PAU
Pi(u) = | exp(— iuz)v1(z)dz
est régulier dans le demi-plan supérieur Y( uw) >= nd 100
D'autre part la fonction G(o, z, o, o) a pour trans-
: Û in ee Fourier : —— régulière 2 l
formée bilatérale de
dans ho CU) ECErT,
Pa Vko?+ 5,2 [0]
Fig. 24.
enfin, 4(z) a pour transformée unilatérale, — F
régulière dans le demi-plan inférieur JC) D'où un domaine commun d’analyticité — k2<I(u)<Lk: ou I(6).
Par suite de l’existence de ce dernier domaine, on peut appliquer la transformation de Fourier à l'équation et l’on obtient
HE =) I RENE TC an ou encore Pi(u) + bo(u) = i(u - k ÿ TE SELS
OÙ a — WAR,
K(u) a deux points de branchement
u—= +, DEN
La décomposition se fera en considérant successivement le dénominateur
Cr D(u)=1i- ——— VAS — u?
et le numérateur NU =is EE, VA — uw?
Dans la bande [S(u)|< k,
D(u) et son logarithme sont réguliers. Le long des
(@) C2 +ko Le -+-- 1 | | a
| | | = Gi !
MG Des Fig, 25.
coupures à l’intérieur de la bande l'argument de «
vaut + Le long du chemin C en pointillé on a
D'(u) I ) Do b. su : à Du) ; PA le 25e le = 4
= Ere
Hart adr
Herr ltee 2
(formule de Cauchy ).
Les côtés de € parallèles à l’axe imaginaire .donnent une contribution nulle [O(£ *)].
L'intégrale le long du côté inférieur donne une fonction régulière dans le demi-plan supérieur S(u) >—k, l'intégrale le long du côté supérieur une fonction régulière si J(u) < k, (u dans la bande).
Soient C; et C, ces chemins.
Considérons tout d’abord C.;. Nous avons à considérer un chemin C, dessiné ci-dessous.
On peut alors écrire
D}; I k I I À —= D —= : = : — "0 D, ar Je ani J, DT Lee > : C4
Ra, désignant le résidu au point &, =— Venus
d’où DIE — étre de ER CV Hi) u) I I = NT —— 2 (ut Ko) u+ Vki + . I il #2 I 2 UHR u+Vk+C He je re | + D , T U — 4; U + 4 avec
ko 14
u + Vu? — 1 :
AT
= 72 Nrete V d D ko = 4}
NS
On obtient finalement
Di=(u+k) *(u+VR +)
de 15 ES — + T l— 4;
X exp
ce
Y(t)—F(— x) dé + L2
à une constante multiplicative près.
En étudiant le contour (2) on trouve que
Du) = D:(— u).
La décomposition de Nu) est la même (on remplace €, par &).-Aïnsi
Ni(u)
EAN) —
Solution de l'équation intégrale. — Elle s'écrit
Bu) 1 | 1 1 |
RAC) Cu) PÉCANENEUE,)
= Ko(u) D,(u) in KO AIR).
Le membre de gauche est régulier pour
J(u)>—hk»
et le membre de droite pour
J(u)<LI(sS) où (A),
d’où un domaine commun de régularité et la régularité par suite dans tout le plan u.
Chaque membre est une fonction entière Æ(u), et en considérant les valeurs des deux membres pour u->, on voit que cette fonction entière est = 0.
On a donc
uu—%#%:,)Ko(u)k 1(K,)?
P,(u) = Pi(u) = O (:) lorsque Y(u) < GIE, si u >,
