CAT

Observant, quant au signe, que dans le cas des équations de Srokes, E (r2œ) — 0 et que la première intégrale est essentiellement positive; en l'hypothèse de la continuité on a donc, en définitive, l’équation :

Jr [Ce 4: ) | dr dz + reE (re) dr dz el Qc CT 207

+9 ei] D (= he ] | r dr dz.

Il reste donc :

(22) [fre (r20) dr dz LIE Ce) + 2 () + 2 2 (2 ) + (5 ne ve) | r dr Dz

dz ùr

En l'hypothèse des équations linéarisées de Srokes E (r?) — 0 et la démonstration est immédiate. Le second membre montre qu’on doit avoir :

DT dr

Ainsi l'hypothèse de la continuité ne s’appliquerait, pour ce qui est de la vitesse méridienne, qu’au cas d’une translation axiale en bloc que nous pouvons laisser de côté.

Quant aux équations complètes, la seconde équation (17) s’écrira :

nat re (ru) = © [EE |

Nous allons montrer que l'intégrale :

ff ro (r?o) dr dz — : [le En) drdz = 2 [J dvd (r20)

te ve

est encore nulle.

Or le champ de cette intégrale, dans le plan des variables 4, w, est formé de deux feuillets se recouvrant exactement; les éléments d’aires y ayant des signes contraires aux points se correspondant.

Il suffira de montrer que, pour une valeur déterminée de 4, les termes de l’intégration partielle sont égaux; c’est-à-dire, désignant par r et r* les expressions de r (w, 4) dans l'un et l’autre feuillet, qu’on doit avoir :

1 od (r2o) = 12 od (r*2o),

e Ga € a

sachant que sur le bord :

1? (@w Ÿ) Te (o, d)

r*? (as 4) to (o, d)

En fonction de ce qui précède, on a alors, en intégrant par parties :

GO» [ar] 204% — F r26do

t Oa © Oa

Or d (rw) est une intégrale première des caractéristiques de la seconde équation 17, ci-dessus rappelée, où 4 est l’inconnue, par suite :

Po = ro = f().

Les intégrales précédentes sont donc identiques quel que soit 4 et leur différence est identiquement nulle. L'intégrale double en question est donc identiquement nulle (1).

Désignant, par non dégénérés, les mouvements comprenant simultanément une composante méridienne des vitesses et une autre normale aux plans méridiens, nous pouvons donc énoncer que :

— les mouvements permanents à symétrie axiale, non dégénérés, d’un fluide visqueux incompressible sont nécessairement discontinus aux limites, comprenant par là que la vitesse du fluide diffère de celle des parties solides en contact immédiat.

Ayant établi, au début du présent paragraphe, que les mouvements dépendant des équations de NAVIER complètes ne sont jamais dégénérés au sens qui vient d’être défini dès lors que la vitesse angulaire n’est pas nulle, nous pouvons dire que :

| (1) La démonstration du cas non linéaire a été établie en collaboration avec J. Martinek, en modification du texte primitif.

— les mouvements permanents lournoyants à symétrie axiale {mouvements giraloires) dépendant des équations de NAviER complètes sont nécessairement discontinus aux limites.

Que peut-on dire maintenant des mouvements giratoires dépendant des équalions linéarisées de SrokEs?

Pour répondre à cette question, nous allons reprendre celle, laissée précédemment en suspens, de l'accord à réaliser entre les différentes composantes des vitesses, c’est-à-dire en fait, entre la jonction de courant + et la vitesse angulaire w, pour que les trajecloires permanenles se referment ou, en bref, pour que la cohérence du mouvement permanent soit assurée.

Nous sommes, bien entendu, en régime linéaire de Srokes. Revenant à nos équations (20) des trajectoires, ce sont les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre :

d® ‘ d0 dY ; d0 D2MOT de à}

— ro,

En y supposant 4 et « donnés, les caractéristiques seront tracées sur les surfaces intégrales 0 (r, z) de l'équation (23), ces surfaces présenteront les points méridiens station- : RES dY d4 à naires définis par RER 0. On peut se représenter ces surfaces dans l’espace à trois dimensions comme des hélicoïdes recourbés dont la droite directrice serait devenue une circonférence répondant précisément au lieu de ces points stationnaires en question La surface sera donc analytique mais comprenant une circonférence singulière, celle que nous venons de désigner et qui concerne un certain anneau de l’espace axé sur cette circonférence. Ainsi les surfaces 6 {r, z) pourront se décomposer comme appartenant à différents anneaux foriques contigus, chacun de ces anneaux étant défini par sa circonférence singulière dont il constitue, en quelque sorte, l’atmosphère spaliale.

Nous isolerons un anneau, c’est-à-dire que nous allons voir comment les trajectoires, appartenant à l’atmosphère d’une circonférence singulière, c'est-à-dire, d’un point stationnaire du plan méridien, peuvent se refermer après un certain nombre de tours.

