VIS

Go f,< lim f, ou que lim f, Z p, Ÿ = V—= œ

est-il possible qu’il puisse utiliser ce renseignement pour gagner indéfiniment? Ce n’est pas évident a priori; nous verrons qu’il en est bien ainsi (p. 56).

Faisons abstraction des suites ne contenant qu’un nombre fini de 1 (!); une suite s étant donnée ($ 2), et p étant un nombre positif inférieur à 1, nous en déduirons une suite de fonctions s, d’après les légalités (3). Appelons H(c; p) l’ensemble des points du segment (0,1) correspondant à des suites æ (p. 33) satisfaisant à l'inégalité (5). Nous avons alors :

Tuéorèue À. — À tout ensemble G de p-mesure nulle nous pouvons associer une suite s telle que le complémentaire de H(o; p) contienne G.

Démonstration. — Soit F(x) la p-mesure du sçggment (0, x). La p-mesure d’un ensemble M sera alors “(= f a HE): é M

() Pour lesquelles il est aisé de concevoir un système de jeu permettant de gagner indéfiniment.

rie

Soit G un ensemble de p-mesure nulle. Quel que soit x, nous pouvons trouver un ensemble G,, formé de la somme d’une infinité dénombrable de segments ouverts, conténant G, et tel que DEN RE

Soit /,(æ) une fonction nulle en tout point du complémentaire de G», et égale à 2 sur G7; nous aurons alors

(7) © [fa Ce) dEF(æ) = 9-1,

et si nous posons

Le] ODA OC) nous aurons

JC) dE(æ)—1.

Soil Lis. 4n l'intervalle ensemble des points représentant les suites dont les z premiers termes sont x', æ?, ..., x". Considé- Fons lés fonctions, (21, 2°... x") définies par

(Chr (A EE ati) ={h HC2)ICA) 50 = Jdr(æ)

Luisa

Elles sont 20, et 55 —1. Les relations (4) sont manifestement vérifiées, Considérons l’ensemble H(S; p) correspondant (5 désignant la suite {o, }. Soit x, un point de G et soit

( T2 st LG, 5j; ss Zi;

la suite correspondante.

Quel que soit x, il existe un segment ouvert 1, parmi ceux constituant G,, qui contient +,; il existe donc une valeur de 7», soit Mn, telle que le segment [,1»:...,", soit intérieur à 1,; soit pr la p-mesure de [,,,..4",.

Puisque sur le segment I, nous avons f(x) — 2", nous aurons d’après (8)

(9) Omn(L$ LQ -- Co) 2 bo 27.

Soit vle nombre de 1 figurant dans les m, premiers Lermes de ,; d’après la définition de la p-mesure, nous aurons

Ho = où Gr,

me = et par conséquent, d’après (3) et (9),

] Sn — Fo) Ghetr Om, = — one 21, {40 ce qui montre que x, appartient au complémentaire de H(3; p). Le corollaire suivant est immédiat, puisque tout ensemble K(S:; p) est de p-mesure égale à 1.

CoroLLAIRE. — À tout système de sélections S et à tout nombre p nous pouvons associer une suite s telle que l'ensemble

H(o; p) soit intérieur à l’ensemble K(S; p).

Ce corollaire montre en particulier que si À a pour unique renseignement sur la suite æ que ce n’est pas un collectif K(S; p) (S étant un système connu), il peut diriger son jeu de manière à gagner indéfiniment. C’est ce que nous avions annoncé plus thaut (P- 74).

Les conditions d’irrégularité de M. Wald peuvent donc être exprimées au moyen de la notion de système de Jeu ou « martingale ». Mais la réciproque n’est pas vraie; d’après les théorèmes # (p. 39) et 1 (p. 74) il existe des H(o; p) que l’on ne peut enfermer dans aucun K(S; p). En d’autres termes : il existe pour un Joueur des manières de diriger son jeu telles que, quelle que soit la facon de définir un collectif au sens de M. Wald (c’est-à-dire quel que soit le choix du système dénombrable ® {de sélections) on n'est pas sûr, si l’on sait que la ‘suite des résultats sera un collectif, que le joueur ne gagnera pas indéfiniment.

4. Conditions d’irrégularité fondées sur la notion de la martin-

gale. — Soient les conditions d’irrégularité de la forme

« æ appartient à H(o; p) ».

D’après le théorème 1 que nous venons de démontrer, ces condi-

ons satisfont à la deuxième parue de la condition T (p. 70). Quand à la première, elle résulte du théorème :

Taéonème 2. — Quel que soit 5, l’ensemble H(5: p) est de p-mesure égale à 1.

Ce théorème est un cas particulier d’un théorème que nous

démontrerons plus tard (p. 86). Nous ne le démontrons pas ici pour ne pas faire double emploi.

Nous parvenons donc à la conclusion : on peut définir lirrégularité d’une suite d’une manière plus complète, au sens de la condition l de la page 70, qu’en utilisant les sélections, en poussant plus loin les conséquences du « principe de l'impossibilité d’un système de jeu » indiqué par M. de Misès, mais au prix, il faut le reconnaître, d’une complication plus grande des définitions.

En résumé : la condition primitive de M. de Misés, trop stricte, est impossible à réaliser ; la condition de M. Wald, moins stricte, est possible à réaliser, mais il y a certaines propriétés, de probabilité nulle au sens classique modernisé, que lon ne peut exclure, quelle que soit la forme donnée à la condition de M. Wald.

La condition d’irrégularité par la martingale échappe à cet inconvénient de la condition de M. Wald (qu’elle contient d’ailleurs comme cas particulier). Nous citons pour mémoire la condiuon d’irrégularité imaginée par les auteurs de la théorie des suites indifférentes ; c’est un cas particulier de la condition de M. Wald, et elle est entachée du même défaut que cette dernière.

Mais la condition d’irrégularité par la martingale est relative; elle suppose un choix préalable des propriétés (de probabilité nulle) à exclure. Si, dans un certain sens, elle résout la question de lirrégularité plus complètement que la condition de M. Wald, elle ne parvient pas à donner un modèle arithmétique d’une suite présentant cous les caractères d’une suite prise au hasard; ce dernier problème est considéré par nous comme insoluble, et nous nous soumettons sur ce point à l’opinton de nombreux mathématiciens, parmi lesquels MM. E. Borel, Fréchet, P. Lévy.

Par ailleurs, quelle que soit la manière dont on définit Pirrégularité, tous les inconvénients de la définition de la probabilité par la fréquence subsistent. Nous allons maintenant montrer qu'indépendamment du rôle qu’elle peut jouer dans la discussion de la théorie du collectif, la notion de martingale peut être uulisée, en restant dans le cadre de la théorie classique modernisée, pour simplifier les démonstrations de théorèmes connus ou même pour obtenir des résultats nouveaux. Ceci fera l’objet du chapitre

suivant.