CHAPITRE II

Sur certaines surfaces algébriques engendrées par des systèmes de coniques.

t&. Si l'on prend le système le plus général de oo' coniques, ces courbes engendrent une surface S et leurs pians enveloppent une développable r; la surface S est évideniraent déterminée par la développable r et par cinq directrices dont chacune contiendra généralement un point de chaque génératrice. On sait aussi que la développable tangente à deux coniques génératrices infiniment voisines tend vers la développable circonscrite à la surface S le long d'une de ces coniques.

Tel est le point de départ d'un mémoire important de M. Ed. Weyr (*). Les développements qui vont suivre n'auront guère que cette origine commune avec le travail cité; nous prendrons immédiatement un autre chemin.

Soit a{3 l'intersection de deux plans aet|3 infiniment voisins tangents à r. ou soit aj3 la génératrice de contact du plan a contenant une des coniques Cj qui décrivent S. Imaginons une surface S' engendrée par une conique dont le plan tourne autour de a|3 comme axe fixe et qui admet le même système de directrices que la surface S. Il est clair que S' aura, le long de Cj, la même développable circonscrite que S. Donc certaines constructions relatives à la surface S se déduisent de constructions analogues relatives à la surface S'.

D'un autre côté l'ordre de la surface S dépend de l'ordre de S'. En effet, adjoignons, au système c des directrices de S une droite ç indépendante, c'est-à-dire une droite n'ayant, avec les lignes de c, aucune relation spéciale, telle que point commun, etc. Les plans des coniques

(*) Ed. Wkyr, Zur Théorie der Flàchen, welche eine Schar von Kegehchnillen enthalten (Monatshefte f. Math. u. Phys., t. II).

qui reposent, par six points, sur le système c-|-^ enveloppent une surface U de classe f* par exemple. Si v est la classe de la développabie r, il existe, en général, uv plans tangents communs à U et r, donc (jiv coniques reposant, par six points, sur c-|-^ et dont le plan touche r. Par suite, les coniques dont le plan louche r et qui reposent, par cinq points, sur c, engendrent une surlace rencontrée ^v fois par une droite quelconque; l'ordre de cette suiface est donc uv. Si la développabie r est remplacée par un axe fixe, la surface S d'ordre uv est remplacée par une surface S' d'ordre /x.

IG. Les considérations qui précèdent nous amènent à donner une attention spéciale aux surfaces S' et à leur accorder la priorité. Dans le présent chapitre, nous nous bornons même à l'étude de cette famille de surfaces. Lorsque l'ordre total des directrices est précisément égal à cinq, chaque directrice de degré m est coupée m fois [>ar une conique génératrice c». Soit « l'ordre de la surface engendrée. Tout plan mené par l'axe «3 contient une seule conique c^ et l'axe a^ est donc une droite multiple dont le degré de multiplicité est n — 2.

Prenons l'axe pour arête iTi = ar? = 0 du tétraèdre de référence et désignons par zn une fonction quelconque, entière et homogène en Xt, Xi et du degré t. L'équation de la surface sera de la forme

Coupons par un plan .a;, = )xi et représentons par 'i/i la fonction ç< où Xi et X2 font remplacés par A et 1. Nous aurons

La conique située dans le plan Xt == /.X2 dégénère en deux droites pour les valeurs de / qui satisfont à l'équation

^n -^«-l ^fi

! 'Vn-l 'Vn-i ^«--'

Cette équation est du degré 3» — 4 en /.

Donc, si une sur/aee d'ordre n est engen Irée par dei coniques dont le plan passe par un axe fixe, il y a, en général^ 3n — 4 de ces coniques gui dégénèrent en deux droites.

Si toutes les coniques du système passent par deux points fixes 0 et 0'

de l*axe, on choisira ces points comme sommets du tétraèdre de référence et l'on aura (j'n-î ^ 0 et '|'«2 = 0.

Il y a n — 2 valeurs de A qui annulent '^'n-2 et, pour ces valeurs, la conique dégénère en deux droites dont l'une coïncide avec 00'. Ou bien, il y a w — 2 nappes de la surface qui sont tangentes à un même plan tout le long de 00'. Ces n — 2 valeurs de A sont comprises parmi les 3n — 4 solutions de l'équation précédente; par suite, il y a encore 2n — 2 autres coniques dégénérant en deux droites dont l'une passe par 0 et l'autre par O'.

Nous avons emprunté cette remarque à un mémoire de M. Blutel{*).

Si donc, dans les cas particuliers, nous découvrons 3n — 4 coniques dégénérant en deux droites différentes de l'axe, nous pourrons affirmer qu'il n'y a point de nappe de la surface tangente à un même plan tout le long de l'axe «(3.

lï. Supposons maintenant une surface engendrée par une conique dont le plan tourne encore autour d'un axé, mais qui rencontre, chacune en un seul point, cinq directrices curvilignes d'ordres respectifs M,, Mî, n», «/,, «5. Soit g une droite quelconque de l'espace; appelons d{nt, %2, -fizf ««, ^i) l'ordre de la surface considérée et d(«i, %s, «s, w,, 1) l'ordre d'une surface analogue, où la directrice ns est remplacée par la droite g. Cette dernière surface rencontre, en général, la courbe ns en «5 X ^(^i, ^2, «j, fil,, 1) points et ce même nombre exprime combien de génératrices de la première surface rencontrent ^ ; on a donc

On procède de même de proche en proche et l'on a finalement

d(ni, nj, Uiytik, «s) = «in2W5»4«5 5(1, 1, 1, 1, 1). Or, daprès le n» 13, 5(1, 1, 1, 1, 1) = 8.

D'autre part, on voit, par des considérations d'infiniment petits, que la développable circonscrite à la surface à directrices curvilignes, le long d'une conique Ct qui passe par les points A, B, C, D, E de ces directrices, se confond avec la développable circonscrite, le long de cette même conique, à une autre surface qui aurait pour directrices les tangentes, en A, B, C, D, E, aux directrices courbes.

(♦) km. de rÉc(Ue Normale (3), VII.

Ainsi, la surface à cinq directrices curvilignes rencontrées une fois par chaque conique génératrice dépend de la surface à cinq directrices rectiligneu en ce qui concerne certaines propriétés et notamment V ordre.

18. Par tout ce qui précède, nous sommes conduit à choisir, pour l'étude plus approfoniie, la surface engendrée par des coniques dont le plan passe par un axe ajS et qui s'appuient sur cinq directrices rectilignes.

Cette figure nous a été signalée par M. J. Nedberg. Par une coïncidence heureuse, c'est aussi, dans Tordre d'idées que nous exposons ici, la surface la plus générale dont nous ayons pu établir l'équation.

Puisque nous savons qu'elle est du huitième ordre, nous la désignerons par Ss. Nous savons aussi qu'elle admet pour droite sextuple l'axe a3 que nous supposons déterminé par l'intersection de deux plans ax = 0, Px = 0. Elle contient les cinq directrices yo, y'i' , y"à" , £?, t'z>' , chacune déterminée de même par deux plans ; nous désignons par C, C, C", E, E' les points où ces directrices sont rencontrées par une conique génératrice Ci. Par hypothèse, les directrices et l'axe sont des droites indépendantes, c'est-à-dire que deux d'entre elles ne se coupent pas, que quatre d'entre elles ne sont pas des rayons d'un même système réglé, etc.

