CORTE TRE ET ET OO EEE
, : sas TL La fréquence des 1 dans les 7 premiers termes a pour limite -
quand 7 tend vers l'infini. Considérons la sélection So définie par La
suite | f; }, où les /; sont des constantes, avec de SE +(— #1]. La suite { f;} s'écrit (5) PL Te PE Ce
et, par conséquent, la suite S,a ne contient plus le terme 1. La
suite a n’est pas un collectif K(S; :) si S contient la sélection S, ;
TES TU DR Re A (9 &K(S; p) » joue ainsi le rôle d’une épithète. On dit un collectif K(S; p}
au lieu d’un collectif relativement à 5, de fréquence P, Comme on dirait une fonction I% au lieu de : une fonction dont la puissance « est intégrable.
ou encore : en astreignant une suite à être un collectif d’un type convenablement choisi, nous pouvons lui interdire d'avoir la Jorme trop régulière (4). C’est parce que nous pouvons ainsi astreindre les suites à ne pas présenter certaines régularités que, dans la définition du collectif par M. de Misès, la condition qui fait intervenir les sélections est appelée condition (ou axiome) d’irrégularité (Regellosigkeitsaxiom).
Essayons de préciser cette notion : excluons les suites qui ne contiennent qu’un nombre fini de o, et représentons toute suite
(6) DERNIERE Cat = ON À)
par le point du segment (0. 1) qui a pour abscisse
et que nous appellerons le point x. La correspondance entre le point x et la suite est biunivoque. Dire que x présente une régularité d’un certain type, c’est dire que le point + appartient à un certain ensemble À du segment (0,1). Désignons l’ensemble des points représentant des collectifs relativement à $, où la fréquence de r est p, par la même notation que l’ensemble de ces collectifs eux-mêmes, c’est-à-dire par K(S; p). Dire que nous pouvons astreindre x à ne pas présenter la régularité du type considéré, au moyen d’un système de sélections $, c’est dire que l’ensemble A et l’ensemble K(S; p) n’ont pas de point commun. Le problème de l'étude des collectifs relatifs à $ et de fréquence p se ramène donc à l'étude des ensembles K(S; p). Nous utiliserons dans cette étude un résultat bien connu de la théorie moderne des épreuves répétées, qui est le suivant :
Si l’on procède à une infinité d'épreuves indépendantes, l'épreuve de rang t déterminant une variable aléatoire X; avec Pr = => Pr.{Xi=0}= 9 (hEGMOE SE ON) la probabilité (au sens de la théorie classique modernisée) que la fréquence totale de la valeur 1 dans la suite existe et soit égale à p est égale à un. (voir, par exemple : Fréchet, [2],
Soit maintenant une sélection S,, et soit { Y;} la suite obtenue
Er —
en appliquant S, à {X;}. La suite { Y;} est une suite de variables aléatoires; de même le nombre N, des termes de { Y;} qui correspondent aux 7 premiers termes de {Xi} est une variable aléatoire. Nous avons alors la proposition :
Si l’on à Pr. (limN;— b la fréquence de la valeur 1
dans {Y;}existeet est égale à p, avec une probabilité égale à 1.
Démonstration. — Considérons les N, premiers termes de { Y;}, correspondant aux n premiers de { X; }, et posons
an = Ya Yo+...+ YN,,
Q Pr Nr— an.
Considérons la fonction ! !
(8) ns Pns
Cette fonction est une fonction des n variables aléatoires X,, X:, ..., Xn. Nous la désignerons par sx(X4, X2, ..., Xn). So sl définie par une suite { f;}; supposons que f, — 1; dans ce cas
Nu, Mr, a (X)= 21e
La valeur moyenne de s,(X,) est donc égale à 1
(9) Mia(Xi)}=1.
Si fo— 0, nous avons &i — $, — 0, donc (9) reste vraie. Considérons maintenant
Sn—1 (Xi, X®, F0 Xn 1) et fn, X:, rs Xe):
Si fn(Xr, Xos +, Xn 1) = 0, le terme X, ne figure pas dans { Y;}; donc N,—N,-, et par conséquent
An — An—1; Br = Ba,
(10) Sn(X4, X», 0 Xn) —= SONY, X, ….. Xn-1).
DL fr (is Koss Xn1) 1 Xe heure dans A FE
Nh = Na SE Yx, XS
et par conséquent En — ner + À
af ne 7 Ba Nr — Preis Xn,
(11) Xn el Sn—1 "D QUES Nai+2 P ' d À Sn =" Bh1+1 Sn —1 gs 4 ; SEXE — 10!
Nu1+2 q
Soit AT, {sa } la valeur moyenne de s, quand X;,, X:,..., Xn, sont connues. Nous déduisons de (10)et(11) que, dans tous les cas,
(12) Don { Sn = Sn—1.
Si nous nous reportons à (9), nous déduisons de (12) que la valeur moyenne de s, est égale à 1 quel que soit n. Soit maintenant À un nombre positif quelconque. A la suite de variables aléatoires {s;}, substituons une suite { 0; } ainsi définie :
(13) Sr SIC ETS | On — . *
On—1 SION ee On vérifie sans peine que (14) on | Hd ITR Non = 6y 1 et, par suite, (5) MN — 7.
