COLLECTIFS ET SÉLECTIONS

SOMMAIRE.— 1. Définition des collectifs de M. de Misès, — 2. Définition des

collectifs de M. Wald. — 3. Champ des événements probabilisables. — 4. Irrégularité de la suite constituant un collectif. — 5. Composition des sélections. — 6. Construction d’un collectif. — 7. Collectifs indépendants. —

8. Conséquences de la forme de l’irrégularité imposée par les sélections.

1. Définition des collectifs de M. de Misès. — La notion de collectif a été introduite par M. de Misès dans ses recherches sur les fondements du Calcul des Probabilités (de Misès : 1,2, 3). Nous nous reporterons dans ce qui suit à son 7'raité (de Misès, 3), dont voici trois extraits que le lecteur retrouvera aux pages 9, 12 et 14:

L'objet du Calcul des Probabilités est constitué par des événements collectifs ou par des processus de répétition; ces derniers consistent en un très grand nombre d'éléments successifs (observations), dont chacun donne lieu à l'apparition d'un résultat (résultat d’observation) caractérisé par un nombre (ou un groupe de nombres); ces résultats se présentent en «succession trrégulière ». Les observations sont effectuées d'après des règles précises, conduisant à la détermination sans ambiguïté du résultat, ou, éventuellement, au rejet de l’obserpalion.

La notion de «succession irrégulière » est imprécise. Voici comment M. de Misès la définit, à l’aide de la notion de sélection. Considérons le cas simple de l'alternative, c’est-à-dire : supposons que les observations ne puissent donner lieu qu’à l'apparition de deux résultats différents. La suite des résultats peut alors s’éctire sous la forme d’une suite de o et de 1. M. de Misès définit une sélection comme suit :

D'une suite indéfinie d'observations, nous extrayions une suite partielle par « sélection » sinous nous donnons un procédé qui décide de l’appartenance ou de la non-appartenance de la n'% observation (n —1,2,...) à la suite partielle, indépendamment du résultat de cette n observation, en tenant compte au plus de la connaissance des résultats des observations précédentes.

Une fois cette définilion posée, M. de Misès passe à la définition du collectif le plus simple, ou alternative :

Nous désignerons par collectif le plus simple, ou alternative, une suite infinie d'observations de même nature, dont les résultats peuvent à chaque fois être représentés par deux signes, soient « o » et &1», st les conditions suivantes sont

remplies :

PREMIÈRE CONDITION : A4 et n, étant le nombre de celles parmi les n premières observations qui ont fournt les résultats «0 » et «1 » respectivement, les deux limites suivantes existent :

: 70 . Ji lim — =p lin = =

) n=o 1 n=+x nl

Deuxième conpirron : St l’on extrait de la suile totale une suite partielle par «sélection », les limites correspondantes existent dans la suite partielle et gardent les mêmes valeurs :

lim = p, lim += g.

Enfin, voici la définition de la probabilité.

Nous appellerons les valeurs limites p (et q) les probabilités d'apparition du résultat o (et 1) à l’intérieur du collectif considéré.

La théorie de M. de Misès a soulevé de nombreuses objections, que l’on peut ranger en deux catégories principales : les objections de la première catégorie s’attaquant à la contradiction interne de la théorie ; les objections de la deuxième catégorie reprochent à M. de Misès d’exclure de ses considérations les suites d’obser-

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vations telles que la fréquence des résultats présentant une certaine caractéristique n’ait pas de limite, suites qui sont logtquement possibles. Nous n'insisterons pas sur ces dernières objections, qui sont d'ordre philosophique : une théorie non contradictoire ne peut être attaquée que sur le chapitre des vérifications expérimentales, et il est évident que l’on ne peut pas décider expérimentalement si les suites d'observations réelles sont ou non des collectifs. ;

Les objections de la première théorie ont été exprimées d’une manière très complète par M. A. Wald, qui a en même temps proposé une modification aux définitions de M. de Misès rendant sa théorie non contradictoire. Sur le cas simple de l’alternative, nous pouvons montrer en quoi la théorie de M. de Misès prête à la critique.

