même rapport est essentiellement continu, relativement à chacune des quantités x et h, c’est-à-dire que, variant avec ces quantités, il ne peut jamais subir aucun changement brusque, tant que l’une ou l’autre ne fait que croître ou décroître avec continuité.

Nous nous bornerons à démontrer la dernière de ces propositions, l’énoncé de la première suffisant pour en constater l’exactitude évidente.

Soit t une quantité moindre que h, et d’ailleurs aussi petite qu’on voudra; si, d’abord, on remplace x par x -f t dans le rapport on aura pour expression du changement subi par ce rapport

f{x-i-i+lt) - f{x-i-i) /■(*) f{x+i-i-h)- f{r+h)—[f{x-ti)—f{r)]

On troiivorail de même, en remplaçant h par h -|- i, que le changement correspondant a pour expression

Or il est manifeste que chacune des deux différences (1) et (2) converge indéfiniment vers zéro on même temps que i; il est donc inadmissible que pour aucune valeur attribuée, soit à x, soit à h. le rapport ^ puisse jamais subir aucun changement brusque, alors que l’une ou l’autre des quantités Æ et h ne fait que croître ou décroître d’une manière continue.

13. Lorsque, pour une valeur quelconque attribuée à x, l’accroissement h converge vers zéro, il est visible que le rapport se

trouve nécessairement assujetti à remplir l’une ou l’autre des quatre conditions suivantes :

1° Croître sans limites;

2° Converger vers une limite constante;

3° Osciller sans fin entre plusieurs limites;

4" Converger vers une limite qui dépend de la valeur attribuée à x et change avec cette valeur.

On conçoit que, tant qu’il s’agit exclusivement d’une ou do plusieurs valeurs particulières attribuées à la variable, l’une ou l’autre de ces quatre conditions puisse également se réaliser. En est-il de même pour une suite de valeurs qui se succéderaient continûment, ou sans écart assignable, dans toute l’étendue d’un intervalle quelconque déterminé? Tel est le point principal que nous avons actuellement à résoudre; nous le traiterons en nous plaçant d’abord et successivement dans chacune des trois premières hypothèses. Il suffira d’ailleurs que nous raisonnions sur des intervalles où les valeurs de x à considérer se succèdent continûment; les résultats obtenus dans ce cas s’étendent d’eux-mômes à celui où l’on imagine que, sans être continues, ces valeurs ne conservent, néanmoins, entre elles que des écarts indéfiniment petits.

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

1'' QLESTIOM A RÉSOIDIIE.

Est-il possible que, pour toutes les valeurs de x comprises dans un intert'alle quelconque déterminé, le rapport soit et demeure indéfiniment croissant, tandis que II converge vers zéro?

I-t. Soient Æ, cl Xj,, deux valeurs de x prises dans l’iniervalle que l’on considère, et où, par hypotlièse, le rapport devient indéfiniment grand à mesnre que It converge vers zéro. Si l’on désigne par x, une valeur quelconque intermédiaire et par /i, une valeur de li sulfisammeiit petite, on pourra toujours faire en sorte que l’on ait

A J. >>.) — fjr,)

K étant une quantité dont on dispose et qu’on peut prendre aussi grande qu’on voudra. La valeur du rapport ~ étant déterminée, nous supposerons que l’on ait attribue à K une valeur quelconque, satisfaisant à l’inégalité

Partons de la valeur x, prise à l’origine de l’intervalle que l’on considère; posons

et faisons pour les valeurs (x,, ù,), ainsi que pour les suivantes (Xj, /i,), (•®3> *3)5 etc., ce que j’ai indiqué pour la valeur générale x,. Nous aurons dans les mêmes conditions que pour l’inégalité (1)

) - A*.) > K A, f(x, + A.) -A».) > KA.

I A'.-. + *.-.)-A*.-<) > ka.,.