VE
26. N étant supposée sans singularité, son enveloppe a en général une arête de rebroussement.
On devra avoir : sin & SOUS <011 527
Considérons la figure 18 dans laquelle nous supposerons maintenant y quelconque. Soit M ({ng) un trièdre trirectangle direct tel que les vecteurs £, n,gq aient pour longueur l'unité, n étant tangent à l et orienté comme T, g dirigé de M vers $.
Soil de même 1e, le vecteur unité relatif au cercle C orienté, et In le vecteur unité dirigé de 1 vers S. Soit enfin s l’abscisse curviligne de M sur », et ru celle de I sur C.
Soit dM, le déplacement élémentaire de M sur l'enveloppe de v correspondant à son déplacement : dM —t do sur v.
Le théorème relatif à la composition des vitesses donne :
(5) dM, = É ds + Ë. r sin à cot « du.
Nous aurons la relation entre ds et du en
différentiant : n - 0, d’où :
lan; + n, dt = 0 Or:
dn, — — 1, du et di —
do.
ml]
n, étant le vecteur unité relatif à la normale principale à ven M, R le rayon de courbure correspondant.
En remplaçant an et dt par leur valeur, il vient :
Re. WE AG rt du =. NÉ
Or, 4 s’évalue sur la figure 18: on EE b. D'autre part, si l’on prend comme plan de figure le plan de T (fig. 20), on a en conservant les notations déjà introduites :
+ — 3 U = M SIDE CH GR == rfS1n (0 — À):
La relation entre du et do est donc finalement :
: sin 6 — Sin L OUR rsin @— À) do, d’où, en portant dans (5) :
sin À COt « sin 0
L'enveloppe de y admet un point de rebroussement si dM; — 0, c’est-à-dire si l’on a:
(7) tg x sin (0 — À) sin & — sin 0 sin À — 0.
Si l'on compare cette relation aux conditions qui limitent la courbe y»,
celles-ci expriment que l’on doit limiter N à une portion n’engendrant qu'une seule nappe de la surface enveloppée.
27. Cas où la denture de la roue plate est une surface d’égale pente.
Dans ce cas, nous pouvons compléter l’étude précédente en cherchant
directement sur chaque génératrice le point qui correspond à l’arête de rebroussement de l’enveloppe de N.
Soit Ji le cône primitif d’axe fixe, de demi-angle « et tangent au plan fixe Q le long de SX Au plan primitif P de la roue plate lions les axes S (xyz) déduits par une rotation d'angle u des axes fixes S (KYZ) (fig. 21).
: a . ve Æ = —
Soient à, j, k, les vecteurs unités relatifs aux axes fixes, { et n les vecteurs unités de la tangente et de la normale à la trace T de N sur P
— T WE n—= + 5) (r, 0) les coordonnées polaires d’un point m de T, et s l’abscisse
curviligne de ce point,
on ARE Pacte ee nie r 7 Posons : ox, { — 0 + R; désignons par G le vecteur unilé de la généra- . ra Nr DE PR (976 ea G ’ trice de m, et par L un vecteur unité tel que le trièdre m(t, G, L) soit direct el trirectangle.
TE
Soit enfin : & = G, k (| + | est l’angle de pression).
Un point M de N est alors défini par la relation : (8) Nm ce 0 G, g étant la mesure algébrique de mM. Le point M appartiendra à la caractéristique de N, pour la valeur uw considérée, pourvu que l’on ait :
