E — AG
La sélection E est celle qui ne choisit un lerme que si ce lerme est choisi par À, et si À, à choisi moins de m termes de rangs
antérieurs.
6. Construction d’un collectif K(S; p). — Passons à la construction d’un collectif qui satisfasse aux conclusions du théorème #4. Soient donc un nombre p, un système $& dénombrable de sélections AÀ,, A:, ..., A,, ... et une fonction o(1) satisfaisant à l'hypothèse. Nous allons définir de nouvelles sélections, les étudier, construire une certaine suile en nous appuyant sur leurs propriétés, démontrer que cette suite est un collectif relativement aux nouvelles sélections, puis que c’est un collectif relativement à &.
1° Composition des sélections A, As, ..., An. — L’équation 24 (HN OU
(21) a Log 2 — Logo(u)
définit une fonction inverse —Ÿ(x); soit { m;} une suite d’entiers
telle que
(22) mix b(i+1) — Yi).
Nous associerons à toute suite finie a'a?...a" deoet de 1 deux sélections Bis... am et Cure.….um par les opérations suivantes :
Be | l; Ca = pe BAT — (1 — Ca) a'A;,.a? A», Carr —
et, d’une manière générale,
( 3) Bata...an—ian= (1 — Ca,)(i — Cia)... (1— Caiat...ar-1)@) A 1.42 A 9...an À ñn Di É (in)
Cotes... = Bts rar e Les sélections B sont les nouvelles sélections annoncées. Les sélections C en sont les segments.
2° Propriétés des sélections B et C. — Soit une suite quel-
conque deoetder «
D ON EI DIE (HE tO ou)
Portons notre attention sur un terme, soit 4”, Il ne peut exister deux sélections distinctes Cum an Et Cu... qui choisissent 2" en même temps. Supposons en effet qu’il n’en soit pas ainsi, et considérons ces deux sélections. S'il existe un rang £ tel que aiZ ai,
soit, pour fixer les idées, a — 1 etai—o, nous voyons que, d’après la première des relations (23), x" devrait être choisi par Ai, puisqu'il est choisi par Cyan et par 1 — A;, puisqu'il est choisi par Cuwr.….w) Ce qui est contradictoire, d’après la définition 7.
S1 un tel & n’existe pas, les sélections ne sont distinctes que siv<n, soit y > n, et les sélections sont de la forme
C CG At... NT; RÉGION TE EC
Toujours, d’après la première des relations (23), nous voyons qu’un terme choisi par Cu. ne peut l’être par Bis angn+i Ni AJ OTELONE par Ci on 1. D'Oimeonlradiction.
Inversement, tout terme de x est choisit par une des sélections Cu …an. Supposons en effet qu’il n’en soit pas ainsi, et soit x”! un lerme qui ne soit choisi par aucune de ces sélections. Quel que soit n, x" est choisi par A, ou par 1 — A,; soit a”A, celle de ces deux dernières sélections qui choisit 3”; considérons la suite { a! } et la suite correspondante :
(24) Ca, Catas, nu. Cote ar,
D’après la première des relations (23), x”? n’étant choisi par aucune des GC, est choisi par toutes les sélections Bix an COrrespondant aux sélections de la suite (24). D’après la seconde relation (23), chacune des Cux. une ne choisissant pas æ’”*, devrait choisir m, termes parmi les m premiers termes de +, ce qui conduit à contradiction, puisque deux quelconques de ces sélec-
; GLÉ À 2 uons ne peuvent choisir le même terme et que DA — wo. Nous CRE
venons donc de démontrer que x” cest choisi par une et une seule des sélections de la suite (24), soit Cus.un; remarquons qu'il est choisi par les sélecuüons Bi, Bus, ..., Bas; n'étant pas-choisi par Cu, Css -.., Cu. mous en déduisons que chacune de ces dernières sélections a déjà choisi m,, ms, ..., Mn, termes dans æ respectivement.