Étant donné une suite d’entiers croissants {ni}, le procédé, qui, d’une suite |

PNG pe de fr oiou)

extrait la suite partielle

ARR De SAR, 0e

est bien une sélection. Or, si nous considérons toutes les suites { n;} possibles, quelle que soit + contenant une infinité de 1 et une infinité de o, 1l existera une suite {n;} telle que l’on ait

identiquement æ'i=T,

‘et une autre suite { m; } telle que l’on ait identiquement

di — 0.

On en conclut qu’il n'existe aucune suite sausfaisant à la définition du collectif, telle que Pa présentée M. de Misès avec 0 << p<1. Nous ne faisons qu’indiquer ce point Sommairement en renvoyant à l’article de M. Wald; nous passons maintenant à

la définition posée par ce dernier.

2. Définition des collectifs de M. Wald. - Nous considérons dans ce qui suit un ensemble M fini ou infini, dénombrable ou

non, de points m; chacun des points m représente un état d’un certain système. M représente alors l’ensemble des états possibles sous certaines hypothèses: nous l’appellerons espace représentatif.

Si, par exemple, il s’agit d'étudier le phénomène : apparition de pile ou face, l’ensemble M est constitué par deux points, correspondant à pile et face; si l’on considère le phénomène : apparition d’un point donné quand on jette un dé, M est constitué par 6 points correspondant aux 6 cas possibles, si l’on étudie un système dont l’état peut être caractérisé par un nombre réel (ce qui correspond à une variable aléatoire dans la théorie classique), M sera constitué par l’ensemble (ou un sous-ensemble) de l’ensemble des nombres réels.

La suite des résultats d’une suite d'observations portant sur le système considéré sera représentée par une suite de points de M :

(ni) DE = Phi a) à.) Mn

Dans les trois exemples cités ci-dessus, {mi} sera respectivement : une suite de P et F, une suite d’entiers pouvant prendre les valeurs 1 à 6, une suite de nombres réels (distincts ou non).

Un collectif sera une suite { m;} satisfaisant à certaines conditions que nous allons indiquer.

Il faut exprimer sous forme mathématique l'opération de sélection, qui consiste à extraire d’une suite donnée une suite partielle, le sort de chaque terme de la suite donnée (à savoir, être conservé ou rejeté) ne dépendant que des valeurs des termes précédents. Si un individu veut fixer à l'avance, sans savoir quelle est la valeur des termes de la suite qui va lui être présentée, la méthode d’après laquelle il opérera la sélection, il peut recourir au procédé suivant : il inscrira sur un carnet tous les débuts de suite logiquement possibles; s’il s’agit, par exemple, d’une suite ne devant comprendre que des o et des 1, il aura une liste de débuts de suite de la forme suivante :

OR OO MOT TO TI OOOMOOTE OIOS OETS

Nous n'insistons pas sur la manière dont il poursuivra celte liste, elle devra comprendre tous les arrangements avec répétition des termes o et 1. Sous chacun des termes de la liste ainsi dressée, qui correspondent chacun à un début de suite possible, il inscrira,

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arbitrairement, mais une fois pour toutes, un signe qui indiquera sa conduite ; il pourra inscrire, par exemple, « oui » où « non » sous chaque terme. « Oui » inscrit sous le terme o10 signifierait : « Si les trois premiers termes de la suite que l’on me présente sont 0, 1, o (dans cet ordre), je conserverai le terme suivant (le quatrième) ». « Non » signifierait qu’on rejette ce terme.

Il est plus commode, pratiquement, d'inscrire 1 et o au lieu de oui et non respectivement; en exprimant le procédé précédent sous une forme mathématique, nous obtenons pour la « fonction de sélection » la définition de M. Wald, qui suit :

Dérinirion 1. — Toule fonction fn (ti; to, ..., {n) qui associe à tout groupe ordonné de n points dans M une valeur numérique égale à o ou à 1 sera dite une fonction de sélection à n variables. Pour n = 0, f, sera une constante.

Dérinirion 2. — Une sélection est une opération qui assocte à toute suite {mi} une suite partielle | m;} par le procédé

suivant :

Soit {fn} — fo; frs fes -.. une suite infinie de fonctions de sélection, f, étant constante, fi, f», ... étant à une, deux, ..…. variables respectivement. Formons la suite

(2) RO CNE og Vi fiat Te: 01) et soit la suite des rangs, dans { yi}, des y; égaux à 1 (3) MSA ee La suite { mi, | sera dite extraite de {mi} par la sélection définie par la suite ff} {.