La surface Ss contient les dix couples de droites », réelles ou imaginaires conjuguées, rencontrant à la fois l'axe ap et trois des directrices, car ces droites i appartiennent à des coniques Cz dégénérées ; Ss contient aussi vingt droites /' s'appuyant chacune sur a/3, sur une droite i et sur les deux directrices qui ne rencontrent pas », car les droites/ complètent les coniques dégénérées dont font partie les droites i. Le nombre de vingt coniques dégénérées concorde avec le résultat du n' 16 et il n'y a pas de nappe de Ss tangente à un même plan tout le long de x2>.

La surface Sg possède, outre l'axe et les directrices, quarante lignes droites.

19. Pour rendre l'étude actaelle indépendante du Chapitre I, suppo» sons que l'on ne connaisse pas l'ordre de la surface Ss- On pourrait néanmoins reconnaître directement que cette surface est unicursale. Car, par un de ses points, M, on peut mener une droite unique, h, rencontrant à la fois («jS et une directrice y^ choisie à volonté ; h perce un plan t: en un point P, image de M. Réciproquement, la droite menée de

P et s'appuyant sur ofj3 et yiî ne rencontre plus Ss qu'en un seul autre point M.

Ainsi, la surface Ss est représentable sur un plan ou unicursale.

«O. D'après cela, les coordonnées d'un point M de Ss doivent pouvoir s'exprimer en fonctions rationnelles de deux paramètres.

Le choix de ces paramètres est aisé : le premier sera la quantité co telle que

OCx + M^x = 0

représente le plan (a(3, M); le second sera le rapport anharmonique du point M et des points C, C, C" où la conique Cz passant par M coupe trois des directrices choisies à volonté et rangées dans un ordre arbitraire mais fixe.

Ce rapport anharmonique A est aussi celui des plans qui projettent C, C, C", M des deux axes îw, t'f', puisque les traces de ces axes sur le plan de C2 appartiennent aussi à d. Représentons les plans ci-après par les équations écrites en regard

(£$», C), £a: + AlO-x = 0,

(e'f , C), £j! -j- k,<px = 0,

(s(p, C"), £x -\- Aitpx = 0, (e(p, M), sx~\-k(px =0,

On doit donc avoir

(ev.c), e; + ;,(p; = o,

(£'cp',C"), eL-\-hf.==0,

kt — As A2 — k h — It li — l ^

hi — A( kl — « /s li M """ l

Calculons ki : les plans (e(p, C), y», àx et le plan (ajS, M) représenté par a«+ w(3a: = 0 se coupent en un même point; donc on a

I ti + Aicpi yi ai «i 4- &3|3, 1=0, (i = 1, 2, 3, 4),

ou encore

(2) (tyda.) -f *, ir/^a) + co (ej/a/3) + ;i.w ((pyfJjS) = 0.

On trouve, d'une manière analogue, des équations donnant kt,ks,li,lt,l% en fonctions de co.

Substituant, dans (1), ces fonctions à k\, ki, ks, /i, h, h, et y remplaçant k par- * l par — ^^ , on a deux relations linéaires en a?,

liréai'e? on /, cubiques en w; à ces relations on joindra l'équation

On aura aitsi trois égalités q i pernetiront de trouver les variables ast, Xi. Xs, Xi, proportionnelks à des fonctions entières et du septième degré en w, du secoiid degré en /.. Si, entre ces égalités, on élimine / et cù, on h l'équation de la surface Sg. Si l'on y regarde A comme constante, elles représentent une courbe gauche uniciirsale, du septième ordie, Cl.

Un plan mené par a,S ne coupe C: qu'en un seul point non situé sur ajS; donc ce? axe est une sécante sextuple de c-,. Comme on peut combiner, de dix manière?, 1. s cinq directrices trois à trois et comme on peut faire varier /, la surface ?s contient dix systèmes de oo' courbes Ci] quelques unes de cts lignes peuvent remplacer, comme directrices de la surface, le même n< mbre de directrices rectilignes données.

Nous avens donc démontré ce théorème :

Ze lieu d'un point M. deSs gui /orme un rapport anharmonigue constant avec les points d'appui de C2 iur trois directrices est une courbe rationnelle du septième ordre ayant l'axe a(3 pour sécante sextuple.

m. D'ap es ce qu'on vient de voir, l'équaiion de la surface Ss résulte de Téliminhi on des 1, c^es /, de / et de (ù entre les relations (1), les égalités £x -|- /{ <pi = 0, t^'\- 1^1 = 0, celles qui donnent ii, k7, ks, l\ , /». h, *^n f notion de w et enfin «x + ^i^* = 0-

/ est élimine si l'on réduit le système (1) à l'équation .,. •*! — h% ki — k h — It h — l

^^ ïr^,^'k;:^k~ïr-r,u-i'

On y rempli ce d'abord A par , l par ■; ; puis, pour elimi-

Çx Ç,

Ctx ,

ner w, on 1© remplacera par — ^ dans l'équation (2) et les cinq analo-

gués, ce qai donnera k\ sous forme d'un rapport de deux fonctions linéaire;: et homogènes en «Xx, ^«, soit

' F, (ax, |3x) ' On trouvera de même

En portant ces valeurs dans le premier membre de l'équation (3),

on trouve.

le Second membre né diffère du premier qùè par la substitution tles

symboles s', 9' à s, «p (ces derniers sont implicitement anus ies / et F).

Lèâ [)oitits dont ies codirdonhées annulent /iF» — /jF, sont sitùéâ

dans deux plans X passant par a|S, car la fonction /1F5 — /3F1 est

quadratique et homogène en «x et (3x; de plus, pour tout point M situé

dans un de ces plans X, ^1 ( ou:^ J est égal à As ( ou— j et les plans

(£13^ C) et (£9, C") coïncident, c'est à-dire que chaque plan X coupe ■''); y"è" et £2) en trois points alignés. En d'autres termes encore, les quatre droites «|3. yd, y"ô", zv sont rencontrées par deux droites i réelles ou imaginaires conjuguées; les plans Z sont les plans (aj3, t).

Pareillement, /jFg - /4F2 = 0 représente deux plans par a/3 qui coupent y'^', y"à'\ £9 en trois points alignés.

Pour tout point M dont les coordonnées annulent ftzix -\- Fjîx, Aj est égal à ki c'est-à-dire que les plans (î®, C) et (£'f, M) coïncident ou qu'il existe une droite issue de M et s'appuyant sur aj3, y'^\ £(p; le lieu de ces points est l'hyperboloïde passant par a|3, y'6' . £9.

Pareillement, /i©x-}- Ficx== 0 représente l'hyperboloïde déterminé par aj3. yà, £9.

Le second membre de l'équation de Ss aura une interprétation analogue, sauf substitution de £'9' à £9.

Il convient de condenser encore les notations : numérotons 1,2,3,4,5 les directrices y5, y'è' , y" à" y £9, e'9'.

