BOB) (A CB)+(A<B)+(A%<EB
choisit dans + tous les termes depuis le rang #+ 2h41 jusqu'au rang 7», peut-être quelques termes de rang <k+2h et enfin des termes de rang > 7. n restant fixe, soit N un entier >> A; COnsidérons les N premiers termes de x. Si nous désignons par r le quotient entier de N par », on voit, en découpant x en tranches
de longueur 7», que la sélection T’ choisit, parmi les N premiers termes de +, des termes en nombre égal au moins à r(n—k—2h). Soit fx la fréquence, parmi les N premiers termes de z, de ceux choisis par [': nous avons
e ï NT re AUS h (11) JN2K Cr Kk—h) =
Mais nous pouvons exprimer directement f, à l’aide des fréquences des configurations (wi), (6;), .... En effet, nous avons
Co) ie D lui lR + D DD [w: Re [&K- 4 > de
Faisons tendre N vers l'infini; il vient, en tenant compte de (11). ; 1
SI Se au NN / DR 0 "'h CON EE NICE
ra
[IIAVA
Par ailleurs la somme (finie) qui figure dans (13) ne peut jamais être > 1, puisque les sélections À < B, AxB,A+xB,A%<B ne choisissent jamais en même temps un même terme. Donc nous avons bien, en faisant tendre x vers l'infini,
(14) DCI ENCIENNITIES C0: F. D.
l choisit tous les termes de x à partir du rang k + 2 k + 1: donc Se Du+ le+ Die il + D [sv H+Ÿ Te PRES
Faisons tendre n vers l'infini; nous déduisons de (14) et (15) que
; : QU > ! nn Sin inter tu
La conclusion des considérations précédentes est la suivante : \ et B étant deux sélections bornées, il existe, une suite QU) (Ur) EUR) PERTE Mr telles que st l’on désigne par | ui} la sélection qui choisit tout terme précédé de
la configuration (u;), on ait à
(CG) AxB=ful+fuls. Piu) +...
La fréquence des termes choisis par A X<B dans une suite
re indifférente x existe et est égale à la somme des fréquences
des termes choisis par | u, PAU ne ur a SNrespectioes ment.
Soit maintenant la suite (A >< B)(x) extraite d’une suite indifférente æ; cherchons si le signe 1 a dans (A >< B)(x) une limite bien définie. La suite partielle extraite de la suite des n premiers termes de x
contient (R—1) D [ul termes, et le nombre 1 y figure
rŸ [ur], fois, en désignant par (w;1) la configuration obtenue u
en ajoutant un 1 à droite de la configuration (w;). Or, nous avons
Ne à NC se (n — 12 lé Où [uio |} + LD [uir]:
i i i Divisons par 7 et faisons tendre n vers l'infini; de (165, du fait que x est indifférente, et que
D [ui] =} [ao] +Ù Lu].
nous déduirons que
lim NS > [ui] UN [ui ].
È è Donc la fréquence des 1 dans (A <B)(x) existe etestégale à p.
Nous voyons ainsi que toute suite indifférente x est un coldectif relativement au système dénombrable des sélections de la forme À = B, où A et B sont deux sélections bornées. Nous en déduirons que :
Toute suite indifférente x de fréquence p est un collectif
CECS pi):
Ltant donnée une sélection bornée À et une suite indifférente æ, la suite A(x) est encore une suite indifférente.
La propriété d’être indifférente reste donc invariante par application d’une sélection bornée.
PF
4. Suites de Bernoulli. — Soit x une suite de o et de 1. Partageons-la en tranches de même longueur, soit en tranches de longueur m. Étant donnée une configuralion (a'a?...a"), nous allons étudier sa fréquence dans la suite des tranches. Pour cela, de la suite
DIV HT, nous déduisons une suite VAI EN (= orouer) de la manière suivante vi I si &'(k—1)+1 — a!, an —1)+2 — a. * amk — ant ; EE s'il existe un 7 (0o<7<m}) avec xl4-1}+)j 2 ai.
De sorte que la fréquence, dans la suite des tranches de longueur m, de la configuration (a'a?...a") sera égale (si elle existe) à la fréquence de 1 dans la suite Y+ Désignons par |a'a?...a"{ cette fréquence.
Si æ& était obtenue par un tirage au sort, avec Pr. {gi —1 = p; la fréquence de (a'a?...a") dans la suite des tranches serait presque certainement égale à p’qg"—(v—Xa;). Nous sommes donc amené à étudier les suites telles que :
(18) Later... ant pm" Ç => Gr à =}
De telles suites, où (18) a lieu pour toutes les configurations et toutes les valeurs de m, seront dites suites de Bernoulli de fréquence p (Reichenbach, p. 302). Nous allons montrer que les notions de suite indifférente et de suite de Bernoulli sont équivalentes. Nous allons établir pour cela un lemme :
Soient donnés une configuration (a'a?...a"), yn nombre e > 0, un entier N > 7m, un nombre DICO ES 1). Considérons la suite de variables aléatoires indépendantes
NES ENS XI oouE Pr{Xi=1}=p.
Soit f; la fréquence de la configuration (a'a?... a") dans la suite
des tranches
Ka X>, .. Km; NO So 7. ce; X (41 (an CCE; X4m [Am <N <(k+i)m]
et Px la probabilité que HN PÉQRET"e.
Nous pouvons considérer chaque tranche de m épreuves comme une épreuve, la probabilité de voir apparaître (a'a?...a") étant p'q"". Donc nous avons
