Un cas particulier très important est le suivant
Si Les caractéristiques C; et C sont confondues à chaque instant, les surfaces S, et È coïncident.
En effet, les normales communes à S, S, et Z le long de C, et C supposées confondues a ppartiennent alors aux complexes l'etT, donc aussi au complexe l.. Alors C, est confondue avec C, et C.
Ce cas particulier s'applique, comme nous le verrons plus loin, aux engrenages parallèles ou concourants.
REMARQUES. — 1° Il se peut que S, et Z coïincident sans que C, et C soient confondues : soient, par exemple, trois cylindres de révolution tangents entre eux deux à deux (/ig. 4) et animés autour de leurs axes, supposés fixes, de mouvements quelconques; les caractéristiques C; et C; sont les génératrices de contact de S avec S$S, et de S, avec 2: elles sont bien distinctes, et pourtant 2 coïncide avec l’enveloppe de S.
20 Cependant, on peut affirmer que pour que È coïncide avec $,, il est nécessaire que C; et C soient confondues, dans les conditions suivantes : supposons que S, S1, S2, 2 soient des portions de surfaces sans singularité, chacune étant coupée en un seul point par l’une quelconques de ses normales; chacune d'elles peut être considérée comme partageant en deux régions l’ensemble des points de l’espace embrassés par ses normales. Supposons alors que S et S, soient de part et d'autre de $, : les points de contact de S et È ne peuvent être que les points communs à C,; et C, mais si S, coïncide avec E, ces points forment la ligne C;, par suite C, et C sont confondues.
3° Les surfaces $ et S, coïncident si toutes les normales à S appartiennent au complexe l',, et réciproquement.
Il en est ainsi lorsque :
— $S est un cylindre animé d’un mouvement de translation parallèle aux génératrices ;
— S est une surface de révolution en rotation autour de son axe:
— S est un hélicoide (défini comme engendré par une courbe invariable animée d’un mouvement hélicoïdal Ab) animé lui-même du mouvement Ab.
Exemple. — Un cylindre de révolution € tangent à un plan fixe Q tourne autour de son axe’fixe (fig. 5).
. . . pd “ D'autre part, un plan P, muni d’un plan N, glisse sur Q. Soit + la vitesse - pd xd . . . x de translation de P, x; et x ses composantes suivant la perpendiculaire à la génératrice de contact A et suivant la trace de N sur P.
Pourvu que 7, soit la vitesse qui assurerait le roulement sans glissement
de P sur €, le plan N enveloppe par rapport à €, et cela quelle que soit la vilesse *,, le même hélicoïde développable. Désignons par [P', N/] la crémaillère
AE PSE
qui serait constamment en coïncidence avec [P, N] et qui aurait par rapport à Q la vitesse *, : les repères R, et R, sont ici P et €; les surfaces S et S, sont respectivement N et N.
11. Considérons maintenant une courbe C de grandeur invariable, en mouvement par rapport à deux repères R, et R,; elle engendre par rapport à ces repères respectifs deux surfaces $, et S;. Soit enfin E l'enveloppe de S, dans son mouvement par rapport au repère R;. Appelons I, T, et l' les trois complexes envisagés plus haut, à l'instant f.
Les normales à S; le long de C appartiennent à T,; en un point commun à C et à la caractéristique de $S,; dans le mouvement S;/R;, la normale à S,
Fig. 5
appartient à T, et l, donc à T,. Par suite, en ce point, la normale considérée est aussi normale à S:. D’où la propriété :
Les surfaces È et S, sont généralement distinctes, mais se raccordent.
