Voir COUETTE, thèse

D ere

Cette hypothèse de la continuité de la vitesse aux limites ayant été appliquée également, il faut le dire, au problème d’une sphère tournant dans une enveloppe sphérique concentrique fixe, qui conduit à la formule dite classique et bien connue, c'est-àdire :

RÈR; M = 8rn60 ps © ps

où 6, est la vitesse angulaire de la sphère mobile intérieure, de rayon R;; R, étant celui de l’enveloppe sphérique fixe et n le coefficient de viscosité et, tout au contraire, de ce qui s'était passé pour la chute de la sphère, cette formule fut d’abord violemment contredite par l’expérience, ainsi qu'il résulte des recherches d’Amédée GuiLLEr qui conclut le premier à quelque déficience de la théorie préalable classique qui aboutit à la formule précitée (1).

Assez paradoxalement, alors que l'hypothèse criticable continuait d’avoir cours et de servir à l’occasion de recherches théoriques de mathématiques pures touchant à ces questions, ce furent les continuateurs du regretté Professeur Amédée GUILLET, qui eux ne croyaient pas à cette nécessité, supposée inéluctable de la continuité des vitesses aux limites qui, pour la première fois, parvinrent à observer expérimentalement le couple classique cependant depuis longtemps calculé, qu’implique cette continuité même en précisant, bien entendu, les conditions exceptionnelles de sa réalisation (?).

Il résulte donc de nos recherches mathématiques que nous exposerons pour ce qui est des mouvements plus généraux d’un liquide visqueux, c’est-à-dire impliquant des trajectoires non planes, que l’égalité de la vitesse du liquide à celle de la surface solide au contact immédiat est une impossibilité analytique qui découle des équations mêmes que l’on admet et ceci qu’il s'agisse des équations de NAVIER non linéaires ou de leur forme linéarisée d’après STOKES.

Nous savons parfaitement que les équations de la viscosité en particulier quand elles sont réduites à leur forme linéarisée, comme les équations dites de STOKES ou de STOKES-OSEEN ont fait l’objet d’un problème de DirICHLET-NEUMANN généralisé et dont l’intégration dépend d’une extension de la notion de potentiel de simple ou de double couche (%); nous pensons que les développements que nous allons immédiatement entreprendre feront saisir en quel sens on peut dire que les résultats généraux issus de ces théories mathématiques peuvent être illusoires.

Pour tout dire, ce sont des théorèmes d’existence en fonction de conditions aux limites supposées données, a priori, mais comme nous le verrons, on ne sait trop comment on pourrait réaliser ces conditions aux limites, sous leur forme la plus générale envisagée, ni même, ce qui serait plus grave, si on a bien le droit de se donner des conditions aux limites continues arbitraires sur la surface même du fluide, c’est-à-dire sans introduire implicitement quelque contradiction éventuelle.

Ce préambule permettra de bien voir comment nos recherches personnelles se raccordent aux recherches antérieures : savoir que, les équations déduites de la méca-

(1) A. GuizLET C. R 1935, 200, p. 442 et 1522.

(2) Jacques HüErz, Contribution à l'étude expérimentale des phénomènes anormaux en Mécanique des fluides visqueux C. R. T. 223, pp. 534-535; et du même auteur : Sur l'existence de plusieurs régimes où les forces de viscosité sont linéaires en fonction de la vitesse, C. R. T. 224, pp. 1205-1207.

H. pu BoscQ DE BEAGMONT, Essai de rationalisation des phénomènes anormaux en viscosité, GC. R."T., 223, pp. 535-537.

(3) Voir H. ViLLaT, Leçons sur les fluides visqueux. chap. v, vin et 1x.

nique classique et dont nous avons déjà exposé le point de départ, au cours de notre Chapitre III, c'est-à-dire les équations de Navier ou équations linéarisées de STokEs étant admises, le caractère de leur approximation avec les phénomènes, sera étudié d’abord en considération de cette question des conditions initiales qu’il ne faut donc pas prétendre déterminer, du moins en l’état actuel, au moyen de données indépendantes, à priori, ensuite en fonction de ce fait que les phénomènes expérimentalement constatés pourront exiger l'introduction de surfaces de singularités ou sillages au sein même du liquide; c’est-à-dire des lieux distincts des limites où, en fait, cependant les équations ne seront plus vérifiées.

Commençant par l'étude de cette question relative aux conditions aux limites et plutôt que d'envisager les circonstances les plus générales des mouvements, ce qui nous conduirait à des développements assez lourds et d’un intérêt pratique contestable, nous nous bornerons pour cela à une étude générale des mouvements à symétrie axiale et qui permettent des démonstrations particulièrement élégantes et suggestives aussi, quant aux applications. On comprendra aisément que si la proposition en vue est établie pour ces mouvements plus simples, a fortiori, doit-il en être, quant aux mouvements, plus généraux donc plus compliqués.