Désignons par («(3) {h, h', h") l'ensemble des deux plans qui co..lienneht a|3 et qui coupent , en des points alignés, les directrices numérotées A, h\ h" et soit (a|3)(A, A', h") = 0 l'équation de ce couple de plans. Appelons (a|3. A, h') l'hjperboloïde ayant pour génératrices d'un même système l'axe a|3 et les directrices numérotées h et h' , et soit {:/fj, A, h') = 0 l'équation de cet hyperboloïde.

Le. premier membre des équations que nous venons de définir peutêtre affecté d'un facteur numérique arbitraire; l'équation de la surface S» aura donc la forme

m/L» [(«3) (1. 3. 4)] [{4) (2, 3, 5)] («p, 2. 4) («^, 1. 5) ,^^^^^,,, ^ ^ Us [(a(3) (2, 3. 4)] [(«p) (1, 3, 5)] («jS, 1, 4) («^ 2, 5)

t*. Chacune des surfaces T» et U« se décompose en deux couples de plans et deux quadriques; la directrice 3 est la seule qui n'app«rtienne à aucune de ces surfaces partielles; le fait qu'elle se trouve sur Ss peut servir à déterminer la constante du second membre; il sufBt, en effet, de remplacer, daùs le premier membre, les coordoncées courantes par les coordonnées d'un point de 3.

On sait que les coordonnées homogènes a?, d'un point peuvent être

regardées comme des fonctions linéaires c,i des coordonnées cartésiennes

multipliées par un facteur p qui peut varier d'un point à l'autre, tandis

que les coefficieotj des fonctions ^ sont les mêmes pour tous les points.

Ts Seulement le coefficient p n*affecte pas la fràtîtion — dont lôs termes

sont homogènes et du même degré. On peut donc imaginer que l'on

opère dans un système de coordonnées cartésiennes, et la valeur que

Ts prend — quand on y remplace les variables par les coordonnées o'on

point M est le rapport des puissances Pt, P„ de ce point relativement aux deux systèmes Tg. Us, ces puissances étant comptées dans une direction donnée A et multiiJiées par des constantes Ct, «• qui dépendent des coefficients des formes Tg, Ug, It et de la direction A, mais non du point choisi M.

Oh UoU une directrice quelconque 3, on répartit le» autres, de deux manières, en deux couples tels que 1, 4 ; 2, 5 et 2, 4; 1,5. On considère : d'une part, Us quatre plans qui ■projettent, de aô. les droites s'appuyant sur 3 et sur chacun des deux premiers couples; plus les deux hyperboloï' dis ayant pour génératrices d'un même système a/S et chacun des dtux derniers couples; — d'autre part, quatre plans et deux hyperboloïdes analogues aux précédents et obtenus en intervertissaiil les couples 1,4; 2, 5 avec 2, 4; 1,5. Le rapport des puissances i dans une direction A, d'un point quelconque de la droite 3 relativement aux deux systèmes ci dessus définis est une conttante fx.. La surface Sg est le lieu des points dont les puissances, dans la même direction, relativement aux mêmes systèmes, est la même constante jx,

tl3. Il est naturel de prendre, pour la direction A, la droite 3 ellemême; or, les points où elle perce les plans (aj3)(l, 3. 4) sont les mêmes que ceux où elle rencontre l'hyperboloïde (ajS, 1 , 4) et de même pour les

autres couples de plans et hyperbolui les ; par suite, pour un point de 3, on a Pt = Pu et, dans l'équation (4), la constante du second membie est Ct : c„. Donc, pour tout point M de Ss, on a Pt = Pu, ce qu'on peut énoncer de la manière suivante.

Si par un point M on mène une droite 6 parallèle à S; si cette droite coupe, en Pi. P,, ...jPs, les quatre couples de plans (a^':) (1, 3, 4), («p) (2, 3, 5), (a(3) 2, 6, 4), (ap) (1,6, 5), el en Q,, Q2, ..., Qs, les plans {a{'.) (2,3,4), (aj3)(l,3,5), («p)(l,6,4), {oi^){2,Q,h),Végalité

MP, . MPî . . MP8 = MQ, . MQ2 ... MQs caractérise les points de la surface Ss.

Quant au rôle spécial de la directrice 3, il provient du choix des directrices 4 et 5 comme axes de faisceaux et de la forme donnée au rapport anharmonique /; ces choix sont arbitraires et chaque directrice peut être amenée à jouer le rôle spécial de 3.

94. L'équation (4) montre évidemment que la surface Ss est du huitième ordre et admet a|3 comme droite sextuple.

Cette équation peut s'écrire

Ts — ^Us = 0.

Donc Ss appartient à un faisceau dont font partie les systèmes T, et Us; le plan tangent en un point M de Ss passe donc par l'intersection des plans polaires de M relatifs à Ts et Us et la construction de ces plans polaires se ramène à une série de problèmes du premier et du second degré.

Les éléments de la courbure de Ss en un point M dépendent des mêmes éléments de la quadrique polaire du point M relativement à la surface (*.). Mais les quadriques polaires d'un point par rapport aux surfaces d'un faisceau forment aussi un faisceau et la quadrique polaire d'un point d'une surface passe par ce point; donc la quadrique polaire de M relative à Ss est déterminée par M et par l'intersection d de ses quadriques polaires relatives aux systèmes Ts et Us (**").

(*) La propriété analogue pour les cubiques planes a été donnée par M. Demoulin, Sur diverses co iséquencea du théorème de Newton (Mém. Acad. roy. de Belgique, t. XLV). Pour le théorème général relatif aux courbes et surfaces, voir Servais, Sur la courbure des polaires (BuUet. id., 1891), Stuyvaert, Sur la courbure des lignes et de» surfaces (Mém. id., 1897).

(**) Comparer SiuYVABai, Problèmes de construction {Mathesis, 1899).

Donc, les éléments de la courbure de Sg dépendent d'une intersection de quadriques.

Les tangentes ioflexionnelles de Ss en M sont les génératrices rectilignes de sa quadriqne polaire, donc aussi les bisécantes de c* issues de M.

9&. On a vu, au début de ce chapitre, une construction géométrique donnant une représentation de Ss sur un plan. Dans la suite on a calculé les coordonnées d'un point de Sg en fonction de deux pararoètres 0) et /, ce qui fournit encore une représentation, mais différente de la première. Nous reprenons à présent cette seconde représentation.

La correspondance entre les a? et /, « se présentait sous ia forme de trois relations linéaires en x\ les deux premières étaient linéaires en À et cubiques en (ù, la troisième (a, -|- (>)!3x = 0) était linéaire en <«> et indépendante de /. Nous avons dit que Ton pouvait en tirer des valeurs des X proportionnelles à des fonctions du neuvième ordre, contenant X au carré et o) à la septième puissance, ce que nous indiquons par la notation conventionnelle

ca?, =/.(co^/').

