AIDE

CLIC TE) H=£— - grade h « divj ds.

Il s’est ainsi ramené à un problème connu en électrostatique : comment répartir des charges sur un disque pour obtenir sur ce dernier un champ constant. On sait que la répartition des charges est donnée par la formule

nique

#, coefficient constant; æ et r, coordonnées d’un point P quelconque de EË.

I lui restait à déterminer j; pour cela il utilise la relation (IT.12)

divj = 1uwn

et trouve que la répartition de courant

El

Gin) 1 to, JU) =+iwa(a— r?)

satisfait à l’équation (II.r2).

Or cette équation ne peut permettre de déterminer un vecteur, de façon unique, même dans deux dimensions. Il est facile de voir que ce n’est pas la seule solution de l’équation (11.12), il suflit d'ajouter à j!' un vecteur dérivant d’un rotationnel. pour satisfaire encore la relation (11.12). En particulier, la solution de Bethe ne satisfait pas à la condition aux limites sur le contour (n X j) d7 — 0. Alors que la solution directe par la séparation des variables donne, comme l’a montré Bouwkamp, une répartition pour j, y satisfaisant.

Les formules sont en effet

| . ACDC RE JX Œr T0) = a ——)) S VERT ere QE) 1 = Au 2 3 Va? — x? — y?

On vérifie que le courant de Bouwkamp j? se déduit de celui de Bethe j ') en ajoutant un vecteur dérivant d’un rotationel

j' +rotA,

ue ë [

A étant un vecteur dirigé suivant oz et donné par la formule

OS) A =—ivsy Var re.

Comment se fait-il donc que le J\ . ds

calculé par Bethe se soit trouvé égal à celui que l’on calculera en partant des expressions de Bouwkamp ? On peut écrire

J je ds — | ju ds eo f (rot A CLS,

JA ce dd,