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Principe de Babinet.

Comparons les conditions aux limites (1.15) et (1.4) pour le champ E,, H, et les conditions (1.17) et (1.30) pour le champ E,, H,. Dans le premier cas, nous avons égalité des champs pour l’ou-

verture Ÿ et une condition aux limites type impédance nulle sur le conducteur S. Dans le second cas, nous avons égalité des champs sur le conducteur S et une condition aux limites type impédance infinie sur l'ouverture Ÿ. Si nous supposons maintenant que À est le conducteur et S l'ouverture et que de plus nous intervertissons champ électrique et champ magnétique avec les signes convenables, nous voyons que la solution précédente obtenue pour la première méthode est une solution du nouveau problème dans le cas de la deuxième méthode et inversement.

Par exemple, supposons résolu le problème dans le cas où l'écran est composé d’une surface conductrice S, À étant l’ouverture, en utilisant la deuxième méthode. C'est-à-dire nous sommes partis du champ de l’espace indéfini E, H et nous avons trouvé un champ de perturbation E,, H, tel que

E»r——EÆE7y sur S (conducteur), dE»Tr

; — = 0 sur ? (ouverture) (24

et nous savons qu'alors la solution est, pour le demiespace z > 0, E + E, et H + H..

Cela posé, supposons maintenant que 2 soit conducteur, S étant l'ouverture; prenons pour nouveau champ de l’espace indéfini E°, H° tel que E — — H.

Soit, d'autre part, un champ E°, H° dans l’espace z > o défini par H° — E,. Ce champ va satisfaire à

H!y= H} sur S (ouverture), OSy

sur ? (conducteur).

D’après (1.15), (1.4) le champ E°, H° n’est autre que le champ de perturbation dans le cas de la première méthode, nous savons qu’alors la soiution pour le demi-espace z > o est E!, H!.

En conclusion, si par l’une des méthodes nous avons résolu le problème de l'écran, il se trouve aussi résolu par l’autre pour l'écran complémentaire.

Remarque. — a. On peut se demander s'il n’est pas possible d'étendre ces résultats à un écran qui ne soit pas plan. Il n’en est rien, car la possibilité de séparer le champ de perturbation en deux champs égaux dans les deux demi-espaces séparés par l'écran tient essentiellement au fait que l'écran est plan. On peut alors parler d'image. Moulin [4] souligne dans un cas analogue, celui du réflecteur métallique excité par un courant rectiligne, le fait que le seul cas où la solution analytique est abor-

dable est celui où l’on peut parler d'image, c’est-àdire où le réflecteur est constitué d'éléments de plans;

b. I’existence d'écran infiniment mince n’a pas

CE

de réalité physique, mais nous remarquons que la solution de l'écran infiniment mince peut s'adapter à l'écran de faible épaisseur, les champs tangentiels étant stationnaires pour z

CÉTAPTERENUIT

Diffraction d'une ouverture unique dans un écran plan conducteur.

Le problème a déjà été très étudié par différents auteurs; on trouve en particulier dans la thèse de Vasseur un résumé complet des travaux effectués et un essai de résolution du problème général.

Comme dans tous les problèmes de propagation d'ondes, il existe deux méthodes pour aborder le problème. L’une utilise les fonctions propres et la séparation des variables, l’autre des sources auxiliaires et les fonctions de Green.

Méthode des fonctions propres.

Cette méthode ne s'applique que dans les cas où la surface des conditions aux limites est une quadrique. Pour le résumé des travaux déjà effectués et une bibliographie, nous reportons à la thèse de Vasseur, (p. et suiv.). Rappelons que cette méthode a servi à résoudre le problème dans le cas du demi-plan indéfini [1], dans le cas de la fente indéfinie [6], et récemment dans le cas de l’ouverture circulaire [71].

Cette méthode demande des calculs longs et difficiles, mais permet d’aboutir à un résultat certain quand on peut l’appliquer. C’est en quelque sorte une méthode analytique, alors que la méthode plus directe consiste à disposer des sources auxiliaires et à vérifier les conditions du problème.

Signalons aussi la méthode de Sommerfeld, surtout utilisée en Acoustique [8] qui se rattache à la méthode des fonctions propres. On utilise une série de fonctions satisfaisant partiellement aux conditions aux limites et l’on cherche à ce que leur somme satisfasse globalement à ces conditions.

Méthode des sources auxiliaires.

