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suite puisse être astreinte à ne pas présenter une particularité donnée :

Taéorèue 3. — Un nombre p étant donné, une condition nécessaire pour que l’on puisse astreiëndre par une condition d’irrégularité fondée sur la notion de sélection, c'est-à-dire par une condition de la forme xeK(S; p), une suite x à ne pas appartenir à un ensemble représenté sur le segment (0,1) par un ensemble À, est que la p-mesure de À soit nulle.

La réciproque de ce théorème se présente naturellement à l'esprit; mais elle est fausse. En effet :

Tuéorème 4. — Soit donnée une valeur p quelconque comprise entre o et 1; on peut lui associer un ensemble G, de p-mesure nulle, jouissant de la propriété suivante :

Quel que soit le système dénombrable $, les ensembles K(S:; p) et G ont au moins un point commun.

Le théorème 4 est une conséquence du théorème suivant :

Tuéorème #. — Étant donné : un système dénombrable S de sélections, un nombre p(o < p <1)et une fonction o(u) > 0 continue, croissante, telle que :

li e(m=o et lim g(4) = +,

mais à part cela, à croissance arbitrairement lente :

il existe un collectif K(S; p) tel que : si l’on considère la fréquence = des 1 dans les p} premiers termes d’une suite infinie extraite du collectif par une sélection du système $, il existe deux nombres positifs à, B (dépendant de la sélection choëste, mais indépendants de 1) tels que l’on ait, quel que soit p :

œ oCH).

JD + un u Montrons d’abord que le théorème 4’ implique le théorème 4. Si nous considérons une suite d'épreuves indépendantes où un événement peut se produire avec une probabilité p, il est bien

connu (voër, par exemple, Lévy [1], p. 258 et suivantes), que,

mes st f, représente la fréquence des succès dans les p premières épreuves, il y a une probabilité égale à 1 pour que, quel que soit le nombre positif ), l'inégalité

(20) Piste

se produise une infinilé de fois. Si nous posons donc, dans l'énoncé du théorème #, p(u) — pe (o ee )» et que nous désignions par G l’ensemble des points æ correspondant aux suites æ pour lesquelles l'inégalité (20) (où nous faisons, par exemple, à = 1)n'alieu qu’un nombre fini de fois, nous constatons que G est de p-mesure 0, el a au moins un point commun avec l'ensemble K(S; p), quel que soit $, ce qui démontre le théorème 4.

Quant au théorème 4, nous le démontrerons en construisant un collectif K(S; p) satisfaisant aux conclusions du théorème. Nous avons besoin pour cette construction de poser quelques définitions préliminaires :

5. Composition des sélections. — Dérinirion 4. — Étant donné deux sélections A, et A», définies par les suites de fonctions {fi} et {fi} respectivement (Déf. 2, p. 42), la sélection À définie par la suite {gi} où

Te et 0 nt di) sera appelée somme des sélections À, et À, et nous écrirons A Ar A e La sélection A est la sélection qui choisit un terme si A, ou A, le

choisissent, et dans ce cas seulement. De la définition précédente, on déduit sans peine la définition de la sélection

A+ Ao+...+ A, et celle de DE \

Dérinirion 5. — À, et À, étant deux sélections définies EE # ; RQ Le par {fl} et {f?} respectivement, la sélection B définie par fei}où

OO; — ! 2 gi= fi Ji

sera appelée produit intérieur de A, et À,, et nous écrirons

B est la sélection qui choisit un terme si A, et À, le choisissent simultanément, et dans ce cas seulement. Les opérations de la somme et du produit intérieur sont commulalives et associatives.

Dérinirion 6. — À, étant une sélection définie par {f}} la sélection C définie par {gi} où

— 1 Si = 1

sera dite la sélection complémentaire de À, et nous écrirons

Cr A

C est la sélection qui choisit un terme si A, ne le choisit pas, et dans ce cas seulement.

Dérinrrion 7. — À, étant une sélection et a un nombre égal à o ou à 1, nous désignerons par aA, la sélection identique à À, MANN el ASS —)0:

Les opérations introduites par les définitions # à 7 constituent dans leur ensemble ce que nous appellerons la composition des sélections. Nous allons définir encore une opération sur les sélections. |

Dérinirion 8. — À, étant une sélection définie par | f} }et m un entier positif, la sélection E définie par { gi} où

ee si Dr £ m,

: > l gi=0, si fi >m 1=9

sera appelée segment de longueur m de La sélection À, et nous ÉCTrirons