Pour rendre ces fonctions homogènes, on peut poser par exemple

et les foiictions /seroLt du neuvième ordre, tout en ne renfermant ut qu'à 1% seconde puissance et U| qu'à la septième. Si ui, ui, uj sont les coordonnées homogènes d'un point d'un plan tt, les courbes fondamentales Ikffi, c'e^t à-dire les couibes images des sections planes de Si, oot un point septuple commun au sommet ui = -/.i = 0 du triangle de référence et un point double au sommet u» = pj = 0.

le point septuple correspond à la directrice 1 ou yd, car /«,, = y$ ^=0 rend / iuiicii et 'jt> indéterminé; or, si / est infini, les égalités (1) montrent que t =^ ii et l = lt et que le point M coïncide avec C. Le point double correspond à la conique génératrice du plan j3x, car, pour ui ^^ u» = 0, / est indéterminé et &> ou — a, : ^x infini.

Aux droites du plan tt passant par le point septuple correspondent les cot.iques génératrices, sauf pour la droite us =0 qui répond au seul point où yd perce le pian ^t. Aux droites du plan tt passant par le point double répondent, en gêcéral, les coarbes Ci. lieux des points M

correspondant à une même valeur de X; il y a exception pour la droite |c;i = 0 déjà citée et pour les droites f;ij = 0 et «» == ^s qui correspondent aux valeurs 0 et 1 du rapport anharraonique / et, par suite, qux directrices y'd' et -/"ô" de S».

En général, quand, sur le plan tt, les courbes fondamentales sont du neuvième ordre, la surface rt'présentée est du 81"; mais l'existence du point septuple et du point double communs, comptant pour 49-|- 4 == 53 intersections, réduit ce degré à 28; or, nous savons que \n surface représentée est du huitième ordre; donc les courbes fondamentales ont encore vingt points R communs, répondant à vingt droites de Sg; de plus, les droites joignait ces points R au point septuple répondent à vingt autres droites de Ss ; les quarante droites ainsi trouvées constituent les vingt coniques dégénérées {i-\-j) dont il a déjà été parlé.

Si les courbes fondamentales/ n'ont pas, en général, d'autres points singuliers que leurs points double et septuple, le genre de ces courbes est

puisque le point septuple compte pour 21 points doubles. Les sections planes de S» sont du même genre et, en effet, si Ss n'a pas d'autre ligne multiple que l'axe aj3, les sections planes du huitième ordre n'ont qu'un point sextuple sur aj3 et leur genre est

Mais il est évident, d'après la génération de Ss, que cette surface n'a pas d'autre ligne singulière que a|3, sinon les coniques génératrices auraient toutes un point singulier sur cette ligne; or, il n'y a que vingt coniques génératrices à point double.

*0. Par quoi sera représentée, sur le plan t:, la droite aj3 sextuple sur Ss ?

Appelons A> le point double. Bt le point septuple des courbes /sur le plan TT, Une conique génératrice répondant à la valeur Wi de w contient deux points Pi et P2 de a,3, poqr lesquels / prend des valeurs /|, /j; les points pi, P2, images de Pi, P2 sont à l'intersection d'une droite 67^1^2 ayant pour équation jw-i = «,17.3 avec deux droites A^fi, Kip-i ayant pour équations fj = ^iju-s et i:;2 = /2,"3. Les deux faisceaux (B7), (A2) sont tels qu'à un rayon dq premier répondent deux rayons du second, et ils engendrent une courbe, image de a|3; n^ais un rayon A2^ de (Aa) repré-

sente une courbe c? de la surface et ceiie-ci a six poitts sur xfi, c'est-àdire qu'un rayon du faisceau (A») répoiî4 4 Ç'x rayons â}i f^jsceau (Çt)} ces deux faisceaux engendrent donc une courbe du huitièrne degré r^. Elle pasiie évidemment par les vingt points fondamentaux simple^ fl. puisque ceux-ci représentent des droites qui rencontreLt a.^.

L'axe a/S a pour image, sur le plan r, tme courbe du huitième qrçire ayant un point double en A2, un point sextuple en B7 et passant par les vingt points R.

Comme vérification, remarquons qu'une courbe du 8« ordre de r représente, en général, sur Ss, une courbe d'ordre 8X9; mais comme Tg passe six fois par le point septuple, deux fois par le point double et une fois par 20 p')int8 simples, il y a, de ce chef, une réductitn totale de 6 X 7 -|- 2 X 2 -f- 20 = 66 et la courbe représentée est du degré 72 — 66 = 6, ce qui correspond à l'ordre de multiplicité de a(3.

*7. De même, quelle est l'image des directrices 4 et 5 ?

Les points fondamentaux R représentent des droites de Ss dont t^us les points correspondent à la même valeur du rapport anharraoniqije ^, ce qui peut arriver, 1° pour les trois couples de droites i et \e coupjp cje droites / rencontrant 4 et 5, 2° pour les trois couples de droites / rencontrant 4 et les trois couples de droites y rencontrant 5. Les directrices 4 (Bt 5 jouent des rôles identiques dans toute la théorie; leiir? courbes images sot.t donc du même degré x. Ces courbes admettent, pour pojnts communs simples, le point A* (car la conique représentée par A; rencontre 4 et 5) et les huit points R représentant des droites 1 et/ qui rencontrent à la fois 4 et 5. Chacune passe encore par six autres p.iints R, et rencontre une seule fois un rayon mené par B7 et représentant une conique génératrice, de sorte que B7 est un point [x — 1)'''* pour ces deux courbes. Enfin, comme 4 et 5 ne se rencontrent pas, leurs courbes images ne peuvent se couper qu'en des points fondamentaux, donc on a

{x — \y-\-9==x\ d'où x = o.

Chacune des directrices 4 et o est représentée, sur le plan tt, par une courbe T^ du cinquième ordre, ayant Bj pour point quadruple, A, pour point simple et passant par 14 points R.

S8. Pour vérifier le résultat précédent, cherchons l'ordre de la courbe représentée par Ts; les courbes fondamentales étant du 9* degré,

uue courbe du 5* ordre représente, en général, une ligne du 45* on^re; mais r» ayant un point quadruple au point septufile des courbes A un point sinaple au point double des / et passant encote une fois par 14 points R, il y a, de ce chef, une réduction totale de 4 X "^-f- 2 X ^ -j- 14 = 44 unités et Ts représente une ligne d'ordre 45 - 44 = 1 .

Voici une autre vérification : la directrice 4 ne rencontrant pas «,5, les courbes T^ et Ta ne peuvent se couper qu'en des points f^ntlaraen taux, et l'on a effectivement

La connaissance des courbes fs images des directrices 4 et 5 nous fournit une conséquence curieuse.

Un rayon par A, coupe, en général, en quatre points (non fondamentaux), la courbe l'g. Donc toutes les courbes c? de la surface Ss fcdm. iteni les directrices 4 et 5 comme quadrisécantes.

Par suite, il y a quatre coniques dont le plan paisse par «p et qui reposent sur les directrices 1, 2, 3, 4, 5, de telle façon que le rapport anharmonique de leurs points d'appui sur 1, 2, 3, 4 soit égal à un nombre donné. Or, si l'on regarde 5 comme une droite '[utlconque do l'espace, on a donc ce théorème :

Les coniques dont le plan passe par cf.{i) et qui rencontrent quatre directrices rectilignes en des points dont le rapport anharmonique est donné engendrent une surface du quatrième ordre ayant a.{6 comme droite double [*).

