II. Si »« = 4 on a v

III. Les coniques dont le plan pas$e par un point fixe, qui touchent la courbe rationnelle c», la rencontrent encore en deux pointa et s'appuient en outre sur une droite g engendrent une surface du 30* ordre. Les coniques ayant un contact triponctuel avec c«, la rencontrant encore en un point et s'appuyant de plus sur une droite forment une surface du 30* ordre.

«. Si le système se compose d'une cubique gauche Ct et d'une courbe unicursale Cm, les quadriques auxiliaires, en nombre ce*, passeront par Ci, sang autre point fixe, et l'on trouve :

Les plans des coniques qui rencontrent les courbes Ct et Cm chacune en trois points enveloppent une surface dont la classe est

Corollairet. I. Si w = 3, on a v = 4(*).

II. Si deux cubiques gauches Cs et c[ n'ont aucun point commun, il y a 64 coniques qui les touchent et les rencontrent encore l'une et l'autre. Il y a 12 coniques osculatrices à d et passant par trois pointa de c',^, et inversement,

1. Si le système se compose d'une biquadrique C« de première espèce et d'une courbe rationnelle Cm, les oo' quadriques auxiliaires passeront par C^.

Le$ plans des coniques qui passent par quatre points de Ci et deux points de Cm enveloppent une surface de classe

Si w = 2, on a V = 3.

Si la courbe Cm est remplacée par deux droites qui ne se coupent pas, les quadriques auxiliaires marquent, sur les deux droites, une correspondance (2, 2); tout plan mené p&r deux points correspondants contient une conique répondant à la question ; la surface enveloppée est donc le lieu des droites qui joignent des points homologues de cette correspondance.

Les plans des coniques qui rencontrent C» en quatre points et deux droites donnas chacune en un point enveloppent une surface réglée de quatrième classe.

Cette surface est donc aussi du quatrième ordre. C'est la première dans la classification des surfaces réglées du quatrième ordre de CayleyI**) et la onzième de Cremona(***).

8. Bien qu'il n'y ait pas impossibilité absolue à employer les méthodes qui vont suivre pour des systèmes assez généraux, nous nous bornerons, dans les cas ci-après, à examiner des systèmes de directrices dont l'ordre total est 6.

Soient d'abord une cubique gauche Cs, une conique Ct et une droite g sans points communs.

En menant des quadriques Sa par Cs, il sufSt de chercher l'enveloppe

\*) Reye, Journ. f, Malh. t. 79.

(♦•) Phil. Trans.. 1864.

{**•) Mem. Ace. Bologna (2). VIII,

des plans passant par deux des intersections de S2 arec C2 et une intersection de S» avec^. Considérons une droite a|3 quelconque de l'espace.

Par tout point A de ç passe un plan (a(3. A) qui coupe Ct en deux points situés, avec d, sur une quadrique S»; celle-ci coupe g en deux points B. Inversement, un point B de ^ détermine un faisceau de quadriques S2 qui marquent, sur C2, une involution IJ, tandis que les plans par aj3 y marquent une involution IJ ; ces involutions ont trois couples communs déterminant chacun un plan par a|3 et un point A sur ff. II existe donc, entre les points A et B, une correspondance (2, 3) donnant cinq coïncidences.

Les plans des coniques qui reposent, par trois points sur une cubique gauche, par deux points sur une conique donnée et par un point sur une droite donnée enveloppent une surface de cinquième classe.

Corollaires. Les cercles dont le plan passe par a(3 et qui passent par trois points de Cz engendrent une surface du cinquième ordre. Les cercles dont le plan passe par un point, qui touchent d et la coupent encore en un point engendrent une surface du 20" ordre. Les cercles osculateura d'une cubique gauche engendrent une surface du 15* ordre (*).

9. Supposons le système formé par une cubique gauche d et trois droites g, g' , g" . Il suffit de compter les plans passant par a|3 qui coupent g, g' , g" en trois points d'une même quadrique circonscrite à d.

Soit A un point de ^; le plan (aj3, A) coupe g' et g" respectivement en B et C; par Cj, B et C, il passe une quadrique coupant g en deux points D. Inversement, par un point D de g, il passe un faisceau de quadriques circonscrites à d et elles marquent, sur g' et g'\ une correspondance (2, 2) ; donc il existe quatre plans par aj3 contenant des points correspondants et par suite quatre points A de ^ répondant à D. Entre les points A et D, il y a donc une correspondance (2, 4) présentant six coïncidences.

Zes plans des coniques qui rencontrent trois droites et qui coupent une cubique gauche en trois points enveloppent une surface de sixième classe.

