LI

ae A. m Mlx < (15) oLonp[uÿ ]f£— 2nr[uj Jr <m.

hr D'une manière générale, nous aurons

oÉsnalu fe snrfu fr, SC 2) SET re)

d’où, en faisant tendre s vers l'infini,

à nt (16) , OS [us

Tout p} sera donc de la forme

: UT ne + 0022 (17) ie AR Es on nrfuBis + aime

La valeur de p° quand Æ tend vers l'infini dépend de la crois-

sance de nyl us; >:

fe et de nel usa Vue

Considérons d’une manière générale n[u” |;

j Jn:

Si cette qu est bornée supérieurement, la configuration u””

5 ne figure qu'un

nombre fini de fois dans +. Mais 1l résulte des hypothèses faites

que si uw; ne figure qu'un nombre fini de fois, il en est de même

de u,1, et réciproquement. Par ailleurs, notis avons vu au para-

graphe 2 2 que

eh 1 k ET [ut [us — [url =: [un [ui [ur lis Fe

d’où nous déduisons que

(18) laura = nur nu rlmis<s

nt mn

Si donc l’une des configurations uw}, u%,, ne figure dans + qu’un

nombre fini de fois, il en est de même pour l’autre et pour les

configuralions uw? et u}*,. La détermination des indices 7 tels L it” Jl

que u? ne figure qu’un nombre fini de fois est la même que la Re de des nombres o° employés dans la démonstration du

Théorème 3. Nous arrivons à de conclusion que chacune des configurations ui

est manifestement absurde. Donc, | uw], n’est pas borné; comme

c’est une fonction non décroissante de 7, nous avons 4

ne figure qu’un nombre fini de fois dans æ, ce qui

lim n[u} JF =, n—= 2

ce qui, en nous reportant à (17), montre que

Heneene

À partir d’une certaine valeur de X, les pl sont done positifs (non nuls) er finis. Les w? sont la solution, unique, du système (2) aux inconnues P;2 Oo el aux paramètres ui (pu? de À;), tandis que les #”* sont la solution unique du système (2:) avec les paramètres À;. Quand les À; sont positifs, les v;, déter-

minés d’une manière univoque, sont des fonctions continues de À;,

étant mis à la place

puisque le système À, est linéaire ; nous déduisons donc de (19) que

20) ; (9) Due, (20) lin wo —=p;,,

Kk= or, d’après (16),

. fe C THE lim æ; = lim [ Uÿ, ie Ê=90 = +)

nt,

nous avons supposé celte dernière limite différente de v}*: nous sommes amenés à contradiction, ce qui démontre le lemme 3.

Grâce à cette dernière proposition, nous pouvons établir le Théorème suivant

Tnéorème 3. — m élant un nombre fixe, st les valeurs pP(o<j<2") satisfont aux conditions 24—1 Din 0, > Dit, Di Dia PR Hp,

(0< ï OO ON — DNEAN)

on peut construire une sutle x telle que dans cette suite

imlu7lt = 97, ] 7 F Fa FL 100 :

tt Démonstratt — |P SRE NUE i ot suiles £ ration. OSOSS RES construisons 2 suites Poi4a £

Vos ce. Vas. dont les termes sont égaux à o ou à 1 ù fe — 14 17 ; EE \ (21) D D NUE DÉCOMPTE EC

telles que dans ces suites on ait

La construction de telles suites n'offre aucune difficulté.

Les m— 1 premiers termes de x seront arbitrairement choisis; ils

formeront une configuration de longueur m—1, soit la configu- MEANS joe D'une manière générale, les 7 premiers termes de x ayant été

lation w nous prendrons pour æ”* la valeur de y}.

choisis, soient

les termes g-"12gnm+3 gt forment une configuration de longueur m—1, soit uw} !; le nombre de fois que cette configuration figure dans la suite finie x', x?, ..., x", à savoir :

ñn MAÉ

est bien déterminé; soit k, ce nombre. Nous choisirons pour z'*! la valeur de Vi Il reste à montrer que la suite ainsi construite satisfait bien aux conditions demandées.

Ne conservons, parmi les termes de la suite z!', æ?, ..., ær#1, quetlesitermestzttelstque lacontigun tonte rer Rene soit identique à une configuration u”" donnée à l'avance. D’après la loi de formation de æ, les termes conservés sont identiques, quant à la valeur et à l’ordre, aux A premiers termes de la suite y j, avec

j) Mm—A1 1x OUR A En re

Si donc, 2% tend vers l’infini avec n, nous déduisons de la remarque précédente que nous aurons bien (33) ion Tu — Ye.