99. Par le point sextuple d'uLC section plane de Ss, on peut mei.er, en général, 14 tangentes t à cette courbe, «yant leur contact D ailleuis qu'au point singulier; le plan mené par t et «JS contient une conique génératrice C2 ayant deux points coïncidents en D, donc tangente au plan ^ de la section considérée, à moins que D ne soit un point double de C2. Réciproquement, s-i €2 touche ^ en D, sa tangente t eu D rencontre la section plane de Ss par ^ en deux points coïncidents en D; donc ^est tangente à cette section plane.

Ainsi, tout plan gui ne passe pas par un des vingt points (g) est tangent à quatorze coniques génératrices.

(•> Ceci est un commencement de solution d'une question que nous a posée M. Servais.

En particulier, si aucune droite i n'est parallèle à la droite j correspondante, il y a quatorze paraboles parmi les coniques génératrices de Ss

Il en résulte aussi que les tangentes à Ss issues d'un point P de afj formeiit un cô:.e du 14' ordre, puisque tout plan mené par P contient quatorze de ces tangentes ; la droite a.'^ est multiple d'ordre 12 sur ce côae, puisque tout plan mené par a.^ ne contient, outre a(3, que deux tangentes de P à Sg.

On [leut conjecturer par là qu'il doit y avoir douze coniques généiatrices de Ss tangentes à «3. La conjecture est vérifiée par ce fait que, sur le plan r, la courbe r», image de a,6, qui a un point sextuple en B7 et un point double en A* a douze tangentes issues de B7 et ces douze tangentes représentent autant de coniques génératrices tangentes à a(3.

Si donc on imagine un système de coniques reposant sur quatre droites 1, 2, 3, 4 et touchai. t une cinquième droite a|3, on obtient une surface qui est rencontrée douze fois par une droite 5 quelconque; un plan par ajS coupe cette surface suivant l'axe aj3 et deux coniques génératrices. On a donc ce théorème :

La sur/ace engendrée par une conique s appuyant sur quatre droites et en touchant une cinquième est du douzième ordre et admet la cinquième droite comme ligne multiyle d'ordre 8.

30. Les nombres caractéristiques trouvés au n° précédent, pour Ss, se véririent encore si l'on applique, à cette surface, la théorie générale des singularités, théorie exposée par Salmon et, pour le cas d'une droite multiple, par Zeuthen(*).

Mais, avant d'utiliser les formules de ces auteurs, il faut voir si Ss u'a pas d'autres singularités ponctuelles que sa droite sextuple. Lps seuls points pour lesquels il peut y avoir doute sont les points doubles des coniques dégénérées (i-\-j).

Soit E le point commun à une droite i qui s'appuie sur tx^, 1, 3, 4 et à la droite correspondante y qui passe par les traces de 2 et 5 sur le plan (a3, t). Remontons à l'équation (4),

Us [(a,3) [2, 3, 4 ,] [ a/3) (1 , 3, 5;] (a|3, 1, 4) (a[ô, 2, 5) "" °°"' *" ^•

(•) .'-ALMON, Trattt' de géométr.e analytique à 3 dtmtnnom, lll" partie. — Zkuthk.n, iïtcAtrcAe lies singularités qui ont rapporta une droite multiple d'une surface (Math. Ann., t. lY;.

Le point E est sur un des plans [(a3) (1,3,4)]; mais romrac il n'annule, eénéralement, aucun ^lutre facteur f|u numérateur, E est un pojnt simple dfl la surface Tg Or, E se trouve sur les deux hyperboloïde? (a3, I, 4), (a3, 2, 5j; c'est donc un point double de Us- Si donc E avait pour coordonnées a;^ = arj = a?» = 0. le terme en ce] marquerait dans Tg, mais npn le terme en xl; au contraire, dans Ug, les termes en x] et x] seraient nuls; donc, à moins que la constante du second membre ne soit infinie, ce qui n'a pas lieu en général, les termes en x] ne se détriiiraient pas et E est un point simple de S'a.

Ainsi la surface Ss a >^ droite septuple comme seule gingulariîé. Or, les formules de Salmon et Zeuthen, trop longues à repnduire ici, donnent, pour une surface du huitième ordre à droite sextuple, les lésultats suivants :

La surface est de classe 52; une section plane quelconque est de classe 26 et a 240 tangentes doubles et 54 inflpxïons; tm cône circonscrit quelconque est de V ordre 26 et a 200 génératrices doubles et 66 génératrices cuspidalfs; un cône ayant son sommet sur a6 se compose de cet axe compté deux fois et d'un cône résidu de l'ordre 14. de la classe 50, ayant aJp comme arête 12p'*; il y a vingt points sur a3 teU que deux des coniques génératrices qui y passent coïncident, etc.

St. M. Weyr, dans le mémoire cité précédemment, considère la surface la plus générale engendrée par des copiquep. 11 établit géonap^riqueraent que la développable circonscrite à cette surface le long d'une conique génératrice est de classe 4, 3 ou 2, suivant que deux coniques génératrices consécutives ont 0, 1 ou 2 points communs. La fin de spn travail contient une démonstration analytique de ce théprèrae qui constitue une généralisation élégante de la propriété des plans tangents le long d'une génératrice d'une surface réglée. Dans cette démonstration analytique, la conique est représentée par deux équatioRS ep coordonnée^i-poinis ou par une équation tangentielle à diîcriminant nul. Le mémoire de M. Weyr contient en outre un grand nombre de propriétés et de constructions intéressantes.

Avant d'avoir lu ce travail, nous avions établi le théorème auquel il vient d'être f lit allusion et nous allons consigner ici notre raisonnement, parce qu'il s'applique à toutes les surfaces représentables sur un plan, quand les courbes fondamentales d*orde n ont en commun un point multiple d'ordre n — 2 plus un point double.

Nous avons représenté la surface S» par les équations

Un point x', infiniment voisin de x sur la conique génératrice Ct a pour coordonnées

Un point x", infiniment voisin de x sur la courbe c? a pour coordonnées

,i"fl?;.' = /, [(« + d(ù)\ }.'] = pxi + (f 0) ^ -f • • •

En faisant abstraction des infinioient petits d'ordre supérieur au premier, on a des points voisins de x sur les tangentes à c, et à Ci. et le plan de ces trois points, ou le plan tangent en ic à Ss a pour équation, les coordonnées courantes étant X<,

^ df df

d'A don

ou encore

dK df. aoi \

Les termes des deuxième, troisième, quatrième colonLe de ce déterminant sont respectivement de degré 1, 1 et 2 en /. Si l'on regarde co comme constant et / comme variable, l'équation du plan tangent en pn point mobile M de la conique génératrice d est fonction du quatrième degré de A et ce plan envelo^^pe une ûéveloppable de quatrième classe.

Par tout point X de l'espace, on peut mener quatre plans tangents à cette développable; ceux-ci contiendront chacun une tangente à c» et toucheront donc le cône de sommet X et de base C2.

Ainsi tout cône du S'xond ordre et par suite aussi toute quadrigue passant par une conique générairice de Ss touche la surface en quatre points de cette conique.

Cette propriété est une extension d'un théorème relatif aux surfaces réglées : tout plan mené par une génératrice rectiiigne toucbe 1^ surface en un point.

