CRITÈRES D'IRRÉGULARITÉ FONDÉS SUR LA NOTION DE MARTINGALE

SOMMAIRE. — |. Rappel des conditions d’irrégularité imposées par M. de Misès. — ?. Système de jeu ou martingale. — 3. Expression de l’axiome d’irrégularité de de Misès-Wald à l’aide de la notion de martingale. — 4. Conditions

d’irrégularité fondées sur la notion de martingale.

Nous allons dans ce chapitre proposer une nouvelle manière d'exprimer l’axiome d’irrégularité de M. de Misès, qui reste conforme à son idée générale citée page 22, mais non équivalente à la traduction mathématique qu’il en a donnée.

1. Rappel des propriétés des conditions d’irrégularité proposées par M. de Misès. —— (Considérons uniquement le cas de l’alternative (p. 23). Si nous considérons une suite z où la fréquence des 1 est égale à p(o < p 1), une condition d’irrégularité, selon M. de Misès sera, avec la notation de M. de Wald, de la forme (p- 32)

(A). « æ est un collectif K(S; p) ».

Si & n’est pas dénombrable, on n’est pas sûr qu’une telle condition n’est pas impossible à réaliser. Si l’on prend pour & l’ensemble total de tous les S possibles, comme l’autorisaient les premières définitions de M. de Misès, la condition est impossible. Mais M. de Misès a accepté la modification de M. Wald, qui prend pour $ un système dénombrable. Si & est dénombrable, la portée d’une telle condition est définie par les théorèmes 3 et 4 (p. 39) du Chapitre Il: on peut la résumer mathématiquement en ces mots :

Tout ensemble K(S; p) est de p-mesure égale à 1; mais quel que soit p, il existe au moins un ensemble de p-mesure

nulle tel que, quel que soit $S, il ait un point commun avec

En langage de la théorie classique modernisée, la remarque précédente signifie : quels que soient $ et p, si l’on procède à une suite d'épreuves indépendantes répétées où la probabilité d’un événement est p, on oblüent presque certainement un collectif K(S; p). Mais, il existe, quel que soit p, au moins une propriété de la suite des résultats des épreuves considérées, propriété qui presque certainement n’a pas lieu, qui est possédée quel que soil $ par un au moins des collectifs K(S, D:

Or la seconde partie de cette remarque exprime une propriété que beaucoup considéreront comme un défaut de la notion de collectif. Par exemple, il en résulte que dans un collectif la fréquence n’est pas astreinte à tendre vers sa limite en oscillant, bien que dans la théorie classique la probabilité qu’une telle oscillation ait lieu soit égale à 1. Nous allons rendre plus stricte la définition de l’irrégularité, de manière à éviter cette objection. En termes précis :

Nous allons voir que l’on peut donner des conditions d’irrégularité (plus strictes que celle de M. Wald), formant un système © de conditions C telles que si l’on désigne également par C l’ensemble des points x tels que la suite æ satisfasse à la condilion C (p. 33), on ait la propriété :

(T). Tout ensemble complémentaire d’un ensemble C peut être enfermé dans un ensemble de p-mesure nulle, et tout ensemble de p-mesure nulle peut être enfermé dans un complémentaire d'ensemble C.

Dans le langage de la théorie classique modernisée, la propriété F, relative au système € de conditions C, s'interprète : Quel que soit C appartenant à €, il y a une probabilité égale à 1 pour que C soit satisfaite par une suite d'épreuves indépendantes ; quelle que soit la propriété de suite P que l’on considère, si cette propriété P à une probabilité nulle d’être possédée par une suite d'épreuves indépendantes, il existe dans © une condition C telle que toute suite qui possède la propriété C ne possède pas la pro-: priété P. |

Il y a une manière immédiate de résoudre la question, c’est de prendre pour les C tous les ensembles de p-mesure égale à 1, ou même seulement les F; (1) de p-mesure égale à 1. Mais ces conditions d’irrégularité ne présentent plus aucun caractère intuitif. Nous allons voir que l’on peut trouver des conditions équivalentes, plus naturelles, en poussant jusqu’au bout l’idée générale du système de jeu posé par M. de Misès, mais qu’il a rétrécie en la traduisant sous la forme (A) de la page 69, dont nous venons de signaler un inconvénient.

2. Système de jeu ou martingale. — Pour introduire son axiome d’irrégularité, M. de Misès donne l’explication suivante (de Misès,

« Ce deuxième axiome, qui doit exprimer le «caractère aléatoire » des phénomènes considérés, est l’axiome d'irrégularité ou « principe de l’impossibilité de trouver un système de jeu ». Sa position en face du monde réel est la même que celle du principe de l’éimpossibilité du mouvement perpétuel. »

La notion de « système de jeu » est une notion qui a besoin d’être précisée au même titre que celle de sélection; nous procéderons dans le même esprit que M. Wald (p. 26).

