EAU

Cette formule est la même que celle qui donne le champ électrique au loin d’un doublet magnétique dirigé suivant l’axe des x. On peut calculer le champ magnétique au loin par la formule (11.5) ou par la première équation de Maxwell, ce qui donne évidemment le même résultat, les champs calculés à partir des formules de Kottler satisfaisant aux équations de Maxwell [13]. On trouve ainsi un champ magnétique normal au plan formé de la direction de propagation et du vecteur électrique et dont le module se déduit de celui du vecteur

Calculons le flux d’énergie rayonnée dans l’espace z > o par un tel doublet on trouve

ie kew(Jx).

Or l'énergie est rayonnée, S' doit être positif, donc J, est imaginaire pur, mais 7, n’est autre en réalité que la composante suivant Oy du champ électrique dans l'ouverture. Comme cette dernière est de petites dimensions devant la longueur d’onde, la quadrature de J, entraîne celle de 7,, donc de Æ,.

D'ailleurs le flux dans l’ouverture est donné par

ee LRe Î XrE, ds),

= LHrhe( J ds) = ; HrRe(Je),

en égalant S et S' on démontre à nouveau que J, est nécessairement imaginaire. Donc nous pouvons dire que dans l'ouverture petite devant la longueur d'onde les champs électriques et magnétiques transverses sont en quadrature.

Cet état est à rapprocher de celui du quide d'onde au-dessous de la fréquence de coupure.

Or, lorsque l'ouverture a des dimensions grandes devant la longueur d’onde, il est possible d'appliquer les formules de Kottler au champ incident pour calculer le champ au loin. Le champ existant alors dans l'ouverture est très voisin du champ incident.

ASE

En particulier, les champs électriques et magnétiques transverses sont en phase. Cet état est à rapprocher de celui du guide d'onde au-dessus de la fréquence de coupure.

En résumé, dans le cas de l'ouverture petite devant la longueur d'onde, on peut représenter le champ par un doublet magnétique dans le sens du champ incident. La valeur du champ au loin, donc le diagramme et le facteur de transmission de l'ouverture,

sont fonctions de la seule valeur de J, — [l ds.

On comprend ainsi que l'application par Stratton et Chu des formules de Kottler à une fente dans un écran métallique, les champs sources étant égaux aux champs incidents, donne un diagramme exact, mais avec un facteur de transmission inexact [14]. De même, bien que le calcul de Bethe relatif à l'ouverture circulaire de petite dimension devant la longueur d'onde [3], ait donné des champs inexacts dans l'ouverture, ainsi que l'a démontré Bouwkamp [7], Bethe a obtenu des champs au loin et un coeflicient de raleur de J, coïncidant par chance avec celle qu'on peut calculer à partir des 7. exacts dans l'ouverture.

La quadrature champs dans l'ouverture explique assez bien que le facteur de transmission

transmission corrects, la

des

v = NS soit en |. ) et non en. comme dans l'application LA

ordinaire des formules de Kottler au champ incident. En définitive, l'application des formules de Kottler, bien que très intéressante, ne résoud pas le problème, elle nous indique simplement que si nous trouvons les champs dans l'ouverture nous saurons les calculer au loin.

Il est, de plus, possible de relier la valeur du champ au loin dans l'axe au flux du vecteur de Poynting dans l'ouverture. En effet, soit W le flux complexe du vecteur de Poynting dans l'ouverture, la partie réelle représente le flux de l'énergie active; la partie imaginaire, le flux de l'énergie réactive, on trouve

W= Hrf jeds.

Soit 6e; — —,;on a t Ï} — — — Are!

LA CALCUL DU CHAMP DANS L'OUVERTURE. — Repor-

tons-nous aux formules (11.4) et (11.5), ces formules vont nous permettre de calculer un champ dans l'ouverture. En écrivant que ce champ ainsi calculé satisfait aux conditions aux limites sur l’ou-

verture, nous obtenons un groupe d'équations intégrales qui résoud formellement le problème. Copson [15, 16] a été le premier à envisager cette méthode de résolution. Mais, comme Larmor et Tedone dans leurs formules pour les champs au loin, il n'a pas tenu compte de charges linéaires éventuelles sur les bords de l'écran. Vasseur [2] a complété ses formules par des intégrales de contour, de même que Kottler a complété les formules de Larmor et Tedone.