La démonstration qui précède montre aussi que la développable circonscrite est unicursale. De plus, si dans la dernière équation, on regarde lieg X< copame quatre paramètres arbitraires hoa^ogènes» oif 9k

1 equatiou d'une involution I*. Il était d'ailleurs évident géoméUMquement que les groupes de quatre points de Cj dont les plans tangenis concourent forment une telle involution, puisque trois points quelconques déterminent un point X commun à leurs plans tangents et, par suite, un quatrième point complétant le groupe. Remarquons erfin que cette involution a quatre groupes de quatre points coïncidents.

39. Dans l'étude de la surface Ss, nous avons supposé que les directrices et l'axe étaient des droites indépendantes.

Admettons maintenant qu'il n'en soit plus ainsi et voyons d'abord ce qui arrive quand il j a des poims conimuns à deux des directrices. D'après le Chapitre I, chacun de ces points communs réduit, en général, d'une unité, l'ordre de la surfuce.

F*our le vérifier, rappelons l'équation de Ss :

Ts^[«/3)(1,3.4)3 [(«/3) (2, 3. 5 ] (a/3^2^4Ka6,2, 5) ^^ ^^^^^^ Us [(a^) (2, 3, 4)] [(a/3) (1,3, 5)] (a/3,1, 4) (a^, 2,5) ''''"' '" ^'

Si les directrices 1 et 3 ont un point commun P, le l 'an (a/3, P) est à la fois un des plans (a/3) (1,3, 4) et un des plans (a8)(1.3, 5); les deux termes de la fraction ci-dessus ont donc un facteur linéaire commun et la surface Ss se décompose en un plan (a/3, P)et u e surface du septième ordre. Si les directrices 2 et 4 ont un point coumun Q, la quaHrique (a/3,2,4) dégénère en deux plans dont l'un est (a/S.Q) et celui-ci esl aussi un des plans (a/3) (2, 3, 4), donc il y a encore un facteur (a/3, Q) commun aux deux termes de la fract on, etc.

Cependant il y a une exception curieuse : si 'rois directrices 1, 2, 3, sor.t dans un même plan r, toutes les coniques génératrices se décomposôt.t en deux droites dont l'une décrit le système réglé (a|3, 4, 5) et l'autre le plan r.

Les cas des points communs à deux directrices ne sont pas les seuls à considérer; lorsque quatre directrices 1, 2, 3, 4 sont des rayons d'un même système réglé, les plans (a,3) (1, 3. 4) se confondent avec les plans (a/3) (1. 2. 4) et l'équation précédente indique, de ce chef, une réduction de deux unités dans l'ordre de la surface; si les cinq directrices sont des rayons d'un même système réglé, il est évident que la surface se confond avec la quadrique support de ce système.

Il se peut aussi que l'axe aJ{j ne soit pas indépendant des direcirices; nous remettons à plus tard l'examen du (as cù cet axe rencontre une

des directrices; tuais nous pouvoos constater ici que, si l'axe et trois directrices 1, 2, 4 sont des rayons d'un même système réglé, les quadriques («|3, 2, 4) et (a/3, 1, 4) sont identiques, ainsi que les couples de plans (aS) (2, 3, 4) et (aS; (1, 3, 4), ce qui donne une réduction de quatre unités au moins; et si l'axe est situé, avec les c;nq directrices (sans points conomuns) sur une même surface cubique, la surface Sg se réduii évidemment à celte surface cubique.

3S. Puisque nous avons rencontré la surfa< e générale du troisième ordre comme cas particulier de la surface Sg, nous (.ou vous esquiss r une représentation plane de la surface cubique qui soit une application de la méthode que nous avons exposée(*).

Prenons, sur la surface cubique ^-,, six droites sans points communs, apj 1, 2, 3, 4, 5. La surface est décrite par la conique reposant sur 1, 2, 3, 4, 5 et dont le plan «x-j- «Pj = 0 tourne aatoar de ap. Un point M de i-, est déterminé par le paramètre w et le rapport anhnrmonique / de M et des. points d'appui de U conique génératrice sur 1, 2, 3. Posons, comme précédemment,

ffri - ^

Sur le plan t:, les coaibas fondamentales d'ordre x auront un point {x — 2)p" en B (yi = ju,-, = 0>, puisque les droites mei ées par ce point doivent représenter les coniques génératrices Cj. Le point A (y.|=uj=0) représente la conique Px et comme eelle-ci coupe deux fois toutes les sections planes de ^5, A doit être un point doable des courbes fondamentales. Les sections planes sont de genre. 1; il doit en être de même des coarbes tbndati.entales; or, celles-ci ont un point double et un point {x — 2)P'% donc

d'où j; = 4. Ainsi les c-urbes fondamentales sont du quatrième degré à deux points doubles ; l'ordre de la surface repré.'^entée est, y étant la nombre des points fondamentaux simples R,

4X4-2X "^-2X2-^ = 3, d'où y = 5. Donc il y a cinq coniques Cj dégénérées, ou la droite «(3 est rencontrée par 10 des 27 droites de Ist cô qui est connu.

(•) Cette idée nous est suggérée par M. Servais.

Les courbes fondameutaleé pëuVeni dégénéret', de deux manières, en une cubique et une droite : d'abord, là droite peut passer par B et réprésenter une conique C2, tàmiis que la cubique passera par les cinq points R et par B et aura A pour point double; cette cubique représente donc ft{3; — ou bien la droite peut passer par A et représenter une conique y, lieu des points M de même rapport anhàrmonique sur les coniques C2; la cubique a alors B pour point double, A et les R pour points simples et elle représente une droite de 2j, autre que «6, 1, 2, 3, 4, 5 et ne rencontrant pas a/3; cette droite est dans le plan de toutes les coniques y».

Ainsi, les coniques d'une surface du troisième ordre situées dans un faisceau de plans reticontrent trois droites de la surface en des ternes de points. Le lieu d'un point M de ces coniques formant, avec ce terne, un rapport anhàrmonique constant est une autre conique dont le plan passe par une droite fixe de la surface.

Nous ne poursuivrons pas ici cette étude qui nous entraînerait hors de notre sujet.

34. Nous avons vu que la surface Ss la plus générale comprend quatorze coniques géuératrices tangentes à un plan donné ^, pourvu que ce plan ne passe pas par un point double d'une conique génératrice. Donc léil coniques dont le plan passe par ap, qui s'appuient siar quatre droites 1, 2, 3, 4 et qui touchent un plan ^ efagendrent une surface S|«, dli 14» ordre (puisqu'elle rencontre, en 14 points, une droite quelconque 5). Tout plan par a'fi contient deux coniques génératrices, de sorte que aj3 éfet Une droite décuplé dé iS,,. D'aprëà sa définition, cette surface toUché le plan ^ en tous les points où elle le rencontre et le lieu Hes contacts est une courbe du septième ordre à point quintuple sur a|3. Ce fait peut encore être vérifié par d'autres mcjens; ainsi, toute droite menée dans le plan ^ et rencontrant «3 détermine un plan passant par a|3, touche deux coniques génératrices et contient donc deux couples de points coïncidents de Si»; ou encore, la surface S» étudiée précédemment touche sur la directrice 5, un plan /) mené par cette droite, en sept points, car ce plan yj coupe Ss suivant la droite 5j plus une courbe du septième ordre.

