PT 4 ES

On vérifiera ensuite que la fonction :

2 Le Lo = 71 + 9 C,r cos (0 — 6,) Log r,

est une solution particulière de (15). Il suflira pour cela d'appliquer l'opérateur A terme à terme, ce que nous avons légitimé précédemment.

Ainsi, la solution analytique et uniforme +, la plus générale de (15) dans la couronne, satisfera à :

À (b — Vo) = 0.

L'intégrale générale cherchée, s’exprimera donc par :

1e (17) D = Vo + Pa = Pa + Tps + 9 C-,r cos (6 — 6.) Log r,

où & est une fonction harmonique analytique et uniforme, a priori quelconque.

Ce résultat étant établi dans la couronne en question, pourra être étendu à tout l’espace compris entre limites et obstacles, sous la seule hypothèse de l'existence d’une solution analytique et uniforme de l’équation biharmonique, dans ce domaine en question, et sous réserve de l’uniformité de l'extension considérée, dont nous nous proposons précisément d'examiner les conditions.

Nous supposerons, en premier lieu, que la disposition des limites et obstacles permet de prendre l’origine de la couronne, basée sur la circonférence y qui a été définie, hors de l'obstacle ou du système d'obstacles ainsi isolé.

Puisqu’on à A, — 0, A, — 0, on vérifiera ainsi que :

0 — 6 Ar, = 4 Le et que : AC, cos (0 — 0.) r Log r = C, RE = 1),

le second résultat n'étant que l’inverse d’une opération déjà effectuée.

La fonction A, prolongée en cette origine, devra y être, par hypothèse, harmonique, analytique et uniforme, c’est-à-dire, que, d’après ce que nous venons de dire, on aura dans le voisinage de l’origine :

Tr? cos (6 — 6;) De k (18) TES D C 7 Se 2 val COS An (( LE? Tn);

le second membre de ce développement étant une fonction harmonique. Intégrant, membre à membre, par rapport à r, il vient, toutes réductions faites :

(19) 4, + C-, cos (0 — 6.) ee à : De j7c0sn (0 — +,),

le second membre étant encore harmonique et analytique dans le voisinage de l’origine, au même titre que celui de (18) et / (0) une fonction de seul précisément à déterminer. Appliquant à (19) l'opérateur A, membre à membre, il vient par conséquent :

(] e cos (0 — 6.) + : ] — 0.

EAN Ces c’est-à-dire :

&f | (20) a + {= 20 cos (8 — 0),

dont l'intégrale générale est de la forme :

(21) f (6) = a cos 6 + b sin 6 + C-,6 sin (8 — 6),

fonction qui n’est pas uniforme autour de l’origine, à moins que l’on ne pose CSL La formule (17) se réduira donc, en fait, à :

(22) Ÿ = Po + Fr.

car, w, et #, étant harmoniques, ne peuvent compenser cette singularité. Dont il résulte, d’après (16) que {a poussée du fluide sur l'obstacle ou le système d'obstacles considérés sera exactement nulle ().

Fig. 3.

Nous allons lever sous peu la restriction provisoire que nous avons faite quant à la disposition de la circonférence y et de son centre par rapport aux limites et obstacles. Disons maintenant que notre résultat sera directement applicable au cas d’un cylindre de section droite circulaire tournant dans un cylindre, vase d’une forme telle que la circonférence incluse puisse être entourée par une circonférence dont le centre demeure dégagé, comme sur les figures 3 et 4.

La figure 4 représente le cas de deux circonférences excentrées dont l’une Dour être entourée dans les conditions précitées.

Encore que ces résultats que nous venons d'obtenir, vont nous permettre d’atteindre des conclusions d’ordre général extrêmement importantes, bien des problèmes particuliers, très intéressants, ÿ échappent, notamment le problème technique du coin d'huile, où les circonférences excentrées présentent dans la pratique des rayons extrêmement voisins, ce qui ne permet pas de réaliser le centre O de la circonférence

enveloppante y extérieurement au cercle correspondant à la section droite du cylindre intérieur.

(4) Du BoscQ DE BEAUMONT, loc. cit. ante, C. R. T, 222. La démonstration présente est une extension notable de celle de la note en question qui ne concernait que le cas d’un obstacle dans un courant rectiligne troublé,

EC

On peut alors étendre la proposition comme suit (fig. 5).

Pratiquant une coupure sur un arc @b de l'obstacle intérieur que l’on pourra, par exemple, prolonger en lacune ac’b intérieure à l'obstacle lui-même, on dégagera ainsi le centre O d’une circonférence y entourant l'obstacle.

Le théorème sera valable pour le nouveau contour c’est-à-dire que la nouvelle poussée résultante :

OR ors a HER 55 R ac'd ARR 0 sera donc nulle.

Quand on fait varier continûment, d’ailleurs infiniment peu en l’occurrence, l’ensemble du contour, on se rendra compte, d’après les expressions analytiques qui en

ont été données, que la poussée résultante varie continûment. Or, à la limite, quand la TN coupure ab tend à se refermer, la poussée afférente à la lacune intérieure, c’est-à-dire R,

Fig. 5.

tend visiblement vers zéro en régime permanent; le mouvement dans la lacune tendant nécessairement vers le mouvement « en bloc ». C'est-à-dire que, de R’' — 0, on tire :