JEU DISCONTINU

1. Conditions d’équitabilité. — Soit une suite de variables aléa-

toires RS XX EE (— © << X L+ ©).

Quel que soit x, on suppose connue la loi de probabilité de X,, X», ..., Xh, c’est-à-dire la fonction

(1) PAT En) APT: XI Bt) Ke Ba on nee Emi

Nous avons évidemment quel que soit 7 :

(2) D Re n) ne (AA ee co Du, +),

puisque les x, ne peuvent prendre que des valeurs finies.

Considérons le jeu suivant : un joueur À mise une somme égale à 1, contre la promesse de recevoir la somme s,(X,) après la détermination de X,, ou s,(X;, X;,) après la détermination de X, et X,, ou ...,ou sx(X,, X:, ..., Xh) après la détermination de X1, Xo, ..., Xh 1 et X», ou ..., étant entendu que À est libre d'interrompre le jeu quand il lui plaît, c’est-à-dire de toucher après un coup quelconque, la somme convenue et en garder la possession définitive. À quelles conditions un tel jeu est-il équitable ?

La réponse intuitive à celte question est la suivante : après chaque coup, lespérance mathématique du joueur, relative aux coups qui vont suivre, est égale à la valeur de la somme qu’il possède à linstant considéré, et cela indépendamment de la conduite qu’il se propose de tenir, en s'inspirant par exemple des résultats de coups déjà joués. Nous allons traduire cette condition en termes mathématiques.

Par définition, les fonctions s,(æ1), S5(%1, æ+), ... Sont essentiellement non négatives. Nous ajoutons la fonction constante So 1 pour unifier les notations.

s,(æ,) est évidemment soumise à

(3) IÉCELNOER

Pour s:, la question se complique un peu; faisons une hypothèse sur la conduite de A après le premier coup : supposons que A décide de continuer le jeu si X, prend une valeur appartenant à un ensemble E, de l’axe des x et de s'arrêter si X, appartient au complémentaire E.. L’espérance mathématique de À est alors, au début de la partie en supposant qu’il s'arrête après le deuxième

me Ëg COUP :

(4) fs) dFi(z) + f suce Pie CE)

nl C

Cette espérance doit être égale à 1, quel que soit E,. Si E, est constitué par l’ensemble des valeurs de x supérieures ou égales à une valeur donnée +, nous aurons

(21) 2 Mi) 8 etes 2) de) En

Considérons le deuxième terme du premier membre de (5). C’est la valeur moyenne de la fonction 6» (X, X2) égale à s,(X4, X2) pour X,>2retàopourX,<r. Supposons que celte valeur moyenne existe quel que soit Tr; nous pouvons alors l’évaluer d’une autre manière, en utilisant la notion de probabilité conditionnelle introduite par M. P. Lévy (P. Lévy, [1], p. 68). Supposons que l’on sache que SX, <xi+h; quelle est la probabilité que X:< 4%? La probabilité que a <X,<z th et que X,<

est égale à F>(æi+ h, z2) — Fo(æi, de).

En désignant par © la probabilité cherchée, nous devrons avoir. par application du principe des probabilités composées.

[Fi(æi == h) == F; (æ)]® = Fo(æi == h. >) Ed Riz Go), d’où ss: EF: (21 + hi. FN Fs(x1. To) Fiæi+ h) — Fi(x:) LL

S1 l’on sait que X,— x, et que l’on cherche la probabilité que X,<C »,. on est amené à chercher la limite du rapport ci-dessus pour L — o. Cette limite peut ne pas être définie pour toutes les valeurs de x, et æ,, d’où une certaine indécision dans la définition de la probabilité cherchée. Nous adopterons une définition équivalente, appelons avec M. P. Lévy, fonction de répartition conditionnelle de X, quand X, est connu, la fonction D,(X,, ms); solution de l'équation intégrale e

(6) RO eee 1É Del; æe) dEi(t).

AMIE Cette fonction n’est définie pour chaque valeur de z, qu’à un ensemble, de valeurs de X,, sur lequel Ja, — 0, près. La valeur

moyenne de 9, (X;, X:) quand X, est connu est alors, par définition, la variable aléatoire

() Ix, { 62) = f(x, G)dE(X: 2).

Fa:

On démontre alors, par application du théorème de Fubini (P. Lévy, [1], p. 72) que la valeur moyenne IN { o, } de &:(X4, X2) a pour expression

M! 62} = 2R | OMx, {02} |,

ce qui nous permet d'écrire, au lieu de (5),

(8) 44 51 dF; + | sdb; an arr.

LOT a2 SAC 4 Pour T = — « nous obtenons MM{o,(X,, X2)} —1. En tenant

compte de cette dernière égalité, (8) devient

s(æ)d Fa) = | [ sa, 2) dia; | 41 1).

js T Ve y So(T1, TL: HA T TL:

Ce qui exige que l’on ait, sauf peut-être sur un ensemble sur

lequel [ar — 0, l'égalité

(9) S1(æ1) a S2(æ1, Ze) d'Pr(d1; Li), La que nous écrivons plus simplement (10) s (21) = M, { sa(a1, Xe) À.

Si de même ®,(X,, X:, ..., Xn 15 Œn) est la fonction de répartition conditionnelle de X, quand on connaît D Ces 2e

c’est-à-dire une solution de l’équation (HD ER (ri, Get œn)

a LT 2 tn —4 En—i

el que nous considérions la valeur moyenne conditionnelle

Re.

Le CN EN X»), c’est-à-dire la variable aléatoire

DO Sn | = f Sn (Xi, Xo, Jdes PET Zn) dP;(X1, …. Xn 1; Zn), L47

nous devons avoir

(12) LERERRE ETC T2, ..., Tn—1; Xh) j = Gr To, ..., Tn1).

Inversement, supposons (12) vérifiée pour toutes les valeurs de n. Soit l’espace E à une infinité de coordonnées DAY BTE DE La manière dont A arrêtera le jeu (en supposant qu’elle ne dépend pas d'éléments aléatoires) sera caractérisée par une suite d’ensembles disjoints BF, LE... dans E, ayant la signification suivante : E,, d’une manière générale, a une fonction caractéristique ne dépendant que de +,, æ», .…., æn: si le Point Xe appartient à E,, A se retire du jeu après le nième coup. L’espérance mathématique est donc représentée par la série

k (3) = jose fadt+. + (aa.