IV - TUBES À FOND HEMISPHERIQUE

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Li | ra ge | AE ; 4 | 7 "A Î L C { 1 | É E Me Hi j De { NT Fr En + à L RG pe : | Ÿ | \ ; | ; ke D ie \ More re | LS ; | ss + \ | Murs -dnr # = :

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: ail —— F igu re 9 ;

Nous nous limiterons au cas où la suspension occupe exactement le volume de l'hémisphère terminal dont le rayon R = À = B, et le volume:

1°) Calcul de la fonction de répartition.

Dans le cas d'une suspension homodispersée:

D'après la formule 11 | | | k # RE Pers J c‘ax (A1) B où, d'après la figure 13

où en remplaçant y par sa valeur x + ot en développant

e Gé = x À +2 x À + 47 - 2 ap X x l'expression de v' x TE x We or Se —- x° + 2Bx + X(A-2B) | ax =R devient, après intégrations vy = EL- + (£°e B°) + 85(x7-5*) + 2X(4-2B)(X-B))

La fraction sédimentée f = 1 - a sera (2a-3B)(AŸ-XÈ) - 3B(A-2B)(A-X) + B°(a- À)

et en remplaçant X par sa valeur 4e 2%.

- A°(24-8B) esu tt) 3AB(A- =28); Lost) i

équation permettant le calcul de s.

Dans Le: cas d'une suspension hétérodispersée:

l'équation générale 13 devient, avec les conventions habituelles:

De po 0 + | (0e oui 2(b-1) (26) S S ee D ne dd eg F Le S-1)Ple) a 2 ; Fu 2(b=1)° jus Hi

Posons encore, pour simplifier:

DA[2DEA ne Sb(b-2) is pe 2(b-1)° 2(b-1)° 2(b-1)

. L'équation 26 dovicnt: : | SERRE 8 ; s S -2a2 S a+ S as = Q+af (se S-1)F(s)ds - Bf le °-1)F(s)ds +y/f le ”-1)Fsds o O | UT:

Do ce NOUS additionnerons l'équation 26 et ses trois premières dérivées par rapport à S; multipliées respectivement PATRONS, 0/25 06 ]/6:5°1ot nous obtiendrons l'équation Suivante :

2 DUYAC : 7

5: d Sr là # a rdQ 1 - (p+53502 4 S19 + SE) =, Q + + S + (87) 2 4e Bas 2(b-1)2 ds

à la condition que l'on puisse négliger le terme suivant:

É: 8 sn . -2a$ LÉ œ F É ( (1+28x Ce 222 TS À Che )e -1) ] F(s)ds O EVE S Pod 2 oo res = $ £ [ (1+as Se metE >) Ets en —)e -1)] F(s)ds | (28) | S £ GLS Soi = + y | [i (i-ab.r Se - 8 8) 1) Te(ehas o 5 2 ‘se GR 8 &

Cettc équation est résolue. comme précédemment et conduiît à la solution 29:

S 2 SAS VAN d CRT | SR | M1 Q = f [ HIPEN(DIGSRR + Do D en et S as 29 EL a 7 RSS ] Ki

nn où M a pour valeur 2 PE :

10 L'intégration par parties de l'expression 29 con duit à l'expression 30, analogue à l'équation 19:

Do =, (W-emi)n + JE (on) s BARS LR

| | ù a té = + (u-1)(me2)(ues) À f ps S (e)

20) Conditions de Validité

À) Dans le cas limite où b = 1, M prend la valeur £ et l'équation 30 se réduit à:

| ME D 20e 1 NS MP RE Dogs SE + 7 8° + (81)

C'est également la solution obtenue dans le cas de la sédimentation par gravité accomplie dans un tube hémisphérique.