IV-2 En nous reportant à la notation de notre Section IV, s’agissant d’un liquide visqueux, nous avons ici en coordonnées rectangulaires (1) :

Fotos OT . dv du > . du dW Ponant DE Aro Xa =Aetenn( ti) : . dU , dW À MS — T1: ee Loue dE a

dWw

|A = Xs= Te Le = V3 =T; PONT

où p est une fonction du point x, y, z, qui tend vers la pression quand le coefficient de viscosité n ou la vitesse V de composantes u, v, w tendent vers zéro. Ces expressions impliquent donc, d’après leur forme même, le principe de l'égalité de l’action à la réaction dans son intégrité.

Substituant ces expressions (1) dans le système général (2) de notre Section IV, il vient immédiatement, A désignant le Laplacien :

‘Re du\ dp dv\ dp 7 +) @) | muse (x a) TR es ne) re NES

Telles sont donc les équations de Navier sous leur forme la plus générale.

Dans la pratique on considère que les forces extérieures se réduisent à la pensanteur c’est-à-dire que X = 0, Y — 0, Z — get, pour simplifier l'écriture, on conviendra de substituer p — pgz à p, ce qui revient finalement à écrire dans (2) que X = Ÿ = Z — 0 puis, développant d'autre part l’accélération, il vient :

) Voir Paul APPEL, Mécanique rationnelle, t. III, troisième édition, chap. XXxIx.

dp du du du à) SENS . pe — ( | pet 0 (u SPA ET CT AIT a | dp dv og dv . ©) 0 (3) | y Ti nAU + (u D + v dy Da ter ef p Cat de 5, — nAw +e(u se RES => HN 53 = 0

Les équations linéarisées de SrokEs se réduiront donc à :

{ dp du dp dv dp dw HE — — (CASTRES | 2107 EEE

À ces équations, nous adjoindrons l’équation de continuité pour les fluides incompressibles, soit :

ù. du (5) AVINE == + vos Sr 0.

Nous nous limiterons d’ailleurs aux circonstances du régime permanent, c’est-àdire que nous supposerons que :

du dv dw dl dt dt

En nous reportant à l’application de notre formule (6) de notre Chapitre III, l'énergie dissipée par unité de temps au sein du milieu fluide exclusivement, sera ici exactement donnée en substituant dans cette formule aux X,, Y,, Z;, leurs valeurs (1) de la présente section, soit donc :

yat du\ du dv du\ du du dW\ du — ff. AAAHERNERRRRRES = [(o . dx 1 | = ay (> = 2z dv . ) dv + ( 9 QE ( æ) dv der ou) sec ET Sous dy | dz) dz du | RE (© -) dw ( 9 dW\ dw > oz dt 5 ET da | onu Er 8

@ — ff VTeos(v nas 1 ff] [2(27) + (24 EJ +2 (+2) +

2L + QT dz dz REA LE

Telle est l'expression essentiellement positive de la fonctionnelle de Lord RAYLEIGH, dont nous avons ainsi précisé la signification exacte, ce qui n’avait été fait jusqu’à présent, comme On le comprendra avec évidence par les résultats paradoxalement nouveaux que nous déduirons de la stricte observation du sens de cette fonctionnelle.

Nous nous proposons maintenant de transformer en coordonnées cylindriques les équations (3) et l'expression (6) mais tout en tenant compte, au cours des calculs,

du fait simplificateur de la symétrie axiale admise: ce qui, en bref, revient à dire que les grandeurs physiques seront supposées indépendantes de l’angle polaire 6, c’est-à-dire

que V., V, étant les composantes axiale et radiale de la vitesse situées dans les plans méridiens et V, — rœ étant la composante normale à ces mêmes plans, nous écrirons :

ee CPE À A Dal:

| == QU RS RL Re @ | 20 26

Ayant posé :

D RICOSIOE tr Sint0, on a :

(8) Vos 9 —Vesin 6; v = V, sin 6 + V, cos 6, D),

on vérifiera d’une façon générale les résultats classiques suivants relatifs à une fonction quelconque À (r, z, 6).

on A Ada pon

: sr, HÉ Ue r r vi : A 1%A DA | NAS LR pre

MT aber

tenant compte des conditions de symétrie (7) et des relations générales (8) et (9) il vient :

Lite 0 u — cos 9 (Ye cos 0 — É ca sin o) mn (— V, sin 6 — V, cos 6),

cos 0 cos à Pupittes sin 0 — V, cos 0),

D = cos 0 (AN sin 0 + Dr cos 0) —* V, sin 6), cos 0 ; (10) - = sin 6 (5 sin 6 + 2% cos 9) + NS CV in or der l ” NERO, à dVy 4 ROVER RRENT "):

ESS ee por COURT #2 dr? TROT: Je 2 : dV JR PT AL PLE ET a PA UE DV ERONEE Vo E ve PER ( Ni 37 r dr r? | d2? |] MR ( Dr? L Tr TT T2 | 2 }: SVM UNE, CRETE éror) De 7- 1

substituant ces résultats dans les deux premières équations (3), limitées pour simplifier au régime permanent, il vient immédiatement :

De ONU TV , he) ( Det rs) ; É se > re En 1 Eu Ve dr L De 4 (Va 1 Va Va | a) e (v, L Vz Vs =) sin 0 — (0 A \ re Tr or” T2 dz2 z :

et une équation semblable à cela près, que sin 6 et cos 0 y sont permutés entre eux.