Corollaires. Les coniques dont le plan passe par un axe «j3 et qui reposent sur g et g' et rencontrent d en trois points engendrent une

(*) Propriété connue : voir Timerding, Ueber die Kuçeln, welche eine cubische Raumcurve mekrfach oder mehrpunktig berûhren (Diss. Strasbourg, 189 i).

surface du sixième ordre. Le8 coniques dont le plan passe par un point, qui s'appuient sur g et g\ qui de plus touchent c-, en un point et la rencontrent en un autre engendrent une surface du 24* ordre. Les coniques osculatrices à Ci et s'appuyant sur g et g' engendrent une surface du 18* ordre.

lO. Soit un système compoïé de trois coniques c,, c'^, c','. Les quadriques auxiliaires Si seront menées par c'^ et par un point A de l'espace.

1* Par un point fixe B de Cj, combien peut-on mener de ces qaadriques Sj coupant Cz en un point X autre que B et c'» en deux points Y et Y', de manière que le plan XYY' passe par l'axe xZ ? Prenons, sur Cï,un pointX autre que B ; le plan (a,3, X) coupe e[ en Y et Y'; la quadrique Ss menée par Cj', A, BjYetY' coupe c» en trois points Z autres que B. Inversement, prenons, sur d, un point Z autre que B; les quadriques Si par c^', A, B, Z forment un faisceau et marquent, sur c,', une involution IJ, tandis que les plans par a 3 j marquent une involution Ij J les plans menés par a^ et par les trois couples communs aux deux involutions donnent six points X sur C2; entre les points X et Z, il y a une correspondance (3, 6) et neuf coïncidences.

2' Cela étant, prenons, sur c», un point quelconque B; le plan (a|3, B) coupe c\ en P, Q et rencontre encore Ci en un point C, généralement différent de B ; la quadrique S2 menée par c','. A, C, P, Q coupe encore Ct en trois points 1) autres que C. Inversement, prenons un point D sur Cj; d'après ce qui a été dit au 1*, il y a neuf points C de Ci situés, avec deux points de c^, à la fois dans un plan passant par a|3 et sur une quadrique Si contenant c,, A, D, et chacun des neuf plans (a|3, C) donne un noureau point B sur Ci. Entre les points B et D, il existe donc une correspondance (3, 9j et douze coïncidences.

Mais, comme chaque plan coupe Cs en deux points, ces douze coïncidences sont dans six pians seulement, d'où il faut encore déduire le plan (ap. A) qui correspond à une quadrique S; dégénérée. On a donc ce théorème.

Les plans des coniques gui rencontrent deuxjois trois coniques donnéts enveloppent une surface de cinquième classe (*).

{*) Ce théorème a été démontré, d'une autre manière, par M. J. Neubeko (Bull, de l'A Cad. roy. de Belgique, décembre 1901).

Corollaires. Les plans des cercles rencontrant deux coniques chacune en deux points enveloppent une surface de cinquième classe. Les plans des cercles touchant une conique c» et passant par deux points d'une autre conique enveloppent une développable de 10' classe. Il y a 20 cercles tangents à la fois à deux coniques.

il. Si le système se compose de deux coniques et de deux droites, on fait passer les quadriques auxiliaires par ces deux droites, sans autre point fixe. Le raisonnement est le même que dans le n" précédent, mais la réduction finale disparait.

Les plans des coniques rencontrant deux coniques donne'es chacune en deux points et deux droites données chacune en un point etiveloppent une sur/ace de sixième classe.

Corollaires. Les cercles dont le plan passe par un axe et qui passent par deux points d'une conique C2 et par un point, d'une droite ç engendrent une surface du sixième ordre. Les cercles dont le plan passe par un point et qui touchent c» et rencontrent^ engendrent une surface du 12» ordre.

t«. Soit un système formé d'une conique C2 et de quatre droites Çf ff'f ff"f &'" • Les quadriques auxiliaires S2 passent par Cj et par un point A de l'espace.

]• Par deux points fixes, B sur ^, G sur ^', combien peut-on mener de ces quadriques S2 passant par un point X de g" et un point Y de g'" de manière que X, Y et l'axe a^ soient dans un même plan? SoitX un point de g" ; le plan (aj3, X) coupe g"' en un point Y et la quadrique menée par Ct, A, B, C, Y coupe g" en deux points Z. Inversement, prenons un point Z sur g" ; C2, A, B, C, Z déterminent une quadrique S» coupant g"' en deux points Y et chacun des plans (a(3, Y) donne, sur g'\ un point X ; la correspondance des points X et Z est donc (2, 2) et donne quatre coïncidences.

2* Par un point fixe B de ^, combien peut-on mener de quadriques S2 passant par des points X de^', Y de g", U de g'", de manière que le plan XYU passe par «|3? D'api es les mêmes principes et en appliquant le résultat précédent, on trouve une correspondance (2, 4) et six coïncidences.