En résumé : Si nous désignons par Cuun.an(Æm) l& suite extraite des m premiers termes de x par la sélection CHE
Tout terme, parmi les m premiers de x, appartient à une UND ln) el une seule:
ep ree
St la suite Css. un (%m) Contient au moins un terme, chacune des suites Cux..ai(Æm)(t Ln) contient exactement m; termes (a'a?...aï étant un segment initial de a'a?...a").
3° Construction d’une certaine suite x. — Nous formerons, à parür des sélections B, C, et du nombre p, une suite x en procédant comme suit :
Nous prendrons x! — 1. D’une manière générale, supposons que l’on ait pu déterminer xz!, x?, ..., æ" de manière que dans toute suite Cuys...xn(Æm) non vide, le nombre de termes égaux à 1 soit égal à la valeur approchée à une unité près par excès du produit par p du nombre de termes contenu dans Cux...a(%m). Quelle que soit la valeur de z”*+!, nous pouvons déterminer à quelle suite Caix..….an (Æm+1) Ce terme appartiendra. Les indices inférieurs de cette suite sont fonctions de xt, x?,..., x". Désignons leur ensemble par (m). Donc, Cm», est celle des sélections Cux.» telle que Cm (Æm+1) contienne 2+1, Si Cin(æn) est vide, æ"+1 ‘est le premier terme de Cim(Zm+1); nous prendrons 2t1—1.SiCim(Æm) contient y termes, dont y égaux à 1, nous avons par hypothèse :
PSY <pu +1.
Nous avons alors
p(u+i)<v <p(u+i)+1 ou P(u+I)Sv+i1< p(u+i) +1.
Nous prendrons 4+1 — 0 dans le premier cas, 2"*+1—1 dans le second cas. Toutes les suites Crus .4n(Œm+1) jouiront alors de la même propriété que les suites Cuiss. un (Æm )-
Le processus de formation de + se poursuit indéfiniment.
4° La suite x est un collectif relativement aux sélections B. — Soit Bus... une quelconque des sélections B; les ai étant ainsi choisis, et restant fixes, ainsi que 7, au cours de ce $ 4°, soit Ba... (Zm) la suite qu’elle déduit de la suite des m premiers termes de +. Les termes d’une suite de la forme Ca ae nt) appartiennent tous à Bus. 4(Œm) et inversement, tout terme de cette dernière suite apparlient à une suite el une seule de cette forme. Soit le nombre de termes de Bi. (Æm), parmi lesquels » égaux à 1; soit s, la plus grande parmi les valeurs de s pour lesquelles il existe une suite Cyu.ares..(Æm) non vide: soît Caras..anpigs...8, (Æm) une de ces suites ; les suites
Caas..….ar(Æm), Cata..….anB(TÆm), +.) Caia..….ar8t...B—1(%m)
die
contiennent respectivement Mn, Mn+1y + Mn+s,1 lermes; d’où la première relauon
(25) U 2 Mn + Mn ++ Mnks,1e
Doute "suite, Cru aet1(Tm) étant vide, et les suites Cuu.ano. a (Æm) étant au nombre de 2°, nous en déduisons que (26) LS Mn+2Mnyi +. + 220 Mantss
Au cas où s, — 0, les relations (23) et (26) deviennent 20
Au cas 0 , les relat o) ne el < m, respectivement.
Soit r le nombre des suites Cu rares. (Æm) non vides (les a restant fixes, les +/ variant); de la définition des,, nous déduisons
(27) rÉI+2+...+ 250 << 25041, Si ces suites non vides contiennent respectivement fi, Has e., Ur termes, dont VA; Vas... Vr égaux à 1 respectivement, nous avons
( DAS ir — Le,
l HSE SG SE UE Ve =} Par ailleurs, de par la manière dont la suite x a été construite, nous avons (29) PSV <phi+1 (ÿ=1,2,...,r), d’où, en faisant la somme, Go) 7 PH£SY <pH+r<ph+2%%#, Nous aurons alors, d’après (22) et (25), Bu + (nr) > dr + s0), c'est-à-dire, d’après la définition de w, 2 Q[u+d(n)]=e(n+e) Le =9()]
et, en tenant compte de (30), la sélection Bu... restant la même, nous AVODS :
Se e(H+Pe), (31) CE sr
Si donc, lim p — æ, tandis que », donc p, restent fixes; nous
Mm= A
Voyons qu e..
