AD = 0, "AA

En fonction de ces résultats, les deux expressions (1) des composantes XY, de la poussée, dans lesquelles on commencera par substituer (3), s’écriront après quelques

réductions :

| d œ,Y œ,Y d Av d Av | L 2 di [ (Te) de — (TE) dv, (8) | L dx Lo, Vo x © Lo,Yo ÿ dy y : J dt y y A RES Ne | an bre . ET : dy \ x dt — x dx —) dy.

On vérifie que les intégrales curvilignes sont bien, comme il se doit, des intégrales de différentielles totales, du fait que :

DOCS

se réduit à : AA — 0, et de même pour la seconde intégrale. Désignant par U et V les fonctions de point qu’expriment les intégrales curvilignes, nous avons en définitive :

(9) | x = (U + yp + 2 2)

À : = (v xp + 2n we)

Lo, Vo Lo, Vo

Du fait de l’existence des fonctions de point U et V, dont nous connaissons une certaine expression des différentielles totales, il suffira d'exprimer, ce qui est évident, que les fonctions :

== et

AY AY y us

sont également des fonctions de point pour obtenir Les relations de réciprocité nécessaires suivantes, entre différentielles totales :

AŸ ù AY 1 oU 1 oU Les Es (= ) x — me 5 (© ") à Îe He Du 2 ; (10) | a dt \ y tar ge og À y ox ùd fAY ù il, RE 4: dV si r2 2 Le la je AE se dx Œ sage (7) = 2 à de we dx

On tire immédiatement des deux expressions de droite, exprimant qu’elles sont des différentielles totales :

Dose col nes # 2 dV (11) | AT Re 0, AV ST — — (0,

on pourra remarquer, en passant, que U et V sont en fonction de (10) solution de l’équation biharmonique.

RAA ES OMAN = 0;

Pour que la poussée ne soit pas nulle sur un contour fermé, il faut, visiblement, en l’hypothèse de l’analycité et de l’uniformité de la pression et des vitesses, qu’au moins une des fonctions U et V ne soit pas uniforme quand nous prendrons X et Y, non plus sur une courbe ouverte, mais sur le contour fermé.

Or, les équations (11) admettent respectivement les solutions analytiques particulières, non uniformes autour de l'origine, suivantes :

= A ME ne (12) Et (are tel a) Es (are Le Ÿ + +) (= à + y)

et toute solution analytique non uniforme autour de l’origine s’obtiendra par addition, aux fonctions particulières précédentes, d’une solution analytique et uniforme quelconque autour de ce domaine.

Substituant alors ces fonctions particulières dans le groupe de droite des équations de réciprocité (10), compte tenu de :

| dU;, NET SEE rt” Den

2%: ec T te

on en tire, par intégration directe, les fonctions particulières corrélatives :

sin 0 ne , COS Ô (13) A ==, n1AM=Ca=CT

(Æ =ir cos 6, y = r sin 6).

Nous allons maintenant étudier les propriétés des solutions analytiques el uniformes du système (6) autour d’un système d'obstacles, que nous supposerons provisoirement comme pouvant être renfermés dans une circonférence y ne coupant ni les limites ni les autres obstacles, non plus que tangente à ces limites ou obstacles étrangers.

On pourra ainsi définir une couronne, basée sur y et une série de LAURENT Cor-

respondante, en sorte que :

les », étant, en général, complexes. On déduira, de ceci, qu’en termes réels : + (5) Aÿ — D Cr cos n (0 — 0,); Er D

les 6, et C, étant des constantes, ces dernières quelconques, a priori, sous la seule condition (réalisable) qu’elles assureront la convergence et l’analycité de la fonction harmonique uniforme exprimée.

Tel est le développement du rotationnel et il est important de remarquer qu'il ne contient pas le terme en Log r, qui rendrait précisément la fonction conjuguée p non uniforme. Il résulte de ce que nous avons établi, que le terme en C, de ce développement (15) c’est-à-dire :

C,r-1 cos (0 — 0.) et à lui seul, joue un rôle particulier, en ce sens qu’il cause, à l'exclusion d’aucuns des autres termes, la non uniformité des fonctions réciproques U et V, qui figurent dans (9)

et déterminent ainsi les composantes X et Y données par ces formules, puisqu'on a sur un contour fermé € :

(16) Xe RICE, SIRO, Nei=mt= cos CO

Revenons maintenant à l’intégration de l'équation biharmonique AA en termes de la solution analytique la plus générale dans la couronne basée sur Y.

À ce sujet, on observera que l’équation biharmonique en question est équivalente et réciproquement à l’équation (15), dont les coefficients du second membre seront considérés comme indéterminés, à la condition de convergence près, que nous savons assurée d'autre part. (En fait et comme nous l’avons fait remarquer, l'expression la plus générale de l'équation biharmonique contiendrait un logarithme au second membre, dont la présence a été démontrée inutile.)

Formons, en effet, la nouvelle fonction harmonique :

N= +0 MCE r" cos n (0 — 6,), te > Afn+i =—0 l'accent qui figure devant le signe Y’, indiquant que le terme en n — — 1 doit être omis.

Les C, et 0, seront les mêmes constantes que celles des termes correspondants de (15Y

Cette fonction est convergente et analytique dans la couronne, au même titre que la série de (15).

() Voir Du Bosce DE BEAUMONT, Du rôle éventuel des sillages dans le phénomène de la poussée sur l'obstacle dans un courant de liquides visqueux, C. R. T. 222, pp. 44-16. Il y est traité du cas particulier d’un courant indéfini.