Les coniques dont le plan passe par un axe, qui s'appuient sur quatre droites et qui touchent un plan engendrent une turf ace du 14" ordre ayant

V axe pour droite décuple et touchant îè plan donné le long d'une céurhè du septième ordre.

33. Appliquons le théorème du n* 17, au cas de quatre directiices itctilignes I, 2, 3, 4, plus une conique^» rencontrée une fois par chaque conique génératrice d ; nous obienon» une surface Sic du îeirième ordre ajant a|3 pour droite 12^'^.

Soit fi le plan de ia conique g^ et 0 le point où il coupe a3. Menons, par 0, dans le plau /;, une droite quelcoi que couparii g^ en A et B. Les coniques gétératrices déterminées par A et B coupent encore AB, lespeciiveoient en A' et B' et ces derniers points décrivei.t, dans le plan •/;, une courbe ou un système d'ordre 16 — 2 = 14, coupant g^ en 28 points. Ceux-ci répondent à des coïncidences de A ou B avec A' ou B'. Or, les coïucidences de points A et A' (ou B et B'j appartiennent à des coniques Co touchàrit y,; d'après le n* précétienr. ces courbes marquent, sur/;, une ligne du septième ordre rencontrant gz en 14 points. Restent 14 coïucidences de points A avec B' ou B avec A'; mais si A se cotifond avec B', les deux coniques e> situées dans lé plan (aiS, AB) se confondent et B coïncide avec A'; donc les 14 coïncidences de points A et B' ou B et A' sont, deux à deux, sur sept droiies issues de 0. Ainsi Sie, outre sa droite 12?'", a 7 coniques doubles; à la vérité, elie a encore deux autres coniques doubles, pour les coïucidences de poims A et B, ou pour les tangentes de g% issues de O, mais ces deux dernières coniques sont étrangères à ce qui va suivre, parce qu'elles ne répondent pas à des points doubles de la section de Si^ par le plan y\.

D'après cela, il j a sept coniques d qui rencontrent une fois ch'Cune des directrices 1, 2, 3, deux fois ia courbe gt et qui rencontrent une droite quelconque 4. JDunc ou peut énuiicer le résultat suivant, conforme au n" 12.

Les coniques dont le plan passe par un axe aj3, qui coupent deux foi* une conique donnée et s'appuient sur trois droites données engendrent une surjace du septième ordre ayant «,3 comme droite quintuple.

3tt. La surface S? définie ci-dessus peut-être traitée par une méthode analogue à celle du u** 20. Pour plus de clarté, nous choisirons d'abord un téiraèdre de référence spécial : l'arête Xi ==' Xî = 0 sera l'aie ap, «■X et /3x Seront rempacés par Xi et Xs ; nous Sup^ioserons que ces deux pians touchent la conique direcirice gt située dans la face â;4 = 0; enûa

la f-tce x-i passera par les points ao contact de ^2 avec Xt et Xi. La c unique ^2 peut alors éire représentée par les équations

x^ \ x-r- X; : Xi = ^^.'. Q : \ : 0. Un plan Xt = oiXs pas.-ant par l'axe cou|>e ^j en deux points Ni et N2 dont les paramètres sont respectivement -f- |/(w et — j/o). Joiguons ces points au sommet A {Xi '^X2 = Xi = 0) du tétraèdre et utilisons ces deux droites (variables a^ec co) comme nous avons (n" 20) utilisé les directrices 4 et 5. Nous avions trouvé une équation

(eyo«) -j- kl (^yôa) + co (ey5|3) -f A.ro (q-y^/S) = 0 qui se transforme à présent de la manié e suivante : t.c et 9^ deviennent a;, = 0 et a7i = -\-[/m Xt ; le déterminant {':{'y^a,) se réduit donc à

73 Oi

= 4-i/wy,-,»,

^ij repiésentant les coordonnées pluckériennts de la directrice yo ou 1. On trouve de même

{eyda)= — qa, {ey$^) = gtn ((p'/fîiS) = ^42 — l/w^i4.

Par suite, kt est le quotient de deux fonctions de w, la première est rationnelle et linéaire en w, la sec nde, (a<y(5a) -j- w (tpy^p) est le produit de [Xoà par un poljnôme complet, du second degré en )/w; donc Ail/w, Ajl/co, h{/m sont des rapports de fonctions quadratiques de l/^w;

l/w Fi

L'une des équations (1) du n" 20 devie.-t

V^/wF, |/wF,/V^cÔF;

coa?j

^/w F2 l/co Fj ou encore, en remplaçant Xi par wa?j, (5) (AF, — /,F,) (Aw a?» — A |/» ^2 — fl>4 j/^ F2)

= l (/îF» — /sFî) (A w a?3 — /i j/w Xt — a;, ^/ô) F,) .

La geconde équation ne diffère de celle-ci que par la substitution de -\-\X(ù à — p/w, car les droites AN| et ANj ne diffèrent que par le signe de ce radical. Au reste, les deux équations peuvent d'abord être débarassées du facteur p/w et alors elles sont licéaires en XitH^st^*, linéaires en 1 et du septième ordre en iXco.

Par addition, les termes en (^/&j)*'+' disparaissent, et on a une relation rationnelle et cubique en co; par soustraction, les termes en (|X<i>)'' disparaissent et Von peut diviser par l/w, ce qui donne encore une relation rationnelle et cubique en co ; même les termes en Xj ne contiendront u qu'à la deuxième puissance. De ces deux égalités, on peut tirer a;i en fonction de À' et w*, x$ et x* en fonction de À* et co' et comme Xi = (ùXi, Xi sera fonction de /' et co".

Ainsi Ton aura une représentation plane de St et les courbes fondamentales, du 8* ordre, auront en commun un point sextuple, un point double et 17 points simples correspondant à 17 coniques dégénérées.

Cette représentation de S? pourrait donner lieu à des développements analogues à ceux que nous avons donnés pour la surface Sg. Nous ne les exposons pas (.our ne pas doqs répéter.

Nous ne donnons pas non plus l'équation de Sj, parce que le calcul est trop long. Il suffira de l'indiquer ; l'équation (5) débarassée du facteur j/aT peut s'écrire

U + 1/» V = / (U' + i/i^W'r, l'équation analogue est

on en déduit

UV' = U'V,

qui est entière et rationnelle en ut et où il suffit de remplacer ut par Xi : Xt pour avoir la relation cherchée.

St. Nous avons dit, en parlant de la surface Sg à cinq directrices rectilignes, qu'il fallait réserver le cas où l'axe aj8 rencontre une des directrices, la droite 5 par exemple, en un point 0. Le problème est alors le suivant : trouver la surface engendrée par une conique qui passe par un point fixe 0, qui s'appuie sur quatre directrices rectilignes et dont le plan passe par un axe fixe a|3, mené évidemment du point 0.