Toujours dans le cas de l’alternalive, soit À un joueur qui joue contre un banquier, en étant libre de varier ses mises, avec la convention suivante : si À mise la somme À sur événement {æ"=1}, et que cet événement se produise, il reçoit la somme = ; s’il joue la somme À sur l’événement {z"!— o } el que cet événement se produise, 1l touche la somme ë (g—=1—p}). Supposons que À possède avant le début du jeu, une somme égale à 1. Si après le (n — 1)° coup il possède une somme s,,, il ne peut que jouer une partie ou la totalité, de cette somme, sur æ" = 0 oux"—1,ou ne pas miser du tout. Sa conduite peut donc être définie par deux lonctions), Gi, m2, 22), uA(x!, 2°,...,2"), nonnégatives, de somme inférieure ou égale à 1. ayant la signification suivante :

(!) Rappelons qu’un F, est un ensemble défini comme somme d’une infinité dénombrable d’ensembles fermés.

Ho Quel que soit n, À joue les sommes

Ân1Sn—1 SUE S—] O0) é.

; q (Ân1 + Hn1S1).

Mn S nr SUR LEO (ur=120)

Sn 1 étant la somme dont il dispose aprés le n° COUP: 57 A7, La sont des fonctions de x!, x?, ..., æ"; pour n — 0, 59, do, Lo sont des constantes, avec s,— 1.

Remarquons que si les fonctions à, et p, sont données, on peut en déduire les fonctions s,. En effet, d’après la signification de À»: pu, et la règle du jeu, nous avons :

Ant = 2 5 S] T't — Pen ee (en). SET RTE ) (1) É n—1 s ù OP - D — Cor ns nt rl Ur 10): SLT 07 (4

ce qui, Joint à $,:—1, détermine la fonction 5, quel que soit n. Explicitons les arguments des fonctions dans (1) : nous obtenons

A Er) Krn re METIER TR DE ) Pp (1 bis) SP RS on NL — La) 1 bis / Sn(Tl, æ?, LIN O1) ni / 9 re STUDIES RTE nn) AE it) Tru. ]:

d’où la relation

(i) Sn NE, à TEL)

D SALE Te TT) GES ACTE ET R OS

Réciproquement, si des fonctions non négatives $, satisfont aux égalités (2), on peut trouver deux suites de fonctions Ân et Un non négatives, de somme 1, satisfaisant à (1 bis). Le système de jeu de À est donc suffisamment défini par la donnée de la suite de fonctions | s,}. Les conditions (2) dépendent de p; pour obtenir des conditions ne dépendant pas de P; posons s:

Les fonctions 5,. non négatives, satisfont alors à

Gp —= 1, (5) MOT (C ARE PEN me D) one ti 0) 9, (xx T1, 0).

Nous désignerons par z une suite {sh} de telles fonctions, et appellerons martingale le système de jeu correspondant. St le Joueur À adopte la manière de Jouer définie par x, la proposition

« À ne gagne pas indéfiniment »

se traduit par l’inégatité

(5) DISUD SALE ET... La) don.

HE BER EE e (la notation % étant une notation abrégée pour indiquer qu’un nombre est fini).

L’inégalité (5) est une condition imposée à la suite x', x? HE La borne supérieure de s,(z!, x, #2," peut varier d'une suite à l’autre.

3. Élargissement à l’aide de la notion de martingale de l’axiome d’irrégularité au sens de de Misès-Wald. — Il ressort de l’exposé de M. de Misès que la notion de sélection et d’invariance de la fréquence était destinée dans son esprit à exprimer l'impossibilité de gagner indéfiniment à un jeu équitable : « Le fait que l’on ne peut modifier ses chances par un choix systématique des coups [sur lesquels on mise] compte parmi les conceptions les plus essentielles qui sont, à nos yeux, indissolublement liées à la notion de «hasard » et de jeu de hasard ». (de Misès, [3], p.17, in fine). IL y a là une restriction très importante; M. de Misès ne cherche pas à traduire d’une manière lout à fait générale la conduite du joueur qui cherche à modifier ses chances. Il ne parle que d’un choix systématique des coups, et ne cherche pas à exprimer le fait que l’on peut également chercher à modifier ses chances par une répartition systématique des mises. Nous verrons (p. 65) que la restriction faite par M. de Misès l'empêche d'atteindre pleinement, à notre avis du moins, le but qu’il semble s'être proposé en écrivant le passage cité. Nous allons voir ce qu'il en est, du

N — moins en définissant les collectifs comme l’a fait M. Wald (p. 25), pour être sûr de l’existence de ces collectifs.

Soit une suite æ telle que pour & égal à un nombre premier, on ait zt— 1. IL est facile de concevoir que À puisse au jeu décrit plus haut, gagner indéfiniment s’il possède ce renseignement sur la suite x : il n’aura qu’à jouer sur les coups de rang premier, en misant sur 1, et s'abstenir aux autres coups. Mais la question se présente en fait d’une manière beaucoup plus compliquée; il est exigé, par exemple, pour que x soit un collectif, que dans la suite des coups de rangs premiers, la fréquence des 1 ait pour limite p. Supposons que À sache qu'il n’en sera pas ainsi, mais rien de plus; d’une manière précise, soil

(6) ü, Lo, se LES

la suite des nombres premiers et soit f, la fréquence des 1 dans la

suite æ*, x®, ..., &’. Si À sait seulement que