LE PARADOXE DE M. MARIUS AUBERT

Il s’agit de la compression adiabatique incontrôlée d’un gaz, aussi ample que l’on voudra et au moins assez ample pour que cette compression ne soit pas voisine d'une isentropique (fig. 1).

Soit un gaz parfait, renfermé dans un corps de pompe, au moyen d’un piston mobile. On admet qu'aucun échange de chaleur ne peut avoir lieu entre le gaz et les

solides limitants. A l’origine, le piston convenablement surchargé est bloqué, puis on débloque soudainement et on abandonne le système à lui-même.

M. Marius AUBERT applique le principe de l’équivalence. La pression imitiale du gaz étant p, et la pression finale P > p,, soit T, et T, les températures absolues initiales et finales, v, et v, les volumes initial et final, v, > v,, le travail effectué par les poids contre

le système sera égal à :

P (vo — bi).

Appliquant le principe de l’équivalence, ce travail devra, pour un gaz parfait,

être égal à la quantité de chaleur qu'il faudrait céder au gaz pour le porter de T, à T, à volume constant, soit (en unités homogènes) :

(a Le =);

SRE

d'où la relation indiquée par M. Marius AuBErT d’après G. Robin () : (1) Pr ct cl I n'y a plus qu’à introduire l'équation d'état Dr =UC= NX) TE c'est-à-dire, en l'espèce, quant à l’état initial et à l’état final:

Po Vo = (C —c) Lo,

< \ @ | Pn =(C—0T, pour parvenir à :

12e C I (3) Ho CR CET v G

tel est le résultat indiqué par M. Marius AUBERT.

est - DT - our un nr ie

En particulier, pour un gaz monoatomique — C

gaz diatomique.

Ce résultat qui, par exemple, pour un gaz diatomique, donnerait une pression P : . v 2 ; L s PMR infinie pour s — = peut paraitre, à première vue, paradoxal mais il ne l’est nullement {

à la réflexion comme nous allons le faire comprendre.

On peut, d’abord, observer que la formule (3) de M. Marius AUBERT implique seulement une relation nécessaire entre l’état initial et l’état final et qui n’est nullement nécessaire au Cours du mouvement, c’est-à-dire pour un volume v quelconque (au lieu de D;).

Il n'est donc ni contraire aux principes ni exclu qu’au cours du mouvement on puisse avoir :

v C—c RS ee

La relation (3) n’existant plus au cours du mouvement, cette limite en apparence infranchissable du rapport des volumes, ne se rencontre donc pas en réalité.

Basé uniquement, avons-nous dit, sur le principe de l’équivalence, le raisonnement de M. Marius AUBERT est absolument inattaquable, en l'hypothèse préalable, étant admise la notion de gaz parfait, ce qui est légitime mais, comme nous venons de le montrer, ce raisonnement ne nous fournit aucun renseignement quant aux états intermédiaires entre l'état initial et l’état final.

La formule (3) indique un accroissement considérable d’entropie; on a en effet,

à 24 Y SR RE [- ( = 1) (e) f

différence qui tend vers l'infini quand v,/v,, tend vers y/(y

1), au repos final.

(1) Gustave Robin, Œuvres Scientifiques, réunies et publiées sous les auspices du ministère de l’Instruction publique, par Louis Raffy, Professeur à la Faculté des Sciences de Paris, Gauthier-Villars (1901).

C’est donc que le mouvement, pour cette même valeur du rapport v,/v,, permet à l’entropie totale du fluide de demeurer finie. L'équation (1) s'écrit encore :

(4) f Gu + Pdn) — 0,

CRT c'est-à-dire :

Uÿ —Uy + P' (0, —0;) = 0, d’où :

P (0; — 00) + € (T1 — To) = 0.

La mécanique rationnelle, en l'espèce le principe des forces vives, nous fournit une autre relation qui n’est pas discutable. Soit m la masse du piston, surcharges comprises,

V la vitesse à tout instant de cette masse, p la pression du gaz à l'instant {; nous avons, à tout instant, la relation :

T2 G) — (P— p} do = 4 (7) Portant dans (4), on a P,v1 (6) É aU + pd = 0; € Po:to

La pression p se propage très rapidement et, si la vitesse du piston n'est pas comparable à la vitesse du son dans le fluide, la pression est sensiblement uniforme dans le cylindre.

Divisant alors la masse en tranches de volume spécifique ou température déter-

d'écrire l'équation (6) comme suit :

'P.v. 1 (7) frofra as, dé,

€ Doto € 0

T, et S,, du étant la température et l’entropie d’une masse du.

L'équation (7) d’'adiabatisme global permet cependant de supposer que les tranches échangent de la chaleur entre elles.

Alors si l’on écrit, pour une quelconque, l'inégalité de Clausius :

(8) y dde:

ayant :

(9) fau — 0 Ca

on peut montrer que (8) ne peut être vérifiée pour toutes les tranches et que l'inégalité de Claudius se renverse, au moins par certaines tranches à certains moments.

Portant en effet (8) dans (7) en vertu de (9), celte intégrale serait positive, ce qui est impossible, à moins d’avoir constamment l’égalité dans (8), ce qui est encore impos-

sible puisque l’entropie croît finalement.