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Pour rendre notre raisonnement absolument rigoureux, il faudra, en fait, substituer au contour acbc'a un contour qui, lui, soit très voisin et intérieur au fluide, pour lequel la poussée est certainement calculable. L’assimilation de la résultante ainsi calculée, à celle qui s’exerce effectivement sur la surface même de l’obstacle, implique ensuite certaines hypothèses sur l'intégrabilité des dérivées secondes de 4 sur les limites et qui pourraient ne pas être, a priori, assurées. Ces hypothèses sont, comme on le comprendra, inséparables du principe de l'égalité de l'action à la réaction qui exige précisément que la résultante appliquée à une masse de fluide aussi petite que l’on voudra, en l'espèce la couche de passage que nous venons d’invoquer, soit, elle-même, arbitrairement petite.

La poussée sur l'obstacle est donc nulle, sans restriction, en vertu des principes même de la mécanique.

C'est-à-dire encore, en d’autres termes, que les solutions analytiques des équations de Strokes donnent en toutes circonstances une résultante nulle et doivent, en conséquence, être rejetées comme ne pouvant expliquer l'existence dynamique expérimentalement constatée d’un film d'huile, dont la réaction fait équilibre aux actions mécaniques extérieures ().

(1) Toutefois si l’on admet que la lacune intérieure pratiquée par coupure contient nécessairement des singularités non ponctuelles, le raisonnement peut être en défaut.

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Pour échapper aux conclusions précédentes, on pourrait peut-être penser qu'il suffirait de ne pas négliger les carrés des vitesses dans les équations générales. Nous ne croyons pas cette opinion soutenable, il faudrait, pour cela, admettre, l’effet de viscosité pure ayant été montré maintenant comme étant rigoureusement nul en termes de solutions analytiques, que l'existence du film serait principalement assurée par les termes hydrauliques rectangles négligés et que, par exemple, l’eau devrait assurer sensiblement la même lubrification, ou tout au moins une lubrification du même ordre, que celle que procurent les huiles les plus visqueuses, de densité comparable; ce qui n’est pas conforme à l’expérience.

Revenant aux solutions analytiques des équations de STOKES, on peut encore donner au paradoxe rencontré, la forme remarquable suivante :

Soit un système de cylindres excentrés, de sections droites circulaires, susceptibles de tourner autour de leurs axes fixes O, O,, (fig. 6).

L'espace interstitiel, compris entre les circonférences C, C, est rempli par un liquide visqueux.

Fig. 6.

Le cylindre extérieur, de trace C,, est animé d’un mouvement circulaire uniforme, de vitesse angulaire w,, autour de son centre O, et, pour ce faire, nous y appliquerons un certain couple l, qui, en régime permanent, doit donc être entièrement transmis au cylindre intérieur de trace C..

Aucune résultante n'étant en jeu, comme nous l’avons démontré, si nous appliquons rigoureusement les principes de la mécanique, nous supposerons ensuite le cylindre intérieur fou sur son axe; c’est-à-dire que nous n’opposons aucun couple antagoniste — FT, au couple + T, transmis hypothétiquement de C, à C,, par l’effet de la viscosité du liquide : Le couple T, serait donc nul, à moins d'admettre que le régime permanent ne puisse être atteint.

Mais, d'autre part, l'énergie transmise au fluide même, par unité de temps, qui doit de toute évidence être au plus égale à celle transmise au système, soit To, devrait donc être nulle.

D'où une contradiction formelle puisque cette énergie est exprimée par la fonctionnelle de Lord RAYLEIGH, selon ce que nous avons établi au cours de notre chapitre III

soit ICI :

= jh px, du y ” TRES + dy ai . + dx dy 2h dv | du dv\ dv so | à: ei =) dx 1 G+s) (p—nY) | dx dy — u\? dv du \? dv =1 PP) (ee) +207) Ja > 0

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Ceci, remarquant encore qu’un mouvement «en bloc » est en la circonstance iImpossible, à moins d'admettre l’immobilité absolue du fluide et un glissement intégral aux deux limites.

Mais encore si l’on ne rejette la possibilité d’un régime permanent, il n’échappera pas finalement qu’il y à là un conflit de principes et, pour le résoudre, nous ne voyons que deux alternatives :

Soit admettre que tout obstacle est réuni, au moins au parois, par des lignes de discontinuités analytiques qui l’empêcheraient ainsi d’être contourné, ou bien admettre que le théorème de la conservation des sommes des moments de quantité de mouvement est en quelque manière en défaut.

En d’autres termes, dans cette seconde alternative, que le principe de l'égalité de l'action à la réaction, au sens de NEWTON, entre points élémentaires, serait dans une certaine mesure trop étroit vis-à-vis des possibilités les plus générales de la mécanique des fluides, et auquel nous ne verrions rien de choquant à voir substituer un principe de symétrie, qui reviendrait à considérer l’ensemble de l’action et de la réaction entre deux points, comme formant un certain couple dont le plan et la grandeur seraient à préciser. Le théorème du mouvement uniforme du centre de gravité d’un système isolé étant ainsi conservé, comme l'exige la symétrie que ce théorème revient en somme à exprimer.

Sans vouloir méconnaître les services que pourrait rendre l'introduction pure et simple de sillages, en dehors desquels les équations seraient satisfaites, au moins quant à l'interprétation de certains problèmes particuliers (1) nous pensons toutefois qu’en présence de telles conclusions, une étude critique et serrée, aussi bien expérimentale que mathématique, du principe de l'égalité de l’action à la réaction, sous la forme du théorème de conservation des sommes de moments de quantité de mouvement, s'impose absolument.

En réalité, nous n’avons mis en évidence, en fonction des principes et équations admis, que la nécessité de discontinuités analytiques, délimitant des régions contiguës à l’intérieur desquelles les équations seraient satisfaites.

On peut montrer qu’en l'hypothèse ces discontinuités sont vraisemblablement du premier ordre, c’est-à-dire des sillages. À cet effet, revenons à nos équations (1), sous forme différentielle, tenant compte de (3), on a, par exemple :

du dv du == ÿ = nn): es 3 FD, " ) nr ns (23) ax = Xidy — ad — (p % =) dy + (F | 2) dr pdy + 2%dp—ntdr, où :

(24) ae dv mou es. dy

2n dv est une différentielle totale, il en est donc de même de p dy — nt dx; on a d’ailleurs, sur tout contour fermé :

à T ([èp DÉeTean (25) ram [QE +7 3) dd =0 dp dc

(1) Du Bosco DE BEAUMONT, loc. cit. anle, CRE. 222,

étant une des équations du mouvement. Mais nous sommes ici, dans un cas limite où les forces extérieures appliquées aux éléments de l'aire S sont nulles et, en général, ces forces ne sont pas nulles et l'équation (25) que nous venons d'écrire, exprimera l’équilibre entre les forces appliquées au contour C et les forces appliquées à S, qu’elles existent effectivement ou non. Nous admettrons, ici, que même si la solution cherchée n'est pas continue, l’on à encore :

[ p dy — 1 dr = 0,

C étant alors le contour de l'obstacle et les forces extérieures appliquées au fluide même étant absentes.

Selon cette hypothèse, les variations de X et de Y données par nos équations (8) ou (9) se réduiront, sur le contour fermé €, à celles de 2 mv et 2 nu respectivement, qui devront donc être discontinues.