La méthode employée pour trouver l'équation de la surface Sa est

identiquement applicable et le résultat se simpliâe comme il suit. La

relation (4),

[(a/3) (1,3, 4)1 [(g^) (2, 3, 5)] (g^, 2, 4) fa/3, 1,5) ^^^^^ ^^^ [(a/3) (2, 3, 4)] [(a/3) (l, 3, 5)] (a/3, 1, 4) (a/3, 2, 5) ^ ''''°' ''° ^

représente la surface cherchée; mais le couple de plans [(a/3) (2, 3, 5)] se compose du plan (a/3, 5) et du plan (a/3, 0, 2, 3) contenant la droite issue de 0 qui s'appuie sur les directrices 2 et 3 ; on a de même [(a/3) (1,3, 5)] = (a/3, 5) X {ocB, 0. 1, 3);

la quadrique (a/3, 1, 5) dégénère en deux plans, savoir (a/3, 5) et (0, 1); de même (a/3, 2, 5) = (a/3, 5) X (0» 2;. Les deux termes de la fraction ci -dessus contiennent le facteur (a/3, 5)* et, après suppression de ce facteur, il reste une équation du sixième degré

Les conséquences que l'on pourrait tirer de cette forme sont analogues à celles que l'on a déduites de l'équation de Ss. Enonçons quelques résultats :

Les coniques passant par un point flxe^ s* appuyant sur quatre directrices rectilignes et dont le plan tourne autour d'un axe fixe engendrent une surface du sixième ordre Sa ayant l'axe comme droite quadruple et le point fixe comme point quintuple. S« peut être considérée comme le lieu des points d'égale puissance par rapport à deux systèmes formés chacun d'une quadrique et de quatre plans. Quatorze coniques génératrices dégénèrent en deux droites. Dix coniques sont des paraboles. La développable circonscrite le long d'une génératrice est de troisième classe. Etc.

S8. Nous avons rencontré précédemment une surface Sie à cinq directrices dont quatre droites et une conique rencontrée une fois par chaque génératrice ; si cette conique rencontre l'axe en un point 0, la «urface St* se décompose en une surface du sixième ordre dont les coniques génératrices passent par 0, plus une surface Sio engendrée par des courbes Ca reposant sur les quatre droites et sur la conique directrice en un point autre que 0.

Voici encore d'autres figures décrites par des coniques. En partant de la surface Se du n° précédent et en appliquant les raisonnements des qo* 17, 33, 34 on trouve les résultats suivants.

Si les coniques passant par un point âxe 0 de l'axe, rencontrent trois droites et une conique, cbacaoe une fois, la surface est du douzième ordre, avec a3 comme droite octuple et 0 comme point décuple. Si elles reposent sur trois droites et touchent un plan, la surface est du dixième ordre avec Taxe pour droite sextuple et 0 pour point octuple. Si elles reposent sur deux droites et rencontrent deux fois une conique, la surface est du cinquième ordre avec l'axe pour droite triple et 0 pour point quadruple.

99. Si dans la surface Ss à cinq directrices rectilignes 1, 2, 3, 4, 5, les directrices 4 et 5 rencontrent l'axe respectivement en 0 et 0', toutes les coniques génératrices passent par ces deux points. Pourtant la méthode employée pour étudier la surface Sa peut être appliquée inté* gralement et le résultat subit deux fois la réduction que nous avons trouvée au n* 37 pour la surface Sa.

Ainsi, toutgg les coniques passant par deux points fixes 0 et 0' et s' appuyant sur trois droites 1,2,3, engendrent une surface du quatrième ordre S* ayant la droite 00' pour droite double et les points 0 et 0' pour points triples.

L'équation de S4 est de la forme

(a;3, 0. 1, 3) (a/3, 0', 2, 3) (0. 2) (C, 1) =<^°^^^«te.

L'application de nos méthodes précédentes à cette surface S4 fournit encore les propriétés suivantes.

Le lieu d'un point M de S4 qui forme un rapport anharmonique constant avec les points d'appui de la conique génératrice sur les trois directrices est une cubique gauche c% admettant ajS comme bisécante. Les coniques génératrices marquent, 3ur ces courbes d, des ponctuelles pfojectives, et inversement. Par chaque point triple de S*, il passe six droites de la surface, autres que l'axe. Parmi les coniques génératrices, il y a six paraboles, etc.

4©. Si deux directrices 2, 3 de la surface S4 ont un point commun, la surface n'est plus que du troisième ordre (S») et a deux points doubles 0 et 0'. Outre la droite 00', il ne passe plus, par chacun de ces points, que quatre droites de 85.

' La surface cubique la plus générale a 27 droites, mais toute droite passant par un point double compte double et une droite joignant deux points doubles compte quadruple.

La surface cubique à deux points doubles, 0 et 0', la plus générale a quatre droites par chacun des points 0 et 0', outre la droite 00' (n" 16); soient m, n, p trois droites par 0; la section de la surface par chacun des plans fnn et mp se complète par une droite ^, r; les rayons ^ et r ne se rencontrent pas et ne coupent pas 00'. Les plans menés par q coupent la surface suivant des coniques; de ces coniques, cinq dégénèrent en deux droites, savoir deux coïncidentes à point double en 0, deux coïncidentes à point double en 0' et une cinquième s-\-t; une des droites s et t, par exemple s, rencontre 00' et toutes les droites telles que q et r, car une des coniques du faisceau (00') se compose (voir n* 16) de 00' et de la droite s; donc t ne rencontre ni 00' ni r, parce que quatre droites de la surface cubique ne peuvent pas être dans un plan.

Ainsi la surface cubique à deux points doubles la plus générale admet trois directrices rectilignes q, r, t, dont deux se coupent.

La sur face S, que nom rencontrons dans notre étude est donc la surface cubique à deux points doubles la plus générale.

Corollaire. Si l'on prend, par rapport à la surface S^ du n" précédent, la première polaire d'un point quelconque, on a la surface Sj ci-dessus.

Pour les surfaces S4 et Sj, deux coniques génératrices infiniment voisines ont deux points communs; donc la développable circonscrite le long d'une conique génératrice est de seconde classe. Les surfaces S» et S5 sont donc à la fois lieux de coniques et enveloppes de cônes du second ordre. M. Blutel a naturellement rencontré ces deux figures, dans le mémoire que nous avons cité et où il recherche toutes les surfaces susceptibles de cette double génération.

41. En appliquant les résultats des n" 17, 33, 34 à la surface S» du n" 39, on trouve les propriétés suivantes.

Les coniques passant par deux points fixes qui rencontrent, une fois chacune, deux droites et une conique, engendrent une surface du huitième ordre ayant les points fixes pour points sextuples et la droite qui les joint pour droite quadruple. Si elles s'appuient sur deux droites et touchent un plan, la surface est du sixième ordre, avec les points fixes pour points quadruples et l'axe pour droite double. Si elles

peneontrent une fois une droite et deux fois une conique y,, la iurfaoe est du troisième ordre à deux points doubles.

Dans ce dernier cas, la section par le plan de yt se complète par une droite d; en faisant tourner un plan autour de d, la section résidue sera généralement une conique et exceptionnellement un couple de droites concourantes; eu prenant ces droites pour directrices, on est ramené au cas du n* précédent.

La surface cubique obtenue ici est donc encore une fois la surface la plus générale à deux points doubles.