HUIT

ce qui démontre ce que nous venons de dire.

(1) En développant, on obtiendrait :

24 d 2( 26 3 ERREUR E (ru) = rt (PE +

E (4) = 27° r ?r 97? gr?

Les courbes méridiennes (21) devront donc être des courbes fermées se réduisant

ne LTD ENEDT , d’une part, à des points singuliers définis par le système ol 0, et, d’autre part,

aux limites et à l’axe selon la fig. 2.

Ces courbes fermées s’obtiendront en déterminant des solutions 4 (r, z) de la dernière des équations (19) constantes sur le contour simplement connexe comprenant deux segments de l’axe, x, B, y, 3, Ë, €, «, de la figure. L’équation en question étant du quatrième ordre il est évident qu’il existe une infinité de solutions satisfaisant à la question, nous verrons, un peu plus loin, quel sens il faut attacher à cette circonstance.

D'après ce que l’on sait des équations de ce genre, une solution pourrait d’ailleurs

dy Para être déterminée en se donnant la dérivée normale an le contour limite en question,

ce qui reviendrait à se donner les vitesses mais ceci soulève précisément d’autres diffcultés, comme on le comprendra mieux par la suite.

Fig. 2.

Quand on aurait déterminé ainsi une solution % il faudrait encore qu’elle s'accorde avec la solution w tirée de la seconde équation, c’est-à-dire que les trajectoires qui s’enroulent sur les anneaux dont les courbes 4 — Ce sont les sections méridiennes, se referment après avoir décrit un nombre entier de tours autour de l'axe. Nous reviendrons tout à l’heure sur l'étude de cette condition nécessaire (?).

On pourra observer maintenant qu'aucune solution à de :

ne pourra impliquer de vitesses méridiennes continues aux limites. Ayant, en l'hypothèse de continuité des vitesses sur les limites, S — S — 0, c’est-à-dire — 0, sur ces limites, il est vraisemblable qu’une solution constante sur la limite simplement connexe envisagée et dont la dérivée normale serait nulle sur cette même limite, devrait se réduire à une constante à l’intérieur du contour correspondant.

Nous allons, en effet, retrouver ce résultat par une autre voie applicable au cas général des équations non linéaires, quant auxquelles nous admettrons que les renseignements que nous avons obtenus sur l’allure générale des trajectoires pourront se transposer, ce qui est d’ailleurs évident, l'établissement des résultats indiqués n’ayant nullement fait appel au caractère linéaire des équations.

(1) Du BoscQ DE BEAUMONT, C. R., loc. cit. ante,

Nous allons maintenant comparer les expressions de l’énergie dissipée dans le liquide, par unité de temps, en l'hypothèse de la continuité des vitesses aux limites, en les tirant successivement de (13) et (14).

Soit donc, en cette hypothèse, «, et w, les vitesses angulaires constantes, de l’une et l’autre limite, au signe près cette énergie sera égale, d’après (14) à :

3 do do A CON ET) (9 &) rh (oo @1) a r F dr Sr d

her fr (5 - dr — de):

la première intégrale curviligne pouvant être étendue, comme il a été dit à l’une ou l’autre limite indifféremment, ce qui permet de considérer la dernière comme liée au contour

simplement connexe x, 8, y, 5, e, €, « précédemment décrit, En appliquant la formule de GREEN il vient encore :

— 2 [| LC) “+ (| L