Degré d’indépendance des différentes fréquences. — Soit

une infinité de nombres p#(1< 2"), non négatifs, donnés à l’avance. Posons-nous la question : existe-t-1l une suite x telle que, quels que sotent t et m, on ait l'égalité

(9) loc (OS = 1 D C0 0 ve 0 je

Une première condition nécessaire est évidemment que pl + pi —=1. D'après les théorèmes 1 et 1/, il faut en outre que

nous ayons

(Go) CRETE Tre ER OUEST

Nous verrons (Théorème #4, Remarques I et IT, p. 17), que ces conditions sont suffisantes. Les relations (10) montrent que l’on ne peut pas choisir arbitrairement les #”*; jointes à la relation el + pv] = 1, elles permettent de calculer tous les v;" à partir de ceux d’entre eux qui sont de la forme vs; avec i<C2"?(m—1,2,...,n,...). Nous ne démontrerons pas ce dernier résultat, qui s'établit sans difficulté, et que nous n'utliserons pas par la suite. Si nous ne

considérons que les configurations de longueur au plus égale à m,,

ne i d’après 1 lat rons calculer nous voyons que, d'après les relations (10), nous pouvo

tous les #7", où m<mo à partir des 2”* valeurs #”*, qui sont liées elles-mêmes par 2” relations; d’où le théorème :

Tuéorème 2. — Parmi les fréquences des configurations de longueur au plus égale à mo, il en existe 2"v-1 indépendantes.

La démonstration de ce théorème exigerait que l’on montre que les relations (10), où m—m,—1. sont indépendantes, et que ce sont les seules à lier les +7. Nous l’établirons par une autre voie (voir la Remarque après le Lemme 4, $ 4, Da)

4. Construction d’une suite + où les fréquences des configurations de longueur donnée ont des valeurs données. — Soit un Système de nombres non négatifs p?(i < 2") satisfaisant à pi + pli

et à la condition (10). Si pour une suite x et une valeur fixe de m nous avons ‘

(Gi) [unir 07 (0,1, 27)

il résulte de (8), (8') et (10) que pour 7 <m les relations (12) [u]r= 0j (TEE TU) sont vérifiées. Portons notre attention sur les nombres VAN OË 7 A

une valeur donnée. Examinons d’abord le cas où ils sont tous diffé-

rents de zéro (1), et introduisons les 2”! nouvelles quantités À; définies par

(13) NE . (Oo one U—=TO

Le) ù Î | :

nr

En posant à — 2-1, nous voyons que les p} et les À; sont liés par les relations

; poi—= ADR (FF ON ST EMEN) na »17 EE m ? . 22 — | Pin am ep, CORNE co DE) (E) / 241 à \ DRE >», PPT.

æ : nc

(1) Le cas où certains des v}" sont nuls est traité dans la Remarque I de la page 17.

re

Les À; étant ainsi déterminés par (2), considérons le système d'équations linéaires, aux inconnues v;,

[ Do; — À io; (OT 70) \ Po oo oct (a 2700); (2) 24 —1

Ce système admet la solution {e;—+v#}. Supposons qu’il admette une autre solution {v;—w;} avec 20. Quel que soit p, (21) admet alors la solution fo; por +(i—p)w;}. L'ensemble des valeurs de y telles que, pour j — 0, 1, ...,2@œ—1, nous ayons pp# + (1 —1#)#,2 0 est un ensemble fermé, admettant le point m—1 comme point intérieur, puisque les v* sont diflérents de zéro; il existe certainement une valeur de y telle que pour une valeur de 7, on aitpe#+(1—p)w;<o; nous en déduisons donc qu’il existe une valeur y, de p telle que por # + (1—mo)#,20, l’égalité ayant lieu pour une valeur au moins de lPindice 7; soit 7, une de ces valeurs, et soit uj = bo NC — Lo )Wj.

