TP

Réciproquement, si Pr la) à la forme ci-dessus indiquée, la courbe aléatoire X(£) est équivalente stochastiquement à une fonction continue, c’est-à-dire qu'il existe une fonction aléatoire Y(£), idéterminée par la même épreuve qui détermine X(t), continue, telle que, quel que soit £,

CE NON En

Les résultats que nous venons de rappeler sont dus à M. Paul Lévy (P. Lévy, [1], p. 158-193) et montrent l’importance de la place tenue, parmi les intégrales à éléments aléatoires indépendants, par celles où F(æ;— x, #4, ta) est la fonction de répartition d’une loi de Gauss.

Cherchons à déterminer une fonction limite stochastique (p: 104) par le procédé du paragraphe 5 quand F a la forme (18). La fonction s(#, æ) doit satisfaire à l'équation

en

(19) s(é, æ) = fru+tzæne 20 dy,

qui exprime la condition (dj) (p. 101).

Nous allons essayer de trouver une solution de celte équation en raisonnant par analogie avec ce qui a été obtenu pour le cas de Bernoulli discontinu. Nous rappelons que nous avions trouvé

s(æ, ) pq f eG— 0 art:

æ étant la répétition de l’événement de! probabilité p. s(x, y) est le quotient de deux quantités, que nous pouvons écrire

PRET ANT bi , æ+y!

Un 3 tx(1 — th dF(&), AE

en mettant en évidence que la seconde est la probabilité d'obtenir les répétitions x et y, tandis que la première est la valeur moyenne

d’une probabilité du même genre. Ceci nous conduit à essayer, pour l’équation (19), une solution de la forme

, a (æ— à 12 re

(20) s(t, æ)— 4 DEC)

V2rt