n= © [ Uoj+i ]n

Si la condition (23) est vérifiée, quel que soit u”! !, par application du théorème #, nous voyons que x satisfait aux condions demandées. Le seul point à démontrer est que, quel que soit

la configuration de longueur m — 1 considérée, on a

(24) lim AV = >,

Si, pour une configuration uw! la quantité A? est bornée, les configurations uw} et u;},, ne figurent dans + qu’un nombre fini de fois. Inversement, si l'une des configurations u}} ou u}?,, ne figure dans æ qu'un nombre fini de fois, il en est de même de l’autre; par application de l'inégalité (18) utilisée dans la démonstration du

lemme 3, nous pouvons ajouter que u}* et ui} ne figurent qu'un

nombre fini de fois. Par un raisonnement identique à celui employé dans la démonstration du lemme 3, nous voyons que supposer un des AŸ borné amène à contradiction. Donc la relation (23) est vraie ponr tous les 2Ÿ, ce qui établit la proposition.

Le théorème 3 va nous permettre d’énoncer uu résultat relauf au système (Ë,) de la page 6. La construction utilisée dans la démonstration du théorème 3 ne fait intervenir que les valeurs y;. Choisissons ces valeurs rationnelles positives ; nous pouvons alors astreindre les suites y; à être périodiques. Construisons la suite x par le procédé indiqué : il est facile de montrer que cette suite x sera elle-même périodique à partir d’un certain rang. Soit, en effet, M le plus petit commun multiple des longueurs des périodes des suiles y; si, en deux endroits de +, soient aux rangs 7, el 7, nous avons

RŸ= hŸ (mod M) (ONE NT r A)

la suite æ à partir du rang n, reproduira la suite x elle-même à partir du rang 2,, à condition queles configurations (4717? , 2) et (x "8 ,,,2x'"#) soient identiques. Considérons l’ensemble d’une configuration de longueur m -— 1 et d’un système de x valeurs AU), deux valeurs 4) n'étant considérées comme distinctes que si elles ne sont pas congruentes (modM). Cet ensemble de & + 1 éléments peut prendre au plus æM% valeurs différentes, à savoir & pour la configuration, M pour chacune des & valeurs L{). Donc, sur un segment de æ contenant plus de &æM% termes, la coïncidence qui entraîne périodicité se présente au moins une fois.

La suite x étant périodique; les fréquences [u”’]" existent toutes. Elles constituent une solution du système (È,) aux paramètres y;. Le système Ë, admet donc une solution telle que 6; 20 pour tout système de valeurs rationnelles positives des À;. Cette solution est unique d’après le lemme 2; elle est manifestement continue en Àg; A4 ++, Ag 1e En tenant compte du lemme 2, nous pouvons donc énoncer le résultat :

Lemue 4. — Le système X, de la page 5 admet, pour tout système de valeurs positives des };, une solution en v; qui satisfait à v;20. Cette solution est unique et satisfait de plus à la condition P; > 0.

Remarque. — I résulte du théorème 3 et du lemme #4 que les fréquences des configurations de longueur m dépendent der paramètres, à savoir les À;.

Nous pouvons maintenant passer à l’étude du cas où les valeurs de toutes les fréquences sont données.

5. Construction d’une suite x, où les fréquences de toutes les

configurations ont des valeurs données. — Soit maintenant un système { v#°} de nombres non négatifs, satisfaisant à 4, + 6, = 1

et aux égalités (10) ($3). m prend toutes les valeurs entières posiuves, et 7 les valeurs entières non négatives inférieures à 2”, Nous allons prouver qu’il existe une suite x telle que

[ut je= 077,

quels que soient m et £ et montrer comment la construire, la construction même établissant cette existence. ;

Soit {e; } une suite de nombres > 0, avec lime; — 0.

Soit une valeur de i; nous pouvons trouver des nombres (v}!, positifs (m<i, j < 2"), tels que

DU (25) wi+æl=t:, |} TRE

SE CS NN oi Dee ot fr) et satisfaisant de plus aux égalités (10).

Posons, en chét, wi ph)" ne M roûro er, Les expressions sont 20; elles satisfont à (10) pour — o etpouru —1, donc pour toute valeur de j} comprise entre o et 1. Les différences | #7 — vons donc trouver une valeur de x >> o telle que (25)soit vérifiée.

v®| sont alors fonctions continues de y; nous pou-

Pour cette valeur de # > 0, tous les O2 sont bien positifs.

D'après le théorème 3, il existe une suite x; telle que

LEA Te. D'où le premier stade de la construction de x

A tout entier {, nous associons une suite x; telle que

(26) MN eee FE CHEN RU 0, ar

Associons à tout entier € un entier p; tel que pour 72 >; on ait

7) Ilulé=elu/lil< (rèms mer j<on).

CPS

Soit N, le plus grand des nombres Lu et Ë » | (1). SoitiS, la

: s SA.

suile formée des N, premiers termes de æ, à la suite desquels nous

écrivons les termes de x,. Nous allons montrer que pour n2N,;, nous avons

(28) [Lu Pa— ol | <e (= or).

