N NS
— Noir n ee (OSi< m)
et égale à o dans le cas contraire. Si nous considérons les variables aléatoires X ;(7 1,2, ..., N), la probabilité que les m inégalités (19) aient lieu est égale à la valeur moyenne
M} e(X4, X2. .….. Xn)!, d’où NM — 1 (20) ME CX Xe, Xn) 21 Ÿ Gi PY).
Posons
[étér...bN[=peq%e (Le =Ÿ bi).
La relation (20) peut s’écrire
INA à! : » : ' et D (20°) DL6EE. BN}e(r, DR. By21—Ù (1 — PÉ).
d’où le lemme Leume 1. — Soient : une configuration (a'a?... Leur
nombre £ = 0, un entier N => m, une suile indifférente x de fréquence p. Etant donnée une configuration (b'b?... b\) de longueur N, appelons :
[o'6?...B\] la fréquence de (d'b?...8\) dans zx:
AN le nombre de fois que (a'a?... a) figure dans la suite bu... EN partagée en tranches de longueur m autant de Jois qu'il est possible:
A\ le nombre de fois que (a'@?...a") figure dans la suite b'b?...\ partagée en tranches de longueur m autant de fois qu'ilest possible : o(b1b?, .... D) une fonction égafe àoou:
. . ñ PRhy In prenant la valeur 1 si les m tnégalités R'AN— pan | Le ont lieu (v = Xai),
Dans ces conditions nous avons
dim À f616...bvje(8i, 55, BNj=,
nes la sommation étant étendue à toutes les configurations de
longueur N.
Considérons maintenant les n premiers termes de la suite indifférente x, et partageons-la en tranches de m termes. Soit N un nombre entier, nous supposerons m<N < n. €& étant donné, ainsi qu’une configuration («!a?...a"), considérons la suite de configurations
CN fr HN en (rt TA, 77) et La suite de fonctions
DRE nr D OUT, 0, ŒNM)S 0. pri Nat.
Fey Considérons l’une d’elles, et supposons qu’elle soit égale à 1
(rer ee ATEN) =Æ" (o£K<n—N).
D'après [a définition de ©, nous en déduisons que la suite ki AN, 2e ee £ N dE © 22 SEEN + empiète sur au moins = g"Y— €) tranches,
parmi celles en lesquelles on a découpé +, qui sont identiques à (a'a?...a"). Réciproquement, considérons une tranche de longueur mn quelconque; parmi les suites 3“*1, ..., x" il en existe au plus N—m+1 qui empiètent sur elle. D'où lévaluation suivante du nombre K, de tranches de longueur m identiques à (a'a*...a”) dans le partage de la suite des n premiers termes de x
Van 2 CHANSON AN),
(P*q DATE ) Æ=0
1 K 2 ——— QE) = m(N — mn +1)
Parmi les r premiers termes de >, la configuration (b'b?... 1”) figure »[b'b2...b{]; fois; par ailleurs le nombre de tranches de longueur m est au plus égal à 2; d’où pour la fréquence F, de la tranche a! a? ...a" parmi celles obtenues en découpantx'xæ?...2x" en tranches de longueur m, l'inégalité
Po (pq) DID ERA EN CICOIMOE EEE RON pre Pal L
Faisons tendre », puis N. vers l'infini, nous obtenons, d’après le
ne
lemme 1 lim Fr2p'qn— € x , n= 2 et, e étant arbitraire, (22) 4 lim F2 ppm, n—=
(22) étant vraie quelle que soit la configuration (a'a*...a") considérée, nous en déduisons que |a'a?...a"| existe et est égale à p’g"—". Donc :
LEmme 2. — Toute suite indifférente est une suite de Bernoull.
La réciproque de ce lemme est aisée à démontrer. Supposons en effet que x soit une suite de Bernoulli. Soit une configuration (a'a?...a")et une configuration (b'b?...b\); introduisons la fonction + définie dans le lemme 1. Si o(b1, b?, ..., BV) —5,, Ja configuration (a'a?...a”) figurera dans (b'b?...0\) [au sens primitif introduit dans le premier chapitre, c’est-à-dire sans partager (b'b?...0b\) en tranches | un nombre de fois égal à
ANNEE mA Rte
c’est-à-dire au moins égal à N(p'g"—"— e). Ceci étant posé, partageons la suite x en tranches de longueur N, et considérons la suite des fonctions p(æt, æ?, 2290": 4 CNRS RUN aN), Si nous considérons les x premiers termes de x; ils contiendront # tranches de longueur N [ANSn<(k + 1)N},et la confi-
guration (a!'a?...a") y figurera au moins k—1 :
N(pYqm—— )Ù p(aNiH, ..., æNEH)) fois:
: di—0
d’où la relation
N kE—1
Ï < 2 | (23) [ata?...amf>— Gvgm—e)Y e(aNt, ..., Ni).