Le mouvement étant à symétrie axiale, il est clair que les facteurs ci-dessus de sin 0 et cos 0 étant indépendants de 6, doivent s’annuler séparément; tenant compte de la transformation plus facile de la dernière équation (3) et de l’équation (5), il vient finalement :

dp DE LV) MON Re ( M ” e nf sonate Ne Re IE VPN UNE ENS Ne A n ( 3 + RE 2 ) OPA races Lo PAN/z NA 0, (11) ùr T OT T dz dr Tr z | op DIN MI Ne ONE, dV, .

oz 1 dr? D à | 5) T0 Se à Ve S ZM De 0, DL Pen D CAE es \ dr Dre de

Semblablement, en substituant les relations (10) dans l’expression (6) tenant compte de V, — rw, w étant la vitesse angulaire, et de l'équation de continuité, il vient après quelques réductions :

27 D : do 2 do 27 dV, 2 Ve 2 | a — ff VT cos (v, D 45 = 2m ff} [($) + (2) +20) +20) :

dV, dr

ee) (5 =, l

2 \ + 2 (> | ) | r dr dz,

le champ d'intégration étant la moitié située d’un même côté de l’axe, de l'aire de la section méridienne du liquide.

Arrivés à ce point, nous avons une remarque essentielle à faire; nous plaçant pour fixer les idées dans le cas d’un corps solide de révolution tournant à vitesse uniforme w, autour de son axe, dans un récipient fixe, également de révolution et coaxial.

Si l'expression (12) était formellement égale à l’énergie dissipée par unité de temps dans le système, désignant par F le couple constant à appliquer au corps tournant pour le maintenir en mouvement, nous aurions nécessairement :

(13) ee [| VT cos (V, T) dS.

Mais, en admettant même que cette équation soit vraie, ce qui n’est pas analytiquement prouvé, ce ne saurait être qu’une équation et non une identité et, comme nous allons le voir, cette distinction à établir et jusqu'alors négligée est capitale en la question.

Pour cela il nous va falloir maintenant calculer directement l’expression tout à fait remarquable de ce couple.

En se reportant à des calculs qui ont été effectués au paragraphe III-3 de notre Chapitre III, on voit qu’au signe près :

D ff fr GS + 8% + VD — y GX + EXe + vX)] d8,

l'intégrale étant étendue, par exemple, à la surface du corps tournant (1).

(1) D'après ce que nous avons établi on parviendrait au même résultat, en intégrant sur l’enveloppe extérieure ou sur toute surface de courant séparant l'enveloppe du corps immergé.

TPE

Substituant alors dans l'intégrale les expressions correspondantes des formules (1) on a :

Literie d CARS dv dW , dv D ff af (+ 3) +8 (020) 0 (0 + 2)]

à nou dv du dt dw\ AU [- (p A 5) —#ù (È us — vi É 5e ne.) | | dS.

OR OT Désignant par + l'angle de la normale à la section méridienne de la surface de révolution avec l’axe O7, 0 étant comme précédemment l’angle polaire, nous avons ici :

| &« —= Sin æ Cos 8, 6 — sin y sin 8, Y = COS 9, D TACOSI0, YTISIN0, subsituant encore, on a :

T = —) | [sin ® (sin? 6 — cos? 6)

te.

OU pe OU SU DD se 19 + Se à à + 2 sin ® sin 6 cos 0 )

dx OÙ

dy DZ

En fait, l'expression à intégrer est précisément le moment de l’élément de la composante de l'effort, normale aux plans méridiens, soit :

r=—//T,rds,

substituant donc dans -” les expressions tirées de (10) il vient successivement : “

: DV dV sin 0 ; Ta sin © (sin? 6 — cos? 8) | cos 8 ( T sin 8 + — cos o) — —— (V, cos 8 — V, sin 6) î À dr dr L V Mes cos 0 . :

+ sin 6 (: cos 0 — pe sin o) SE (— V, sin 8 — V, cos 6) |

dV ddr sin 0 :

+ 2 sin 9 sin 6 cos 8 | cos 6] ( cos 0 — = sin o) + Sr (V, sin 8 + V, cos 0)

— sin 0 (ri sin 0 + + cos o) (V, cos 6 — V, sin | — cos Ô cos © ee SINO EE ee sin 6 + . cos o) + cos + sin 8 ee COs 0 — Le sin 0 + … cos 5) D = — cos 9 D — sin ç = sin gt = — sin gr 2e — cos gr Se

puisque V, = ro.

I1 vient finalement, au signe près, toutes réductions faites :

do do (14) 1 = 27" fe (È GES Dr az)

TORTe

l'intégrale curviligne étant prise sur la méridienne de la surface intéressée, d’un pôle à l’autre (1).

Cette expression du couple T a ceci de très remarquable qu'il n’y figure d'autre terme de la vitesse que la vitesse angulaire, ce qui ne veut point dire cependant que les composantes V,, V, des plans méridiens n’interviennent, comme nous le verrons d’ailleurs par la suite, pour influencer la valeur de la composante V, — ro normale à ces plans.