L. est une fonction additive d'ensemble, non négative

définie sur les éléments de K, avec p(M) —1.

d': £est le système des sous-ensèmbles L de M mesur ables par le procédé de Jordan, à l’aide de la fonction pet ‘des éléments de K ; soit p(L) cette mesure.

: S est un système dénombrable de sélections. è

(*) Il faut ajouter que cette condition n’est exigée que si S { m,} est une suite infinie. Si S{m,} est finie, cette dernière suite n’est astreinte à aucune condition.

00 er

Conczusion. — Jl existe une infinité de collectifs K(S, £), tels que la probabilité de L dans chacun d'eux soit a(L).

La notion de collectif est ainsi relativisée, c’est-à-dire : on ne définit pas un collectif d’une manière absolue, mais, au contraire, la définition fait intervenir des données, qui jouent pour ainsi dire le rôle de paraméires ; ces données sont les sélections du système dénombrable S. D’après le théorème que nous venons d’énoncer, cette notion de collectif relativisée est non contradictoire. Nous allons examiner quelle est l’importance des restrictions apportées par M. Wald; elles sont de deux sortes : les premières portent sur le champ de définition de la mesure #(L), ou, pour employer une expression analogue à celle en usage dans la théorie de la mesure, sur le champ des événements probabilisables (Fréchet, 5); les secondes portent sur le système des sélections, c’est-à-dire sur la définition de lérrégularité de la suite constituant le collectif.

3. Champ des événements probabilisables. — Si M est fini, il ne se présente aucune difficulté : on peut prendre pour £ l’ensemble de tous les sous-ensembles de M. Si M est infini, il peut être nécessaire de spécifier l’ensemble £ qui figure dans la définition 3. M. Wald a démontré (Wald, 1, p. 43), que si M est dénombrable, on péut prendre pour £ le système de tous les sousensembles de M, à condition que la somme des probabilités des différents points de M soit égale à 1.

Quant au cas où M n’est pas dénombrable, nous nous bornerons au cas où M est l’ensemble des nombres réels. Il résulte des démonstrations de M. Wald, que si l’on prend pour £ le système de tous les sous-ensembles de M. il n’existe aucun collectif relativement à #, et cela quel que soit S. C’est pourquoi M. Wald se borne aux ensembles mesurables au sens de Jordan (Wald, 1; 1h11 -p40).

Mais celte restriction ne doit pas être considérée comme faite uniquement en vue des applications pratiques. Elle est imposée par la nature de la définition de la probabilité à l’aide d’un collectif. Nous allons montrer qu’il n'est pas nécessaire de supposer que # contient {ous les sous-ensembles de M pour conclure à l’inexistence d’un collectif; nous utiliserons pour cela (p. 32), le théorème

SR

suivant, qui est un peu plus précis qu’un théorème énoncé par

M. Copeland (Copeland [2], p. 339, lignes 2 et 3).

Tuéorèue 1. — Si M est l’ensemble des nombres réels (ou des

points sur un axe) et £ le système des Gs (ensembles de la

forme 110: où {O;} est une suite d’ensembles ouverts |, til T—4

n'existe aucun collectif, relativement à 8, qui ne présente la

particularité suivante : il existe parmi les ensembles consti-

tuant f une infinité dénombrable d’ensembles réduits chacun

à un point, tels que la somme de leurs probabilités dans le

collectif soit égale à 1.

Nous allons essayer de montrer quel est le sens intuitif de cette proposition. Dans le calcul des probabilités classique, si l’on considère une variable aléatoire X telle que, par exemple,

(C2) Pen (o<æ<r),

tout événement de la forme X£eL, où Lest un ensemble mesurable, au sens de Lebesgue, a une probabilité définie. Dans la théorie des collectifs, si je suppose que tout événement X£L, où L est un G:;, a une probabilité définie, je suis obligé de supposer que la fonction de répartition de X est une fonction se réduisant à une Jonction de sauts. (Pour la définition précise d’une telle fonc- Uon, consulter, par exemple, Frécaer, /echerches théoriques modernes sur le Calcul des Probabilités, Prémier Livre, page 271.)

