Réalisation d’un engrenage à axes concourants
Considérons deux roues dentées correspondant à deux roues plates en coïncidence [P;, N;] et [P;, N;]; soit SA la génératrice de raccordement des cônes primitifs À, et À, supposés de part et d'autre du plan (P, P,) (engrenage extérieur )"(f19.22).
Coupons l’ensemble par une sphère X de centre S: le plan (P;,P,) est coupé suivant un cercle C et les cônes primitifs suivant deux cercles K, et K, langents en un point I. Soit v la section de (N;N,) par X et conservons les
notations précédemment introduites en les affectant des indices {1 ou 2 suivant la roue à laquelle elles se rapportent (fig. 23).
La figure a été faite en supposant l’angle à positif.
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Y j Ke \ 2 À Ju) i ù 1 Re PE Ten rm. a en Wu % Fig. 23
Pour la roue , (axes X, I V,) le produit My.9 est posilif, par suite v doit être matérialisé du côté convexe et vérifier :
tg «, sin (0 — À) — sin 6 sin À >> 0.
Pour la roue J, (axes X,IY,) le produit My.9 est négalif, par suite v doit être matérialisé du côté concave et vérifier :
— tg « Sin (0 — x) — sin 0 sin À < 0,
(le premier membre de (15) se déduit de celui de (14) en changeant «, en «, then Det ren — À),
A pe
Les conditions (14) et (15) doivent être simultanément remplies el limitent y à une portion d'arc coupant le plan (P; P;).
Soit # la surface commune aux deux roues plates matérielles équivalentes aux outils qui ont taillé les deux roues conjuguées : ces deux roues plates sont matérialisées respectivement de part et d'autre de #; par suite, comme on l’a vu au $ 19, il ne peut y avoir interférence entre les deux roues conjuguées.
A la condition d’emboîtement des deux roues plates matérielles s’en ajoute une seconde irès importante : pour les mêmes raisons que dans le taillage des roues cylindriques ($ 19), on cherchera à ce que ces deux roues plates soient symétriques.
Je dirai que l’engrenage est parfait si ses deux roues plates matérielles sont emboîtables et symétriques (1).
On en déduit :
1° Si 6 est l’angle de la rotation qui fait correspondre deux dents
consécutives d’une telle roue plate, les traces T et T’ des deux faces d’une même dent sur le primitif P se correspondent dans une rotation concentrique
0 ; : He Re d'angle 5 : En effet, imaginons les deux roues plates matérielles emboîtées :
elles se correspondent alors dans le produit d’une symétrie par rapport à P et d’une rotation autour de leur axe; or, la figure formée sur P par les traces des denis est invariante dans la symétrie, elle correspond donc avec elle-même dans la rotation indiquée.
20 Dans le cas où une telle roue plate admet un plan de symétrie, les deux roues plates associées sont rigoureusement identiques, et deux roues quelconques ainsi taillées sont alors conjuguées. (Il en est ainsi par exemple lorsque (N; N,) est un plan passant par S). Je dirai alors que l’assortiment de ces roues est bilatéral; &Gans le cas général où les deux roues plates matérielles sont distinctes, je dirai que l’assortiment est unilatéral.
