Cas où » est rectiligne (/ig

La construction précédente montre qu’alors le centre de courbure y de : la développarte enveloppée par v est la projection de O sur MI.

Ce point y’ doit être situé du côté de v qui n’est pas matérialisé : or, ® élant constant, y est fixe et la parallèle à la trace de P menée par y’ coupe v en un point À qui limite la portion utile de », c’est-à-dire celle qui coupe P,

Enix

Si ® est positif, celte portion doit être matérialisée du côté du sens négatif de [x (fig. 8); conclusion contraire si 4 est négatif.

16. N étant toujours supposée sans singularité, son enveloppe a, en général, une arête de rebroussement.

Reprenons les notations de la figure 6. Soit n le vecteur unité de l’axe Pr

UE T É 3 5) Soit dM le déplacement élémentaire de M sur v et dM, son déplacement élémentaire correspondant

par rapport à €.

ie . « x RE t celui de la tangente en M à v | avec f, n — +

Le théorème relatif à la composition des vitesses donne :

CL = 1 AN bd el (1) ! td KR l

s élant l’abscisse curviligne de M sur v et u l’abscisse de I sur IX.

Or, en différentiant la relation :

M=It+in on a @2) À ds = di 4 n dl + ldn.

dn l .

Or Re CL on multipliant, scalairement les deux membres de (2) par

Er .

til vient :

ds — sin Ÿ du SRE do

et en remplaçant du dans la formule (1), on a:

(3) - aM=|1 sr (+i)iac

R sin ! e

L’enveloppe admet un point de rebroussement si dM, —0, c’est-à-dire si la quantité entre crochets est nulle, ce qui donne la condition :

(4) Rpsing—1(p + D) = 0, ou :

(4) R (m — 1) sin $ — ml—0.

Si l’on compare cette relation aux conditions d’inégalité précédemment trouvées ($ 14), on voit que celles-ci expriment que l’on doit limiter N à une porlion n’engendrant qu’une nappe de la surface enveloppée.

147. Cas où la denture de la crémaillère est une surface d’égale pente.

Les résultats précédents ont été obtenus sans apporter de restriction à la nature de la surface N : pratiquement, N est une surface d’égale pente ($ 3). Proposons-nous donc de compléter dans ce cas l'étude présente en cherchant

directement sur chaque génératrice le point où doit être limitée sa réalisation matérielle.

Soit €, d’axe fixe, le primitif de la roue à tailler : il est tangent à un

plan fixe Q le long de À que nous prenons comme axe des. X du trièdre fixe

O (XYZ), le plan Q étant le plan des XY (fig. 9). Soient 74 ni k les vecteurs unités relatifs à ces trois axes. Le primitif P de la crémaillère glisse sur Q : soit À l’un de ses points, et lions lui un trièdre A (æyz) déduit de O (XYZ) par la translation OÂ parallèle à OY; soit u la mesure algébrique dércelie lranslation.

La surface N a pour trace sur P une courbe T pour laquelle nous — + SE désignerons par { et n les vecteurs unités de la tangente et de la normale en

Fig. 9