S1, en effet, N;<n<N,+p>, nous avons

D) OR AMESRESSERE

en tenant compte de N,2p,, de (26) et de (25), nous obtenons bien (28).

Si maintenant r 2 N, + u2, nous voyons que nu) }= Nilu/Ki+(a—N)lu; ex,

: = a 171$ el par conséquent Lu; : ME A F

et Luihe avec ñn—N,;2u, N;i2p. En tenant compte de (25),

est compris entre les nombres [uÿ];:

nous obtenons encore l’inégalité (28).

Nous allons former maintenant, à parür de S, et +3 une suite S:, d’une manière analogue à celle dont S, a été formée à partir de >, et

Soit y, un nombre tel que »,2 N,, et que pour 22, on ail

Goal = | eu - CR 0 Le 01 1)

S, se confondant avec la suite +, si l’on supprime ses N, preniers termes, nous déduisons de (30) et de (26) que

(31) HEAR TA Cros, 29 m2)

|. La suite S, sera

Soit N, le plus grand des nombres », eu] formée des N; premiers termes de S;, à la suite desquels nous

écrirons æ:. Pour 722 N,, nous aurons

(32) | [up] op] < one (M =T, 2).

(!) Nous représenterons par | z] la valeur approchée à une unité près par excès du nombre 3.

2Gre En effet, pour N,<n<N,+ 143, nous aurons

2 < — N £: 4 Lulu RSS sS (m=r, 2),

IPAN IA

ce qui, tenu compte de N,2»,, et de (31), nous donne (32). Si maintenant 72 N, + p3, nous avons

nu] Nu} [+ (n — N>) PaPAese 0:

où ÿ est un nombre égal à o ou à 1 (est égal à 1 si le N° terme de S, et le premier terme de +, forment une configuration u?; il

+ ar faut pour cela que m—>2). Nous en déduisons que, à = prés,

ms - ù ms mx [uÿ ]f est compris entre [ur et [ur ix, ce qui, tenu compte

de N:2v, n—N;2p3, de (31), de (26) et (27), nous donne encore (32).

D'une manière générale, supposons formée S;, et déterminé N; tel que pour 7 2 N; nous ayons

(33) Fu Si oP| <e; + (RL, 0)

Supposons qu’à partir d’un certain rang, les termes de S; soient ceux de æ;,,. Il existe un nombre »; tel que pour n 2»; on ait

NRA 0 E< (hou FR UN TEE

ner Prenons pour N;,, le plus grand des nombres N;, »;, | ie |.

Si+1 La suite S;,, sera formée des N;,, premiers termes de S;, à la suite desquels nous écrirons x;,+. Nous démontrerions comme plus haut que pour n2N;,, (34) Cup of au +2 (RS RS a)

Si,4 jouit des mêmes propriétés que S;; le procédé de formation de ces suites S; se poursuit donc indéfiniment. Nous prendrons pour æ la suite limite de S; quand # devient infiniment grand, c’est-à-dire la suite obtenue en écrivant à la suite les uns des autres les N, premiers termes de x,, les N, — N, premiers termes.

de æ;, et ainsi de suite. Pour N;<n<N;,,, nous aurons alors

RE A [[uPli— el <a+ CEST, pre Le Det)

2e Vlr ce

ce qui entraine bien, quels que soient m et j,

: mr ,m At 7 RE

Nous pouvons donc énoncer le théorème

Taéorème 4. — Soit le système de nombres gp, positifs ou nuls, satisfaisant aux relations (10), et à 6! + p}. Il existe une

suite x telle que, quels que soient m et j(< 2") on ait

Remarque I. — Si au lieu de donner tous les p# (m1, 2,3,

J <2”*) on se donne seulement ceux qui correspondent à une longueur donnée m,, les relations (10) permettent de calculer les (Ce où m<Zm,. Procédons à la construction indiquée dans la démonstration du théorème 4, en ne tenant pas compte des conditions où interviennent des longueurs de configuration > mu. La construction est encore possible, et se fait exactement de la même manière, ce qui montre que le problème traité page 11 dans le cas où les #”* sont différents de zéro est soluble également si certains des #?* sont nuls.

Remarque 11. — L'existence d’une suite + telle que les configurations s’y présentent avec des fréquences égales à des valeurs données, sous la seule condition que ces valeurs satisfassent aux relations (10) ($ 3), montre que ces relations sont les seules qui existent entre les fréquences des différentes configurations.

Nous terminerons ce paragraphe par l'énoncé d’une proposition qui nous sera utile par la suite.

TuéorÈème 5. — Sr, dans une suite x, m étant un entier donné, les limites

existent et sont finies positives, il en est de même des limites

lim {u}']Z (0 1. con — Tr).