Soit |b'b?...b\{? la fréquence de (b1b°...8\) dhns les 4 premières tranches de longueur N. (23) peut alors s’écrire
AN [ata2 ones (pY gt — > POLE EN EE (DIS GE NEA
Faisons tendre n vers l'infini; |b'b?...B\[? a alors pour limite p°q"?(p — Xb}), ce que nous pouvons désigner par[ b'b?... BY],
PTE et nous avons alors
lim{ater...amf2(pvgm—<)Ù [6162 EN]o(6t, Boo) ON)
et, en faisant tendre N vers l'infini, et tenant compte de (20') et
de lim PŸ — 1, puis du fait que & a été arbitrairement choisi = An (24) lim[a'a?...a"]52pvqm, H— n (24) ayant lieu quelle que soit (a'a?...a"), nous en déduisons
que [a'a?...a”]} existe et a pour valeur Dig D eDone Test une suite indifférente.
La conclusion de ce paragraphe est donc la suivante :
Les notions de suite indifférente et de suite de Bernoulli sont équivalentes.
M. Copeland a montré (Copeland, I; p. 550) que les notions de suite de Bernoulli et de nombres admissibles étaient équivalentes ; il y a donc identité entre les nombres admissibles et les suites indifférentes.
5. Sélections laissant invariante l'indifférence d’une suite. — Soit une sélection S:; nous disons qu’elle laisse ineariante l’indifférence d’une suite, si, quelle que soit la suite indifférente x, la suite S(x) est encore une suite indifférente. Remarquons que si S, et 5, sont deux telles sélections, il en est de même pour leur produit extérieur S, < S: (p- 47). Nous avons vu (p. 53) que les sélections bornées laissent invariante l'indifférence. Nous allons signaler une autre classe de sélections jouissant de la même propriété : ce sont les sélections arithmétiquement périodiques, dont voici la définition.
Définition 5. — Une sélection S, définie par une suite de fonctions {fi} est arithmétiquement périodique si, d’une manière générale, f; n'est fonction que de l’entier 1, et s'il existe un entier k (la période) tel que fiix= fi quel que soul 1.
Soit S une telle sélection, de période k. Elle est également de période kk, où k est un entier quelconque. Soit & une suite indifférente de fréquence p; partageons-la en tranches de longueur #. Le nombre de termes de S(x) provenant d’une tranche quelconque
Te de + est un nombre fixe, indépendant de la tranche choisie, soit u cet entier. Si nous partageons S(x) en tranches de longueur w, puisque x est une suite de Bernoulli, nous avons, dans S(x)
V4 ut
RONCÉRPETLOIEETD T0) (= 2 “)
pour toute configuration de longueur u.
De même, pour tout multiple de w, nous aurons, dans S(x),
hu
L 7 (25) iaia?...alu | = p''qhu—v (es ai |
Nous ne sommes pas encore sûr que S(x) soit une suite de Bernoulli; mais si nous examinons la démonstration de la réciproque du lemme 2 (p. 57), nous voyons qu’il n’est pas besoin de considérer toutes les valeurs de N: il suffit de supposer que la relation
im | b162...BN = pe g\—0 RNA ni b'b DN x = pe q (e Dati)
a lieu pour une infinité de valeurs de N. Dans le cas qui nous occupe, d’après (25), nous pouvons reproduire la démonstration de la réciproque du lemme 2 en prenant pour N les valeurs de la forme Au, où À est un entier quelconque. Donc S(z) est une suite indifférente. Par conséquent :
La propriété, pour une suite. d’être indifférente, reste invariante quand on procède soit à une sélection bornée, soit à une sélection arithmétiquement périodique, soit à une série finie de sélections successives des types précédents.
Cette invariance n'a été signalée, à notre connaissance, par aucun des auteurs ayant traité de la notion de suite indifférente à tre principal ou accessoire.
La notion de suite indifférente fournit donc une représentation assez parfaite de l’irrégularité exigée par M. de Misès. Mais, naturellement, les remarques faites dans le chapitre précédent (p: 55) sur les collectifs de de Misès-Wald s'appliquent intégrale-
ment aux suites indifférentes.
—“—> Qq———