ie
5° La suite x satisfait aux conclusions du théorème #. — Soit À, une quelconque des sélections du système S; désignons par An(%m) la suite extraite par A, de la suite des m premiers termes de x. Les termes de A,(x») appartiennent :
a. soit à des suites Cn c(%m)(s 7); b. soit a dessuitesh 7.
Si A, (x), suite extraite de x par A,, est infinie, nous pourrons négliger les termes du type à, qui sont en nombre fini, soit N. Nous écrirons donc
(32) An— D+ÿ Batu..….an—11,
où D est une sélection choisissant N termes: la sommation est étendue à toutes les valeurs des indices a!, a?, ..., a"! (Définition 4). Soient 5, 4, .…, p les nombres de termes contenus dans D(x,,), et dans les suites de la forme Buus…u-11(Œm) Supposées numérotées de 1 às(s — 271); soient vo, v,, ..., v, les nombres des termes égaux à 1 dans ces suites respectivement. Si A;(%») contient p termes, dont y égaux à 1, nous aurons, en tenant compte de (31),
| U—=Ho+M+...+hs (=)
ll VEN GR Vie IV (o<voS<ww=N);
PHESV<pH +2 Que) [e=d(n)], (=, 2,...,s),
PN£vo+pN<pN+N,
d’où par sommation,
PUHSY+pN <pup+N +unÿ p(ui+ p),
ou encore, puisque 9 est une fonction croissante,
PN °c» aN __su+e) 33 — —S—-—p< — + ———— =] — (33) PS ATEN en : CE V7?
c’est-à-dire que, si lim u — 0, A He £
æ est donc bien un collectif K(S; p). En outre, (19) est vérifiée
LL | eee en faisant dans (33) = NN. Gi B — Borne sup. ven, 0LU<® o(u) Le théorème 4! est bien démontré.
Remarque. — Considérons la fréquence des 1 dans la suite x que nous venons de construire. Tout terme, parmi les #n premiers de +, appartient à une suite Crus .n(Æm). Or, chacune de ces dernières suiles, par construction, contient un nombre de 1 égal à la valeur approchée par excés, à une unité près, du nombre de.ses termes. Il en résulte que la fréquence des 1 parmi les m premiers termes de æ est toujours 2 p : on peut, quels que soient S et p, construire un collectif où la fréquence tende vers sa limite d’une manière unilatérale.
7. Collectifs indépendants. — Soit à définir non plus la probabilité d’un seul événement, mais les probabilités de deux événements ; si nous procédons à une suile infinie d'épreuves, pouvant donner lieu à l'apparition de ces deux événements, soientEetF, nous pouvons représenter les résultats par une suite de groupes de deux termes :
(35) (a, 7) =(x!, 71), (a?, 7°), 4, (at, 77),
æi—1 signifiant que E s’est produit à la z°"*° preuve, z'— 0 représentant non E — yi—1,F—et yi= 0, non F. La suite (x, y), dont les termes sont des points d’un espace formé des quatre points (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), doit être un collectif pour qu’on puisse parler de probabilité au sens de M. de Misès. Considérons maintenant les deux suites
ne LÉ NN ON ES
TEE REX CAEERE
Nous pouvons les considérer comme des collectifs. D’une manière plus précise, et en nous référant aux définitions de M. Wald :
Étant donné deux systèmes dénombrables S\ et S, de sélections applicables à des suites formées de o et de 1, il existe un système dénombrable 'S de sélections applicables à des suites de la forme (35), tel que si(x, x)est un collectif relativement à S, æ et y sont des collectifs relativement à S, et S; respectivement.