Démonstration. — Posons .. [ui ne lin ns:

n=e [Un Les |; sont des nombres finis et positifs par hypothèse. D’après le lemme 4 (p. 13), le système (Z,) admet, pour les valeurs y; des paramètres, un système unique de solutions, soit

PJ = 0m. 2%), avec PT 20) DE "1 Nous sommes dans les conditions d'application du lemme 3 ($ 4); donc nous avons

, mm |x nr ï Hate = oo en).

6. Généralisation : suites dont les termes peuvent prendre k valeurs différentes.

Soit une suite RELIGE 6 SET See

dont les termes peuvent prendre # valeurs différentes, que nous désignerons par 1,2, ...,k. Les relations (8) et (8') (p. 4) se généralisent facilement. Considérons une configuration (a'a?...a") (ai—1,2,...,k) et sa fréquence dans la suite des 7 premiers termes de x, soit [ a! a?...a"]% cette fréquence. Nous avons alors

k [ata?. are lat arf =0bue jen

et ki

RATER amp— > Rata ant vo onu

Si les fréquences Lotales des configurations considérées existent, nous aurons donc (en désignant par [a'a?... a]; la limite,

pour » infini, de[a'a?... a”]®)

k k (1) (Pr, [ata...amj} = Ÿ [jai ar... amyr. ù

Bornons-nous, pour simplifier, aux configurations de longueur 1

(qui sont lés termes 1, 2, ..., k eux-mêmes) et de longueur 2 : k k (2) CSS Li} 1=A Ja

Nous allons donner une application simple des considéralions précédentes. Soit une chaîne de Markoff constante à k éléments; supposons que nous soyons dans le cas régulier. Nous avons alors par exemple une suite de variables aléatoires

(3) DC me CS LAURE CSA (ORNE NE)

et un tableau carré |

| pijl de probabilités positives, telles que

pe PriRr-JNeX et) 0, Les pi; satisfont naturellement à k

Si la probabilité p/° que X,— 1 tend vers une limite quand x tend vers l'infini, soit p; cette limite, les limites p; satisfont au système

# k (4) pi= > pipi et Dh GE PE ME SIEEN T1 Î=A1

Dans l’hypothèse où tous les p;; sont positifs, on montre que le vin Pi È ’ q

système (4) aux inconnues p; a une solution unique (Fréchet, 3,

p- 49). Considérons une valeur £ quelconque (1 <i<k), et de la suite

(5) D LA Lo Dr ce

des résultats obtenus en déterminant la suite (3), ne conservons que les termes x, tels que xn, — &. La suite partielle ainsi obtenue peut être considérée comme une suite de résultats d'épreuves indépendantes; soit

(6) Tnyy ns +.) Zn cette suile. Nous avons

PORN = pe rex 2) 5, À).

Aux x +1 premiers lermes de (5) correspondent les n[1] premiers termes de (6), parmi lesquels les termes égaux à 1,2,...,A figurent respectivement un nombre de fois égal à

(næs)[iil sen Ba)re PR Or mr ele

Si donc limn{[iff—, en appliquant la loi forte des grands

. imetil(ÿ

n= A? nm Lil

=D. (a ir “)

Or, limn{i|; = signifie que dans (5) il y a une infinité de termes égaux à; on montre facilement que dans le cas considéré cela a lieu pourri —1,2,...,k. En cffet, cela a lieu au moins pour une valeur de #, soit { — 19. En tenant compte de (3), on voit alors que toutes les configurations (7,7) sont répétées une infinité de fois, et par conséquent tous les termes 7 1,2, ..., k. Ceci posé nous pouvons donc admettre (7) sans tenir compte de la restriction entre parenthèses.

Revenons aux p;; supposons que l’on n’ait pas (8) Dore

Il existe alors des quantités d; non toutes nulles, telles que l’on puisse trouver des valeurs de » telles que les quantités

(9) Hifi pi à |

soient arbitrairement petites, et par conséquent, em tenant compte de (7), que les quantités

LE — pi pi di) | soient arbitrairement petites. En sommant par rapport aux £, nous obtenons des expressions telles que k k

[1 T2) PiPr —Ù Pij ài|, t—A 14 a

que, par un choix convenable de x, nous pouvons rendre aussi petites que nous voulons, et en tenant compte de (9), nous

aurons, avec telle approximation qui nous plaira,

k < Q DS JDD Cpi+ Gi)pij,

ce qui montre que le système p;+ 0; est solution du système (4). Nous sommes en contradiction avec le fait que le système (4) admet une solution unique. Donc (8) a lieu.

Nous concluons donc : dans le cas régulier, la convergence presque certaine dans une chaîne de Markoff est une conséquence arithmétique de la convergence presque certaine dans le cas de Bernoulli.