Norarion. — S7 nous désignons une sélection par une lettre, soit S, nous représenterons la suile, extraite de {m;} par la sélection S, par la notation S {mi}.

Exemple : Supposons que l’on étudie la probabnité d'amener un point donné avec un dé; si, de la suite { m;} des résultats, nous ne gardons que la suite des résultats tels que le résultat précédent

soit , nous opérons une sélection. Dans ce cas,

Ffn(Ma; ME en bn) = Si M 5,

» I SL Mn — D.

La définition que nous venons de donner de la sélection satisfait aux conditions exigées par M. de Misès, puisque la fonction dont la valeur décide de la présence de m; dans {mij} est Jia (Mi, Mo, ..., mia). La définition que M. Wald introduit ensuite est celle de la probabilité d’un sous-ensemble de M; soit L un tel sous-ensemble : la probabilité de L dans une suile } pi} formée de points de M sera égale à la valeur limite pour » infini, si elle existe, de la fréquence parmi les 7 premiers points de {u;}, de ceux qui appartiennent à L; si cette valeur limite n'existe pas, la probabilité äe L dans fu;} ne sera pas définie.

Voici quelle est l'interprétation intuitive de la probabilité d’un sous-ensemble de M : le point courant m dans M définit les différents états possibles du système; donc l’expression « m appartient au sous-ensemble L » signifie : « le système prend un état appartenant à une certaine classe d'états possibles ». Reprenons l'exemple du dé, et considérons, dans M (formé des points 1, 2, 3, 4, >, 6), le sous-ensemble (1, 3, 5). Il correspond à l'événement: «il apparaît un point impair ». L'expression « probabilité d’un sous-ensemble L » doit donc être interprétée comme « probabilité de l'événement : le système prend un état dont le point représentatif est un point de L ».

Sous la première forme modifiée par M. Wald (1), la définition du collectif devient alors :

DériniTion 3. — Sotent :

a. S un système de sélections, contenant la sélection qui laisse toute suite inchangée.

b. un système de sous-ensembles de M.

Avec ces données : une suite { mi} de points de M sera par définition un collectif relativement à S et à # st, quels que soient la sélection S appartenant à &, et l’ensemble L appar-

(1!) La première modification apportée par M. Wald à pour but unique de préciser les définitions de M. de Misès, de manière à rendre leur discussion possible. La deuxième modification (p. 28), a pour but de les rendre non contradictoires.

Encre

tenant à $, la probabilité de L dans Si mi} est définie et égale à une fonction P(L) de L ne dépendant pas deS (').

Si | mi} est untel collectif, P (L) sera, par définition, la probabilité de L dans le collectif Emi

Norarion. — Une suite { m;} qui est un collectif relativement à S et à £ sera quelquefois représentée par une notation du type K(S,£).

Le mérite de M. Wald est d’avoir restreint l’ensemble des sélections qui interviennent dans la définition; plus précisément, il suppose toujours $ dénombrable. Comme d’autres auteurs l'avaient fait avant lui, indépendamment de la notion de collecüf, il a également restreint l’ensemble des ensembles pour lesquels la probabilité est définie. Il faut remarquer d’ailleurs que la théorie de M. de Misès ayant pour but les applications pratiques, la limitation des S et des L pouvait être sous-entendue, puisque seuls peuvent intervenir dans les applications une infinité dénombrable de Set de L; en d’autres termes : on ne procède jamais qu’à une infinité dénombrable de sélections, et l’on ne considère Jamais qu'une infinité dénombrable d'événements. Pour $, nous retrouvons l’hypothèse de M. Wald; pour f, nous allons voir que l'hypothèse de M. Wald est moins restrictive que celle qui consiste à supposer f dénombrable.

Avec celte limitation, la notion de collectif n’est plus contradicdictoire ; en effet, M. Wald a démontré dans son article le théorème suivant :

Hyroraèses : à : M est un ensemble de puissance quelconque.

b: est un corps dénombrable de sous-ensembles de M, contenant M lui-même.