Il existe deux manières générales d'envisager l’électromagnétisme. Soit comme Maxwell ne parler que de champ dans l’espace, envisager l'énergie comme répartie en tout point; on cherche alors à déterminer un champ dans l’espace qui satisfait aux équations de propagation et aux conditions aux limites comme l'indique le paragraphe précédent. Soit comme Lorentz estimer qu’il n’y a de réalité physique que dans les charges et courants électriques

auxquels l’énergie est liée, chercher à les déterminer directement et calculer les champs par la théorie des potentiels retardés. On complète d’ailleurs ce point de vue en introduisant des charges et courants magnétiques qui se déduisent des charges et courants électriques classiques en échangeant vecteurs électriques et vecteurs magnétiques dans les équations de Maxwell.

Examinons les possibilités de traiter le problème de l'écran par cette dernière méthode, particulièrement le problème de l'ouverture unique en incidence normale.

Reportons-nous au paragraphe précédent; nous devons déterminer un champ de perturbation E;, H, dans l’espace z = o qui satisfasse aux conditions

= Hz sur 2»,

0H, 7 = 0 SULMS’,

le champ incident étant le champ (E, H), © étant la surface de l'ouverture, S la surface de l'écran. Rappelons que le champ E,, H, peut, après échange des vecteurs électriques et magnétiques affectés de signes convenables, représenter le champ de perturbation de l’espace z > 0 correspondant à l'écran métallique Ë. En introduisant alors des courants et des charges électriques sur l'écran À, on voit qu’on peut représenter les champs de perturbation dans les deux espaces z > o et z< o. Ces champs liés par les relations (1.22) ,(1.27) sont représentés par le rayonnement des mêmes sources. Nous pouvons admettre que les deux faces de l'écran sont occupées par des sources identiques, qui rayonnent respectivement dans le demi-espace auquel elles font face. Physiquement, ces courants existent mais ne sont pas les seuls sur ?, car le champ réel est constitué par les sommes (E +E,, H +H,) pour z< 0 (E+E,, H +H,) pour z > o.

Si maintenant nous voulons déterminer directement le rayonnement d’une petite ouverture, nous voyons que nous sommes amenés à répartir sur cette dernière des courants et des charges déduits des courants et charges électriques en intervertissant E et H, c’est-à-dire des courants

Sn UeUr

et charges magnétiques. Nous remarquerons qu'alors les champs des deux espaces z > o et z< o ne se représentent plus par les mêmes sources, mais par des sources en opposition de phase. Ceci tient à la nature purement formelle des courants et charges magnétiques.

Les premiers, Larmor [9] et Tedone [10] ont pensé à représenter une onde dans une région limitée par une surface S en répartissant sur cette surface S des courants et charges électriques et magnétiques. Dans le cas d’une ouverture, leurs formules donnent un champ qui ne satisfait pas aux équations de Maxwell. Kottler [11] a montré qu'il fallait tenir compte non seulement de courants et de charges sur la surface S, mais aussi de courants et de charges linéaires sur son contour. Il a ainsi obtenu des champs qui, quelles que soient les sources, satisfont aux équations de Maxwell.

Calcul du champ à partir de courants et charges magnétiques.

Répartissons des charges et courants magnétiques, dont nous appelons x et j les densités de surface

sur l'ouverture ©, afin de représenter le champ de perturbation dans l'espace 7 0. La condition (1.4) du chapître précédent sur S se trouve de ce fait satisfaite par le champ rayonné. Il nous reste à trouver la répartition de ces courants et de ces charges pour satisfaire la condition (1.15)

Cr) H;= 0, HSE COonSIE

Rappelons que nous cherchons à résoudre le problème de la diffraction de l’onde incidente plane dont la direction de propagation est normale au plan de l'ouverture.

Remarquons tout d'abord qu'il n’est pas nécessaire de considérer isolément les charges et des courants magnétiques. Ces derniers étant donnés, les charges s’en déduisent par la relation

divj=7uwn

dite de conservation de l'électricité.

Nous savons d'autre part qu'il est possible de satisfaire aux équations de Maxwell en un point M rotE — ou = 0, divE = 0, rotH + wc E =, div H = 0 en prenant (M DE) (A2)

En intervertissant E et H, on obtient des formules analogues; II est appelé généralement l’antipotentiel vecteur de Hertz, ou vecteur de Hertz magnétique. La théorie des potentiels retardés conduit à le déduire des courants magnétiques par la formule

E = ‘ou rot, H = w°?e:0 + grad divIr.

(CLR)

j, densité de surface de courant magnétique de l'élément ds entourant le point P.

eckr.

2 =, avec