Il résulte directement du système (20) et des remarques que nous venons de faire à propos des surfaces intégrales 6 {z, r) de (23), que pour toute courbe fermée % (r, z) — Cie ne renfermant qu’un point stationnaire, on peut définir le nombre 6 :

ro dz CNT à

qui ne dépendra pas de la courbe individuellement choisie et qui représentera la circulation autour du point méridien stationnaire considéré. De la considération de ce nombre, N étant ensuite un nombre rationnel, on déduit

que le nombre À donné par :

N ro (25) = fat

est un facteur à appliquer à 4, en sorte que w et 4 étant donnés d’abord, ensuite la fonction de courant hy sera celle qui, conjuguée avec w, réalisera la fermeture corrélative de

toutes les trajectoires appartenant à l'atmosphère de l'anneau considéré. L’arbitraire N indiquant le nombre de spires entier ou fractionnaire par tour (?).

Nous remarquerons, en effet, que le premier membre de (23) étant le jacobien

ie D tant qu'il ne s’annule pas, c’est-à-dire tant que, d’après (23) ro Æ 0 il y a

correspondance bi-univoque entre (4, 0) et fr, z).

: A dy SE ; :

Vu la discontinuité de dän limites, que nous avons établie, nous manquons

totalement d'éléments pour la détermination complète de 4 fr, z) et, par contre-coup, comme nous allons le voir, pour celle de © (r, z). Il y aurait donc une infinité de mouvements possibles et nous venons précisément de voir comment, fait que l'expérience d’ailleurs confirme, il existe des vitesses critiques «, de bifurcation, d’un mouvement à l’autre et qui paraissent dépendre de la viscosité et de la nature du liquide. L'expérience a également montré que les points de bifurcation pour un système donné étaient bien déterminés et qu'entre ces points la fonction T = /(w,) ou T est le couple appliqué au corps tournant et w, sa vitesse angulaire, est un segment de droite et l'effet proportionnel au coefficient de viscosité.

Ce dernier point qui avait été observé par Amédée GUILLET (?) est facile à comprendre si l’on admet le régime de STokEes. Reprenons les équations (4) limitées au régime permanent soit :

en & èp 5 dp pa (26) Ses DAUE=IO), du nAv = 0, a nAw = 0,

tenant compte de :

on tire immédiatement de (26) :

(27) TS AD == 0). AAU—=:0, AAv=.0, AA =" 0,

sous cette forme, le champ du vecteur {u, v, w) apparaît comme étant indépendant du coefficient de viscosité n tandis que dans le cas du système non linéarisé (3) ce champ dépend du coefjicient cinématique de viscosité v — ” Si nous rappelons maintenant notre expression (14) du couple :

do do | 1250 [ (2 re +):

L j Sd Sr À

il devient encore manifeste qu’en régime de Srokes le couple doit être proportionnel au coefficient de viscosité et qu'il n’en peut être ainsi en régime hydraulique, c’est-àdire quand on conserve les termes carrés qui se présentent dans la théorie des liquides

() Voir Du Bosco DE BEAUMONT, C. R., loc. cit. ante.

(2) Amédée GUILLET, DU BoscQ DE BEAUMONT, Jacques HUETz, loc. cit. ante et Mari ; Ë RE q ; . ane et Marius AUBERT et Jean Vir-

parfaits. Sur ce point, nous ne pouvons donc adhérer à l'explication que M. Fernand CHar- RON pense devoir donner de nos phénomènes qu’il a lui-même observés et qu'il tente d'expliquer par l'intervention d’une force centrifuge (1).

En résumé, nous voyons que, dans le cas des équations linéarisées, plusieurs

mouvements sont possibles jusques et y compris le mouvement circulaire classique qui correspond à la solution analytique continue de :

do 3 do c E(e)= =: +: =. Le a = 0, prenant donc deux valeurs constantes w, et o, sur les limites, ces diverses solutions possibles étant analytiquement séparées les unes des autres, comme il résulte de notre étude précédente.

C'est précisément cette solution continue que Jacques Huerz le premier, Amédée GuiLLeTr n'ayant pu l’observer, a pu mettre en évidence dans le cas de sphères concentriques, ensuite avec des ellipsoïdes et des plaques, dont on calcula préalablement les formules exactes, celles données jusqu’avant nos recherches étant au surplus foncièrement erronées. L'accord avec l'expérience s’est révélé parfait pour des huiles suffisamment visqueuses (?).

Nous avons constaté l'impossibilité théorique de déterminer entièrement 4 (r, z) et également qu'il devait être possible de refermer toutes les trajectoires corrélativement, sauf peut-être sur certaines surfaces singulières.

En particulier, admettant l'existence de 4 {r, z) pourrait-on continuer à déterminer © (r, z) au moyen de la fonction continue, solution de l'équation E (r?œ) — 0, ainsi déterminée de façon unique? Du point de vue de la fermeture des trajectoires que nous avons examinée rien ne s’y oppose, mais il existe précisément d’autres conditions de compatibilité qui résultent des considérations suivantes

En nous reportant aux équations (13) et (14) dont nous avons tiré (22) on parviendrait, en cette hypothèse de la continuité de « (r, z) à cette conclusion que l'énergie dépensée dans le fluide seulement, alors qu’il existerait effectivement une composante méridienne, serait supérieure à celle dépensée dans le système en son entier. Nous devons donc repousser la continuité de la vitesse angulaire dès lors que l'expression classique du couple est à rejeter, c’est-à-dire dès après le premier point critique constaté expérimentalement par Jacques HuEerz. On voit donc comment l'existence d’une composante méridienne retentit sur la valeur du couple dont l'expression (14) paraît formellement indépendante.