Cas où l’engrenage gauche est à contact linéaire

Il résulte de la détermination du point de contact des dentures, dans le cas général, que pour que ®, et ®, soient en contact le long d’une ligne, il faut et suffit qu’il existe sur N une courbe telle que les normales à N le long de cette courbe coupent orthogonalement A, et cela pour chaque position relative de l’ensemble [A, N] et de A. Une telle surface N est l'enveloppe d’une famille de cylindres de révolution ayant’ pour axes les génératrices rectilignes de A.

Mais si la surface N est ainsi choisie, les dentures ®,; et ®, sont les mêmes que si l’on remplaçait À par une axoïide quelconque A’, et N par son enveloppe dans le mouvement A/A’. Nous pouvons donc supposer désormais, sans restreindre la généralité des solutions, que l’ensemble [A, N] est un platoide.

En affectant le paramètre de distribution d’un signe convenable, suivant le sens de l’hélicoïde primitif, l’équation de celui-ci peut toujours s’écrire :

Une surface N liée à H et telle que le contact ®,/®, soit linéaire est alors l'enveloppe de ct: cylindres de révolution ayant pour axes les génératrices rectilignes de H. Or, il existe >? tels cylindres : l’un d’eux est déterminé si l’on se donne son axe (c’est-à-dire : 0) et son rayon : p. Leur équation générale est

(7) (x sin 0 — y cos 6) + (z — k 6)? — p?.

On pourra se donner arbitrairement la fonction (6) pour définir une surface N. En particulier, si l’on prend :

il est évident géométriquement (et on vérifie par le calcul) que le plan z—A est tangent aux cot cylindres correspondants. Donc, tout plan normal à l’axe A de H et lié à H est une surface N solution.