CHAPITRE I

ÉTUDE DES FRÉQUENCES DES DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS QUI SE PRÉSENTENT DANS UNE SUITE FORMÉE DE 0 ET DE 1.

SOMMAIRE. — {. Définition des configurations et des fréquences. — 2. Relations entre les fréquences des différentes configurations. — 3. Degré d'indépendance des différentes fréquences. — 4. Construction d’une suite où les fréquences des configurations de longueur donnée ont des valeurs données. — 5. Construction d’une suite où les fréquences de toutes les configurations ont des valeurs données. — 6. Généralisation : suites dont les termes peuvent prendre k valeurs différentes.

Introduction. — Ce chapitre à pour but d'établir ‘entre les fréquences que l’on observe dans une suite, des relations qui serviront dans les chapitres suivants.

1. Définitions des configurations et des fréquences. — Soit une suite finite de termes égaux à o ou à 1

è ; D al), al), ..., atm (a oo tie TPE re) Nous appellerons cette suite une configuration de longueur m,

et la représenterons, en supprimant les parenthèses et les virgules pour abréger l'écriture, par la notation

(1) (ata?...am).

Nous aurons quelquefois recours à une notation encore plus condensée, empruntée à la numération binaire, en représentant la configuration (1) par la lettre w affectée de deux indices, l'indice supérieur étant égal à m», l'indice inférieur ayant pour valeur

@2) = QN+2AM IE fan 2, + om-l ai.

Nous écrirons dans ces conditions

(3) Ua N ae nr)

Soit maintenant une suite infinie de termes égaux à o ou à 1

Mer

(4) DB GE ee (GP=DOUNT: Li 2000 w

La configuration (a!a?...a”) sera dite figurer dans + au rang & si les m égalités suivantes sont vérifiées

(5) z al = æi, a? = æiti, Re an = gitm—Ai,

Introduisons le nombre y# (où £ est un indice) défini par mi (6) =) CROP RETL n), T1 y ne peut prendre que les valeurs o ou r, et les » égalités (5) sont équivalentes à l'égalité y°— 1.

Dérinirion1.— La répétition r de la configuration (a'a?...a") dans les n premiers rangs de x est le nombre des rangs distincts, inférieurs ou égaux à n—m+1(n2m), où (a'a?...a") figure dans x; c’est aussi le nombre de fois où nous rencontrons (a'a?...a") en lisant les n premiers termes de x.

La fréquence de la configuration (a'a?...a") dans la suite

5 re Vie r Fe des n premiers termes de x est par définition le rapport Ilest

nn — n1+1 éval au nombre > D: vi, où v'est déjfint par (6). Nous repré-

senterons cette fréquence par la notation

RATAATAAN (n 2m).

Quand » augmente indéfiniment [a'a?...a"|} peut tendre vers une limite; dans ce cas nous poserons la définition :

eue

T existe, ce sera

DériniTion 2. — Si le nombre lim|a'a*°a”|

n= par définition la fréquence totale selon l'expression de M. Borel, ou parfois plus brièvement la fréquence de la configuration (a'a?...a") dans la suite x. Nous représenterons cette fréquence par la notation [a'a?...a"ft. C’est évidemment un nombre non négatif au plus égal à 1.

Nous emploierons quelquefois par la suite les notations abrégées [uw ]% et [u}*]” au lieu des notations introduites dans les définitions 1 et 2, u?* ayant le sens indiqué plus haut.

2. Relations entre les fréquences des différentes configurations. — Soient la suite (4), une configuration (a'a?...a") et les deux configurations (a! a?...a"o)et(a!a?...a”1)quis’en déduisent par prolongement d’un terme. Désignons par y", y et y les nombres associés à ces configurations par les égalités (6). Nous avons (52) De — (1 ss | ditm DRAr 7% (x —.| Gi maUEt | L)yÈ et par conséquent y} + y — y. Il en résulte que le nombre

[ata2 ant [at Varof=[atar ‘an?

ne peut être égal qu’à o ou à -+ D’où la proposition suivante : P gal q - prop suivante :

Taéorèue 1. — Si deux des fréquences RCE our MR carole Aee acer existent, la troisième existe aussi, et elles satisfont à la relation (8) Faro antoine roE Ra rcÈeee am], ou, avec la notation abrégée Lust} + [usip= [ut Considérons maintenant les trois configurations

\ (alias. ant), (oater art) Cia ar)

que nous représentons par les notations

m m+1 m+A — nt Use ML SuTEN (tr—1970)e

En désignant par y, y, 17tles nombres associés à ces configu-

rations par (6), nous avons He) TE (tr)

et, par conséquent,