3" Enfin on reconnaît, par un procédé identique, qu'il existe 2 -{- 6 =s 8 plans, par a|3, coupant g, g', g", g'" en des points d'une

quadrique contenant c» et A ; mais (a3. A) est un de ces plans et doit être exclu. On a donc ce théorème :

Les plans des eoniquis qui s'appuient sur quatre droites données et qui passent par deux points etune conique donnée enveloppent une surface de septième classe.

Corollaires. I. Les coniques dont le plan passe par un axe «^ et qui coupent C2 en deux points en s'appojant de plus sur g, g\ g" engendrent une surface du septième ordre. Les coniques dont le plan passe par un point, qui touchent une conique et qui rencontrent trois droites données engendrent une surface du 14» ordre,

II. Les cercles dont le plan passe par un axe et qui reposent sur trois droites enrelop} ent une surface du septième ordre.

13. Soit enfin un système de six droites. Le raisonnement est le même que dans le cas précédent; seulement les quadriques S2 passent par deux des six droites, au lieu de passer par C: et A; il n'y a donc pas de rédaction finale.

Les plans des coniques qui reposent sur six droites enveloppent une sur/ace de huitième classe (*).

Nous ferons usa^e du corollaire suivant.

Les coniques dont le plan passe par un axe a3 et qui reposent sur cinq directrices rectilignes engendrent une surface du huitième ordre.

Cette suiface sera étudiée, avec quelques détails, au Chapitre IL

14. Si de toute la discussion qai précède (n" 2 à 13), nous ne retenons que les cas. où Tordre total du système des directices est égal à 6. nous pouvons résumer, de la manière suivante, les résoltats obtenus.

(♦) Ce résultat est connu. M. Hcerholzer a résolu la que.'stion corrélative et a étudié (Math. Ann., t. 2) le lieu des sommets des cônes du second ordre qui touchent six droites. Le même problème a été repris par Caylet {Malh. Ann,, t 4).

Ainsi que nous l'avons annoncé, notre intention n'est pas d'étudier le.s systèmes simplement infinis de coniques reposant, par sept points, sur des directrices, ni les coniques, en nombre fini, qui reposent, par huit points, sur ces directrices. Mentionnons seulement que M Lokoth { Jour n. f. Malh., t 68) et, tout récemment M. J. I)b Vriks (Koninklijke Académie v. Wetonschappen, Amsterdam, septembre 1901) ont donné le nombre des coniques reposant sur huit droites.

Etant donné, dans Vespace, un ensemhle de lignes uniciirsales d'ordres respectifs n, n'. ...» de manière que Von ait

si toutes ces lignes sont^ deux à deux, sans points communs, les plans gui les rencontrent en six points d'une conique enveloppent une surface dont la classe est égale à

Cette surface contient toutes les quadrisécantes du système de directrices, car tout plan par une quadrisécante coupe ces lignes en six points d'une conique dégénérée; la surface contient aussi évidemment toutes les directrices.

On suppose expressément que les directrices n'ont pas de points communs. Car, si deux des directrices passent par un point M, la classe de la surface enveloppée se réduit, en général, d'une unité : tout plan passant par M coupe, en effet, les directrices en cinq points distincts seulement qui sont toujours sur une conique. La surface de classe v dégénère en ce point M et une surface de classe v — 1. Toutefois, pour être certain que le point M ne doit pas être compté plus d'une fois, il faut traiter quelques exemples par le principe de correspondance appliqué ci-dessus : la réponse est généralement négative.

Ainsi, dans le cas d'une droite, d'une conique et d'une cubique gauche passant par deux points de la conique, les plans des coniques reposant, par six points, sur ce sjsième enveloppent une surface, non plus de la cinquième, mais de la troisième classe. Par suite, les cercles dont le plan tourne autour d'un axe et qui passent par trois points d'une cubique gauche circulaire engendrent une surface du troisième ordre. Et les cercles osculateura d'une telle cubique gauche engendrent une surface du .neuvième ordre.

Un autre exemple a servi de point de départ à M. Reye pour des recherches intéressantes : deux cubiques gauches, ajant un point commun, déterminent, par le procédé que nous étudions ici, une surface de troisième classe; mais ces deux courbes sont aussi sur une surface du troisième ordre. M. Reye (*> examine les relations de ces surfaces; il

(♦) Reye, Beziehungen der allgemeinen Flàche 3"» Ordnung m einer covariânten Ftdche 3'»' Classe {Math. Ann., t. 55),

remarque notamment qu'elles passent toutes deux par les six bisècantes communes des deux cubiques; ces bisècantes forment, sur les deux surfaces, la moitié d'un double-sixain de Schlafli.

Lorsque le système des directrices comprend des points par où passent plus de deux courbes, la réduction subie par la classe v obéit à une loi qui ne paraît pas susceptible d'une expression simple; on peut s'en assurer dans des cas particuliers.