Sn étant une quantité non négative, nous avons donc, quel que
soit 7, (16) Pr.{on>À}<
ln
La probabilité que nous venons d'écrire est une fonction croissante de », puisque l’événement {o,> À} implique l'événement { Tn +1 = À }.
Considérons l’événement qui se produit si la borne supérieure de oc», quand n varie de 1 à l'infini, est plus grande que À, événement que nous noterons
{ B sup. 5, > À 1.
Si cet événement se produit, il éxiste au moins une valeur de »
bte
à partir de laquelle on a constamment rer }; par conséquent, en tenant compte de (16), nous avons
Br: {B sup. MS
Nous avons donc, en remarquant que, d’après (13) l’événement {B sup. s,> À} implique l'événement { B sup. +, > 1}: (17) Pre { B sup. sn>à}£s-
Or
Pr.!B SUP. Sa — © | Pre { B sup. sh > À |
ft quel que soit À. Donc nous avons
(18) Pr. ! B sup. 00 l { La quantité s — pq À est donc bornée, sauf dans Xn nt des cas infiniment peu probables. Supposons que An + Bn—>c. Si Xn
nous montrons que SL ne tend pas vers D, Sn n’est pas
An + Br
bornée, nous déduirons de (18) que
a Pr = pie
En modifiant légèrement les notations, nous sommes ramenés à montrer que si, dans l’expression
æ + y tend vers l'infini sans que Y tende vers P; # n'est pas
borné supérieurement.
HARAS d’abord que — ende vers & ;< p, et posons
= À, = — 6, LEV= TT D +Y Z+Y ce Nous pouvons mettre # sous la forme : A" À : < 4 t\T/1—{\) œm(X, y) = (:) ( ) dt= [ erë dt 0 P q 0 avec l er à) E = a Log — — $ Log P q
Par hypothèse, quand x tend vers l'infini, &« tend vers &, et 5
er vers 1—w; donc £({) tend vers la fonction
d &o(é) = w Log - + (1—w) Log e P Nous avons
TD I— T t nf,"
E,(€) est maximum pour { = ®, la valeur du maximum étant
ko)
: 1 ED) = 5 Loge +(1— vw) Log
Considérons l’expression ci-dessus comme une fonction de 5; sa dérivée par rapport à & est
no Log = — Loge D;
E(&) est minimum pour & — p, la valeur du minimum étant o; donc £9(w)>>0 puisque nous avons supposé 5<p. Eo(s) étant => 0, el, & tendant vers w, il existe un nombre positif à, un nombre positif r et un nombre entier n, tel que pour n > nr. on ail E(t) > 0 dans l'intervalle 5 — tr, © ++.
Nous en déduisons que pour 7 => ñ9, nous aurons
DT æ(x, y) > f ent dt > 27 er, TD —T el, par conséquent, si «> #,
lim (Cr, 7) =:
ee
Supposons maintenant que & ne tende pas vers p; 1l existe alors un nombre & différent de p, et une suite { n;} de valeurs de » telles que, si l’on désigne par { a; } la suite des valeurs correspondantes de «, on ait
lim ji —= D.
Nous en déduisons, tenu compte du résultat précédent, que,
lorsque » tend vers l’infint, nous avons borne supérieure æ(x, y) = %.
La proposition que nous venons de démontrer peut s’énoncer ainsi :
Tuéorème 2. — Etant donné un système S, dénombrable, de
Ze
sélections, si l’on procède à une suite de tirages indépendants pouvant donner lieu à l'apparition d’un événement E avec une probabilité (au sens classique) constante et égale à p, il y a une probabilité (au sens classique) égale à 1 pour que le résultat de cette suite de tirages soit un collectif relativement à S, collectif dans lequel la probabilité (au sens de la théorie des collectifs) de l'événement E est égale à p.
Pour éviter les confusions possibles, employons le langage de la mesure : soit p un nombre compris entre o et 1; parlageons le segment (0,1) en deux parties égales, et attribuons la
I I mesure g —1— P au segment (o, ) la mesure p au segment (2, 1):
partageons ces segments eux-mêmes en deux parties égales, et ainsi de suite : si nous partageons en deux parties égales un segment auquel nous avons attribué une mesure p*q$, nous attribuerons à la moitié de gauche la mesure p#q$+!, à la moitié de droite la mesure p*!q$. Nous définissons ainsi une fonction d'ensemble additive, >o, définie sur tous les segments de la forme [k2-—", (k+i)2="]. Il existe alors. une fonction d’ensemble >o, complètement additive, définie sur tous les ensembles boréliens, qui coïncide avec la fonction d’ensemble que nous venons d'introduire sur tous les segments de la forme [ k2—", (k + DER C'est cette dernière fonction d'ensemble que nous appellerons la p-mesure.
Reportons-nous à la représentation des suites par des points du segment (0,1) (p. 33); on montre sans peine que la p-mesure s’interprète comme une probabilité au sens classique modernisé, à savoir : la p-mesure d’un ensemble est la probabilité que la suite des épreuves (de probabilité constante p) fournisse une suite dont le point représentatif appartienne à l’ensemble. Ceci posé nous voyons que le théorème 2 s'exprime sous la forme :
\ Tuéorèue 2. — Quel que soit le système dénombrable S de sélections, la p-mesure de l'ensemble K (8; p) (défini p. 49) est égale à 1. e
L] Si nous revenons à la question de l’irrégularité, nous voyons que nous pouvons énoncer une condition nécessaire pour qu’une