Le résultat de M. Copeland était, avec les mêmes hypothèses que les nôtres, que la fonction de répartition de X ne pouvait être absolument continue. Passons maintenant à la démonstration du théorème 1. ù

Démonstration. — Remarquons tout d’abord qu’un ensemble réduit à un seul point et un ensemble dénombrable sont des Ge

Soit {m;} une suite de points; supposons qu'elle mette le théorème en défaut. Rangeons les points de {m;} en une suite {a;} de points distincts. Si nous désignons par f\"” la fréquence

de a; dans les x premiers termes de { m;} la limite

(2) p;= lim f}"

existe par hypothèse, quel que soit 7, et par ailleurs Dr Lie

= Soit M, l’ensemble des points 4j. Puisque Zp;<1, d’après le résultat de M. Wald, déjà cité (Waïld, 1, p. 45), il n'existe aucun collectif, relativement au système f, de tous les sousensembles de M,, qui attribue à &; la probabilité p;. En parüculier, {m;} n’est pas un tel collectif. En supposant que le système des sélections est réduit à la seule sélection laissant toute suite inchangée, ce que nous pouvons faire puisque le résultat de M. Wald est indépendant des sélections choisies, nous déduirons de ce que { m;} n’est pas un collectif relativement à #, l'existence d’un sous-ensemble À de M, tel que la limite

n (3) Ar . à oa(mi) (oa = fonction caractéristique de A) UE

n'existe pas. Revenons à M : À qui est un G; devrait avoir par hypothèse une probabilité bien définie, c’est-à-dire que la limite (3) devrait exister. Il ÿ a contradiction, ce qui démontre le théorème 1.

Si donc un collectif existe relativement à ©, système des G; (ou, a fortiori, système contenant le système de G;}, il existe un ensemble dénombrable D de points a; figurant chacun dans le collectif avec une fréquence p;, la somme 2, étant égale à 1. Tous les collectifs de même nature que le collectif considéré, c’est-à-dire attribuant aux G; les mêmes probabilités, ne contiendront donc que des points de D et des points dont l’ensemble forme un ensemble de probabilité nulle. En fait, la loi de probabilité ne sera définie que sur D. En dehors de ce cas, nous voyons bien qu’il n’existe pas de collectifs relativement à un systéme contenant les G; dans M. Or, s’il n’était pas gênant de restreindre l’ensemble de tous les sous-ensembles de E, il est gênant de ne pouvoir considérer tous les G;, ou de se limiter au cas exceptionnel où la fonction de la répartition de la probabilité se réduit à une fonction de sauts. Gette exclusion entraîne la conséquence suivante :

Le champ des événements probabilisables dans la théorie du collectif défini par M. Wald est plus restreint que le champ des événements probabilisables dans la théorie classique.

Si, en effet, X est une variable aléatoire qui a une fonction de répartition, la probabilité pour X d’appartenir à un G; est toujours bien définie dans la théorie classique.

4. Irrégularité de la suite constituant un collectif. — Nous ne traiterons dans ce qui suit que le cas de l’alternative (p: 23). Avec les définitions de M. Wald, dans le cas de l'alternative, £ se réduit à quatre éléments (à savoir : le sous-ensemble vide, le sousensemble formé da point o, celui formé du point 1, et celui constitué par les points o et 1. qui coïncide avec M lui-même) et peut être sous-entendu. Nous caractériserons un collectif, dans ce cas simple, par $ et par la fréquence p d’un résultat, soit l’apparilion de 1 si le collectif est une suite de o et de 1 : nous dirons que le collectif ainsi défini est un collectif du type K(S;p), ou plus brièvement : un collectifK(S; p)(!). Nous désignerons quelquefois, dans ce qui suit, par K(S; P) l’ensemble des collectifs de fréquence totale p relativement au système S (dénombrable) de sélections. De sorte que les phrases «x est un collectif K(S; p}» et «x est un élément de l’ensemble K(S; P)» seront équivalentes.

En quoi consiste l’irrégularité imposée par l’intervention de S? Soit la suite, où o et 1 alternent régulièrement