On ne peut utiliser directement les formules de Kottler pour le calcul des champs dans l'ouverture, car dans le calcul des champs au loin qui aboutit aux formules (11.5) et (11.8) analogues aux formules de Kottler, on intervertit l’ordre des dérivations et des intégrations. Or, on ne peut le faire sans précautions si la fonction sous le signe intégral n'est pas régulière, et elle ne l’est pas si M est dans £.

Calculons le champ magnétique au point M de l'ouverture 2

fisas).

Le calcul de div, / j2 ds montre que cette quantité

HH)= ss CYE 2 ds + Le grad, dive 4% om

est donnée par l'égalité (11./) divs | jeds=— | sdivj ds +Pe(n X j) do:

la seconde intégrale étant une intégrale sur le contour de S, d’où la formule (11.0) qui n’est autre que la formuie (11.7) légèrement modifiée

(11.9) H = ue [eds

I ; = era p o(n <J)ds

I ti :

= n grad, / o div] ds |

Cette formule peut se décomposer en trois parües. La première intégrale représente le champ dû à une densité superficielle de courants magnétiques, la deuxième intégrale le champ dû à une densité linéaire de courants magnétiques sur le contour de l'ouverture, la troisième le champ dû à une densité superficielle de charges magnétiques.

Dans l'ouverture, on a par définition

June ep ce qui peut s’écrire ID) SC

La seconde intégrale devient done

[= — grads 0) 2(E do).

Sie

Or, qu’entendons-nous physiquement par écran infiniment mince et infiniment conducteur, sinon la limite d’un écran épais infiniment conducteur. Examinons de près les conditions aux limites à l’arête de l'écran. Soit un écran d'épaisseur < dont le bord soit arrondi; par exemple l'enveloppe de sphères de diamètre & dont les centres décrivent un contour C. Les conditions aux limites (fig. 2) sur un tel écran sont claires. Le champ électrique doit être partout normal à la surface du conducteur. En particulier, le champ situé dans æoy doit être normal à la tangente à C au point correspondant. De plus, le champ électrique ne saurait changer brutalement de direction dans un petit domaine ainsi qu'il le fait aux points À et A' opposés sur l'écran, sans passer par une grande valeur. C’est ce qu'on appelle classiquement en électrostatique le

Fig, 2,

« pouvoir des pointes ». D'autre part, nous avons remarqué lorsque nous avons posé le problème, que les conditions aux limites pour l'écran infiniment mince et l’écran d’épaisseur finie sont peu différentes; si l’on préfère il n’y a pas de discontinuité physique entre le cas réel et le cas mathématique. L'expérience le démontre d’ailleurs. Nous avons fait des essais pour des longueurs d’onde de 8 et 23 cm avec des plaques métalliques d'épaisseur allant du r/ro€ de millimètre à 2 mm sans constater de changements apparents dans la transmission. Donc, si nous faisons tendre £ vers zéro, nous obtiendrons sur C des champs électriques qui deviendront infinis, l'énergie correspondante restant finie et qui seront toujours normaux à la tangente à C au point correspondant. Meixner [17] a d’ailleurs précisé ce point de vue en démontrant de plus que le champ électrique devient infini comme l'inverse de la racine carrée de la distance à l’arête. Un examen précis de la solution classique de Sommerfeld relative à l’arête rectiligne montre, par exemple, la même irrégularité quand on s’approche de l’arête. Bouwkamp a résolu le problème de l’ouverture circulaire, en considérant l'écran comme la limite d’un hyperboloïde de révolution à une nappe dont l’ouverture serait le cercle de gorge, il trouve aussi cette irrégularité et un

champ normal à larête dans l'ouverture. Nous pouvons donc affirmer que l'intégrale TL est nulle pour le champ vrai, dans le cas où l'écran est infiniment conducteur.

La formule (11.9) devient alors

4 jo ds — perad, f edivjds).

La même remarque peut se faire sur la formule de Kottler (11.7). L'intégrale de contour doit s’annuler si l’on remplace j par la valeur vraie dans l’ouverture. C’est seulement dans ce cas que les formules de Larmor et Tedone donnent un champ au loin satisfaisant aux équations de Maxwell.

CLÉCDREO=