Détermination du point de contact des dentures %, et

Si M est un point commun aux deux caractéristiques de N dans les deux mouvements A/J6, et A/4@, la normale en M à N appartient à la congruence des droites communes aux deux complexes I, et [,: or, le faisceau (l,, 1°) admet comme complexes spéciaux ceux qui ont respeclivement comme directrices la droite À et la droite à l’infini des plans normaux à A. Par suite, les droites de la congruence sont celles qui coupent orthogonalement A.

Donc, un point de N en contact à la fois avec ®, et ®, est le pied d'une normale coupant orthogonalement A. Ou encore: cest un point de contact de N avec un cylindre de révolution d’axe A.

47. Engrenage défini à partir de deux ensembles distincts : [As N;} et l'A, No].

Imaginons les hyperboloïdes primitifs 96, et 46, tournant de leur mouvement conjugué autour de leurs axes fixes et entraînant deux axoïdes A; et A, munies de surfaces N, et N, telles que N, et N, s’enveloppent mutuellement dans le mouvement A;/A2.

Dee

Soit M un point commun aux deux caractéristiques de N, dans les deux mouvements A:/96, et A:/A,:; la normale en M aux surfaces 46, — Ni — N: appartient à deux complexes distincts de même axe A, elle coupe donc orthogonalement A et, par suite, elle appartient aussi au complexe lié au mouvement A,/6; en d'autres termes : les surfaces 9, et M enveloppées respectivement par N; et N, sont tangentes en M.

Remarquons qu’une telle génération des surfaces conjuguées rer donne un engrenage à contact généralement ponctuel et admettant la même ligne d’engrènement que si les dentures avaient été enveloppées par un seul des

deux ensembles [A;, N;] ou [A:, N:].

A8. Génération de la denture %® par la viration d’axoïdes particulières.

1o À est un hyperboloïde de révolution. — Si a et « sont les éléments de 46 et (a, x) ceux de A, on doit avoir :

aitga—atga

Supposons que À et 96 soient en contact le long de A : s'ils se raccordent | extérieurement, les tangentes en C aux cercles de gorge (fig. 33) sont situées dans des couples de quadrants différents de l'angle XCA et: Dar conséquent, le pas du complexe attaché à la viration A/96 est, d’après la formule (5) :

nm — a (Cot « + cot ').

Au contraire, si À et 46 se raccordent intérieurement, les tangentes en C aux deux lignes de striction sont situées dans les deux mêmes quadrants de l’angle XCA: le pas du Fig. 54 complexe associé est alors :

20 À est un hélicoïde gauche. — Cherchons à déterminer la surface la plus simple axoïde à 96 : elle ne dépend que de k—atga. Son indicatrice sphérique sera un grand cercle : À apparaît alors comme une réglée à plan directeur admettant un paramètre de distribution constant; prenons comme arête de rebroussement une droite normale au plan directeur : l’axoïde ainsi choisie est l’hélicoïde gauche d’équation :

OZ étant son axe et le plan des +y étant parallèle au plan directeur (fig. 34). On prendra le signe + ou — suivant le sens.

Si N est une surface liée à l’hélicoïde gauche que je désignerai par la lettre H, j’appellerai platoïde ensemble [H, N] qui généralise la crémaillère ou la roue plate; (H sera dit: hélicoïide primitif). Remarquons toutefois que