B) Cas général: b > se

La grandeur de l'approximation est donnée par l'exprossion 28,

Posons :

ne Biz Lo Yoe Er fD+ £ 25, jÿ Écrit nÉ = )e re 28 3 8' or OS ë SiBdéc À à LA 5 + PET ë (58) 2 (SJUÉS

dr ann s ec A ARE a°s° re +8 a*s° se de a*s° ", LÉ di die és GE

mais les quantités 2% étant petites, nous pouvons admettre que l'adjonction d'un terme supplémentaire aux développo-

Se S 5] + = À à 2a=. a OQ— : monts en série des fonctions 6°"S, e 5,0 S, contenues

dans l'équation 32 conduirait à une expression globale trôs petite:

An 207 et 4 4 2ax . C (1 + =. 4 : SR Et + nn Je ET

-ff (1 + 2s RD ne S + 48 )e SEM S 8 6 5:88 440 a as" D |] %# + AR IL = + + DORE | O d s SO 69 as

& 4 5 AE <a 74e. 0 Fi “RE en Scene ho 08 2 y 18,588 4 He 4 é | AE OMS PA

ct par conséquent:

aY CA ds # S

s ôtant positif, la fonction Y ot sa dérivée sont toujours de même signe ct, comme dans les cas précédents, la valeur absolue do Y sera maxima lorsque s = S.

Nous pouvons alors définir comme précédomment les crrours moyenne (E) ot maxima (E )

RS DRASS UE 2(0-1) 2(b-1) E = -[1 - Amen) + à 7 Q 2(b-1) RIM Out Lo se PO UN OR # mere LL

2 ie = &a(b-1) 2(b-1)

Le tableau 6 comporto es des numériques de BE et E calculées pour différentes REA de b, comprises entre 1 ot l; 4. LE sas ut

Un ie ds: la croissance. de la fonction Y avec le rapport à RU asser 5,

Tableau 5.

30) Simplifications de la solution.

a) Promiôro simplification.

L! équation 29 peut être mise par intégration par parties sous La formé:

pe 3M21 & ; M «2 d° (M-1)(M-2)(M-3) 1 r°4*p QM-1 1=Q = p+ 8 s2 d°p AE PAL a AL su POP PCA | ML 4 6 bo ail) : Nés as

‘Comme pour l'équation RO nous avons cherché si L'équation 34 qui on dérive. était applicable:

i se 2 Mel. A Diqer lier one 0 dem Qre pot pe Sas ES Se (34).

Celle-ci, d'atilours, redonne bien L'équation 51 pour M =. 2.ct.1 équation CICR Tor M=.8%.

/ E erreur moyenne introduite par une équation. # d généralo : LS ’

dans le cas de tubes hémisphériques este.

TE een) (ie) Pen

dés Cette formule nous permet de calculer les valeurs de E/Q relatives à l'équation 34 (tableau 6).

b) Deuxième simplification.

Les coefficients — et __. de l'équation 34 sont très voisins respectivement des grandeurs 1 + e et —

Nous avons donc calculé (tableau 6) les erreurs E/Q relatives à l'équation suivante:

1-Q = p+(i+-R)s + D s° IR (35) as | b' ai PL on Le LUS AE 155 [1,4 | M BD 201 0 200 ; 2,826 mn .|3/8/0,36439/0,35719)0,35492|0,34637 |0,35870

SESSIONS DS DE D D nt ts ml ne oo om me eu

D Ce PQ Put Ds ne D nn Vanne (ot Domi Do Dans Que SG ns SR EE LS eu ému Sn nee pa em manne tnt amet conne om ann um mue eme atom ane monts . — ——— RES rene, male

. ee ee ne me ce md

Tableau ce

de ADProx mation ntroduite Dar 4 Squation 30 ap ai j ! parait négli-

geable dans le domaine des valeurs de b comprises entre 1 de

1,40, les deux erreurs E et Ems nulles pour b = 1, passent par

Ne ue se à b = 1,175 ot décroissent ensuite:

elles s annulent à nouveau pour b = 1,4808 (M = 3 té î

30 se réduisant alors à: | ne

dp 3 d“p der ne 5 (33)

c) Troisième simplification,

Nous connaîssons deux équations mathématiquement

exactes:

SOS Re ie | 1-Q = p + sie PR 15 + — S 5 pour b = 1 ds a 1 2 be QU Dre + RENE RE pour b = 1,4808

Nous pouvons nous demander si pour toute valeur de b n'existerait pas une équation exacte de la forme

dp ÉCUE S dS + ko S