APPLICATIONS DFE LA NOTION DE MARTINGALE

SOMMAIRE. — Première section : Jeu discontinu. {. Conditions d’équitabilité. — 2. Théorème de la ruine des joueurs. — 3. Etude du comportement de Ja fréquence dans le cas de Bernoulli.

Deuxième section : Jeu continu. — {. Jeu continu équitable. — 2. Formule de la ruine des Joueurs. — 3. Remarque sur les probabilités conditionnelles. — 4. Cas de Chapmann-Kolmogoroff. — 5. Borne supérieure stochastique. — 6. Recherche de fonctions limites. — 7. Cas d’une fonction à accroissements indépendants obéissant à une lui de Gauss. — 8. Plus grande valeur.

Les fondements de toutes les sciences resteront toujours controversés. Quoi qu’on pense de l'utilité des martingales pour élucider, comme nous avons tenté de le faire, les difficultés d’une définition de l’irrégularité, nous nous proposons de montrer ici que cette notion peut également servir des buts mathématiques précis. Nous allons dans ce chapitre passer en revue un certain nombre de questions classiques; nous ‘'associerons à chaque problème un :jeu équitable hypothétique, et nous étudierons l’espérance mathématique correspondante. Nos considérations reviennent au fond à traiter dans les cas étudiés, le problème de la ruine des joueurs, mais d’un point de vue nouveau : la probabilité de ruiné ne sera pas évaluée pour elle-même, mais pour sérvir à établir certaines propositions sur la limitation des écarts.