FH

un point m (or=+5) Appelons $ l’angle i, £

5 , t, et s l’abscisse curviligne de

M SUTAL-

| Soit enfin G le vecteur unité de la génératrice qui passe par m, L le vecteur unité tel que le trièdre trirectangle m ({,G,L) soit direct, et + l’angle G,kX (|el est l'angle de pression).

Un point M de N est alors défini par la relation : (5) M — m + 9 G, g étant la mesure algébrique de mM. Le point M appartiendra à la caractéristique de N, pour la valeur u considérée, si l’on a : (à, OM, L) — 0.

c’est-à-dire :

(6) (u + y) sin 9 + g cos B— 0, y étant l’ordonnée de m par rapport aux axes A (xyz).

Cherchons sur chaque génératrice le point qui, au cours du mouvement, rencontrera l’arête de rebroussement de la surface développée par N.

Soit dM un déplacement élémentaire de M par rapport à N au voisinage

de la caractéristique à l'instant (u), dM, le déplacement correspondant par rapport à C; le théorème relatif à la composition des vitesses donne :

dM, = dM — TA OM; Or, en différentiant (5), par rapport à N et posant : F=— CFO Ar (D) aM = (: = +) ds É + da C.

De plus :

re ——> ñ EC 5 À — — i /\OM = g cosesirf { + g cosy cos n —(u+y+gsinscosB)k.

En tirant u et du de (6), on a finalement :

dM, 4 se ) ds Ê+ dy G— TRS (8) | [sin 8 pe J } ds + LES do] (sin 8 HE sos ë).

e Sin o sin sin 9

Le point considéré sera sur l’arête de rebroussement de l’enveloppe D

de N si l’on peut choisir + de manière que dM, — 0, ce qui donne en éliminant

ds et dg entre les deux relations linéaires et homogènes obtenues :

9 1 JS? gcos? me 28 cote) —0|.

(9) Tee DIE en: de re + cos? 8 co? « 0

La relation (7) montre que l’arête de rebroussement de N est définie DAT og —= . 5 >0r, si l’on désigne par / (g) le produit du premier membre de

(9) par p tg co. Iércoéitierent de g-dans 7 (g)rest = 0,et lon a:

Pise 0?

FE ]=R co » Sin? 8 >> 0,

sin 9

par suite, ee est extérieur aux racines de (9), et comme la partie utile de la

génératrice de N ne peut excéder la demi-droite limitée à l’arête de rebrousse-

ment et coupant P, on a les conclusions suivantes :

Si l’arête de rebroussement de N est du même côté que € par rapport à P, les racines de (9) sont positives ou imaginaires, et g doit être inférieur à

p sin ©

et à la plus petite racine.

Si l’arête de rebroussement et € sont de part et d'autre de P, les racines de (9) sont de signe contraire, et, dans ce cas, la génératrice doit être limitée

Q sin 9

aux deux points correspondants (car est extérieur aux racines .

opte

I1 résulte de cette étude que la limitation de la surface N est moins simple que ne l’a indiqué M. PÉRIGNON à propos du taillage de la denture Bôttcher (B. 16. t. I).

Remarquons que si N est un plan parallèle à A, l'équation (9) se réduit à :

(10) VER sin?

COS v

ce qui confirme un résultat déjà obtenu ($ 15). Enfin, si N est un plan dont la trace T fait l'angle $ avec ox, l'équation générale donne :