IV-4 LA QUESTION DU COIN D'HUILE

Au cours des paragraphes précédents, acceptant les équations de NAvIER ou de STOKES, nous avons en somme montré que même dans le cas simplifié où l’on admettait une symétrie axiale des systèmes et des mouvements, on ne pouvait parvenir en général à maintenir l’analycité jusqu'aux limites incluses. Ce fait se traduisant par l’impossibilité pratique de résoudre les questions au moyen de problèmes de DrriCHLET-NEu- MANN généralisés auxquels nous avons fait allusion et qui postuleraient la continuité des vitesses juqu’aux limites comprises.

(1) F. CHARRON, Mouvement d’un fluide visqueux entre deux sphères concentriques, Publications Scientifiques et Techniques du Ministère de l’Air, n° 208, 1947 et C. R.T. 224, n° 6, p. 373. u (2) J. HuETz, loc, cit. ante et Calcul du couple exercé sur un ellipsoïde, C. R. T. 225, pp. 40-42, 1947.

C’est alors le moment de se demander s’il serait, malgré cela, possible d'envisager une solution générale analytique des problèmes, en fonction des vitesses du fluide même, au contact des limites et que l’on pourrait supposer continues dans le fluide et sur le fluide ; nous désintéressant ainsi, en quelque sorte, des vitesses propres aux solides limitants.

Une telle position de repli permettrait-elle de justifier, dans une certaine mesure, les recherches et problèmes portant sur l'emploi des potentiels hydrodynamiques de FAXEN (1) en ce sens que si la vitesse du fluide incompressible au contact des limites n’est pas celle des limites au contact, elle pourrait n’en être pas moins définie et sans doute continue dans le fluide et sur sa propre surface. Nous allons montrer ici qu’une telle manière de voir serait au moins imprudente quant aux cas particuliers et certainement erronée en général.

Précisément, et en nous limitant aux problèmes plans les plus généraux à deux dimensions, relatifs à un fluide incompressible, alors que l’analycité, en l’espèce dépendant de la continuité des vitesses aux limites, limites comprises, paraît théoriquement possible, nous allons voir que les solutions entièrement analytiques correspondantes n’ont aucune signification mécanique ou physique; ce qui, très vraisemblablement, doit être l’indice d’une incompatibilité d’ordre rationnel sous-jacente et que, pour entrer dans la voie qui conduirait à des solutions acceptables, il faudrait commencer par admettre l’existence de discontinuités analytiques au sein même du fluide, lieux qui feraient, en l’espèce, exception aux équations.

A propos de la recherche de l’expression de la poussée résultant de la réaction du fluide sur un arbre en rotation uniforme dans son coussinet, SOMMERFELD (?) ayant établi l'équation biharmonique AAY — 0 à laquelle satisfait la fonction de courant plane % et, comme nous le verrons, fait remarquer que par analogie avec le problème des plaques

encastrées en élasticité, on peut se donner les valeurs de 4 sur les limites, en l’espèce deux valeurs constantes différentes et, également, les valeurs de la dérivée normale = en l’espèce encore les deux valeurs constantes différentes de la vitesse et qu’une solution analytique, d (x, y) est ainsi déterminée dans l’espace plan interstitiel.

Ayant fait cette remarque, SOMMERFELD renonce, à cause de la difficulté qu’il suppose, à une intégration exacte du problème tel qu'il se l’est posé et, par approximation, trouve une certaine expression de la poussée du film d’huile sur l’arbre en rotation.

Malheureusement pour le point de vue que cet auteur soutient, et qui n’est autre que le classique, nous avons trouvé le moyen d'évaluer en toute rigueur cette poussée en question, attachée à la solution exacte de l’équation biharmonique et cette résultante est rigoureusement nulle ($).

Ainsi, si l’on tient à conserver l’équation biharmonique, c’est-à-dire, en fait les principes mêmes de la Mécanique Rationnelle en ce qui concerne les mouvements suffsamment lents, il est nécessaire d’y apporter quelque tempérament en introduisant des lignes de discontinuité analytique c'est-à-dire des surfaces cylindriques et cette fois dans le fluide même, voire des volumes de singularités.

C'est cette découverte que nous avons faite, que nous allons exposer et qui a trait, on peut dire, au problème du coin d'huile en sa plus grande extension, c’est-à-dire

(1) Voir H. VILLAT, loc. cit. ante.

(2) Voir SOMMERFELD, Zur hydrodynamischen theorie der Schmiermittelreibung. (3) Un résultat contraire de Jeffrey est erroné. — V, DRYDEN, MURNAGHAN, BATEMAN, Hydrodynamics.

le problème de la poussée sur l'obstacle, dans le cas du mouvement plan le plus général, relatif à un fluide incompressible se déplaçant de façon identique dans tous les plans verticaux. Les obstacles et limites sont donc des cylindres indéfinis de génératrices horizontales.

Différemment de SOMMERFELD, nous ne tenterons pas de passer par l'expression détaillée d’une fonction de courant idéale ou approchée, mais nous établirons directement que la résultante de l'effort au contact est nulle sur tout contour fermé, en particulier sur toute limite partielle ou obstacle.

Pour faire image, el en supposant que SOMMERFELD eût pu mener à bien son problème, il y aurait entre sa méthode et la nôtre, la même différence qui existe entre la détermination d’une intégrale définie en passant par une primitive ou bien en l’atteignant directement par la méthode des résidus, à laquelle notre procédé s'apparente manifestement.

En nous reportant à notre chapitre III, particulièrement à son paragraphe IT1-5, formules (7) et (9), les expressions des projections X, Y sur les axes Ox, Oy, de la résultante générale de l'effort sur un élément de courbe fini, est donné par les intégrales curvilignes, que nous rappelons

f '@,y œ,Y (1) | ge dy = Xidt, | Vdy = Nedt

e Lo,Vo € Lo,Yo

et, en fonction des équations linéarisées, qui s’écrivent :

ox dX dY dY:

RCe EE TRe e LATE a ES & mor ; dy SE me ? dy ‘

ce sont des intégrales de différentielles totales. S'agissant d’un fluide visqueux incompressible, nous avons ici :

NS

dv 2 dv dy

A partir de l'écriture immédiatement ci-dessus, le principe de conservation de la somme des moments de quantité de mouvement est introduit ipso facto. L’équation de continuité se réduit à :

et elle s’évanouit, c’est-à-dire, qu’elle sera identiquement satisfaite, en introduisant la fonction de courant plane % en sorte que :