Nous avons u;,— 0. Si Jo est pair, soil Jo— 2%, l’examen de à, montre que Works Uk, Urxa SOnt nuls, puisque les À; sont non nuls. Si Jo 24 +1, nous concluons à la nullité de wo, x, ux,;a. En raisonnant sur #; COMME sur w;, nous montrerons, en opérant de proche en proche, que w,—o. De u;j—0o, nous déduisons la nullité de w;,4. De la nullité de w,;, nous déduisons celle de w;. En

partant de w,=—= 0, nous obtiendrons ainsi le tableau des u; nuls

(420) 21) > Ua LA ; ; Un > U > Ua? 7 Usa 4 LA ” 7

Ugo Ug.Uoaf2 7 Usa2- Ua Uso/n - Usa > Uza/s

Soit œi(0o < j < 2i) l'indice du terme de rang j dans la (+1) ligne de ce tableau. La loi de formation des ° est

: I ; ; ; ii L +1 1 = Ge wŸ ee Ooj+t 9 73 y ee: Le ( D É ES mn).

OU

Supposons démontré pour une valeur £ que :

o Ra © è 1° Quel que soit j, ; = 2° Les 2i nombres w°:(j—1, 2; ..., 2!) sont disuncets.

est divisible par om,

3° Le plus grand des nombres w° est Ch — 27 — SE,

Les propriétés 1°, 2°, 3° sont encore vérifiées pour la valeur £+ 1.

#1 sont distincts

Pour 1°, c’est manifeste. Pour 2° : les nombres &,°",

et les nombres oh! également; le plus grand des nombres CS est oi M1 om—i-t; le plus petit des nombres wf,;' est au moins égal à & — 2" 1; donc les nombres wi"! sont tous distincts. Enfin, 3°, le plus grand des wir! est @: + œ — wir OO nt LE

1°, 2°, 3° étant vérifiées quel que soit :<m, en partüculier, pour i— m, les 2” nombres w°?

est 2%— 1, Ce sont des entiers non négatifs. Ce sont donc les

sont distincts, et le plus grand

entiers de o à 2”*— 1, rangés dans un autre ordre que l’ordre

naturel. Revenons à la signification des w° : nous concluons à la

24 —1 nullité de tous les w;, ce qui est en contradiction avec > Hi: J—=0 D'où le lemme :

Lemue 1. Sy les 2" valeurs positives v}! satisfont aux deux dernières relations du système (È), et si les 2-1 valeurs À; leur sont associées par la première relation du système (È), le système d'équations (È,) aux inconnues v; admet comme unique solution à termes non négatifs la solution

ere LD EU {+

Nous mettons en évidence, dans l'énoncé du lemme 1, les valeurs P#* données; si nous considérons le système (È,) seul, nous voyons qu'une conséquence immédiate du lemme { est le lemme :

N d \ = 4 > se Lemme 2. —— Le système (Z;}), où les À; sont supposés positifs non nuls, admet au plus une solution en +; à termes >o. De

plus, cette solution satisfait à v;Æo(j —=0, 1, ..., 2@—1), ”

La deuxième partie du lemme résulte du fait que #; — 0

Jo entraîne 6,== 0, ce qui entraîne la nullité de tous les +;. La donnée

no —

des }; est donc équivalente à celle des CH . La proposition suivante va nous permettre de faire un pas de ne dans la recherche de la

suite x.

Levme 3. — m étant un nombre fixe, si les valeurs vf} satisfont aux conditions 2%—1 mm It ni = = \ ; = — Pi > 0, DH ofia= va + 6% (TEA), D r7=x, 1—=0 toute suite x telle que, quel que soit i, on ait mr mt lim lue Er (OF 21), n=e (ui Ph É salisfart aux 2" relations HAS ET 4 (o<ÿ < 2), = 9 Démonstration. — Soit une suite x mettant le théorème en

défaut. Il existe alors une valeur de j, soit j,, et une suite de valeurs de n, soit { n,}, telles que lim [8,2 o.

He

Soit xy la suite RE EE ayant pour période la suite finie des ny premiers termes de x. Posons [ un rx put

/ (h) Mr li :

(14) AMEN pe =) En hi — ' [uses JTE 034

La configuration u? figure autant de fois dans les n premiers

termes de x que dans He ny; premiers termes de æ, donc 2 Mlr mi é Lu re Lu Ee

si nous Der les 2nx premiers termes de x. la configuralion uw” * figurera deux fois autant que dans les 7; premiers termes 4 æ et peut-être encore en quelques-uns des rangs ne — Mm+1, nx— m+2,..., ny. D'où l'inégalité