CHAPITRE III

Sur une gerbe linéaire de cubiques gauches.

49. Appelons gerle linéaire de cubiques gauches un ensemble de lignes du troisième ordre tel que, par tout point de l'espace, il passe une courbe de cet ensemble et une seule.

On connaît un certain nombre de systèmes pareils; leurs caractéristiques ont été étudiées par M. SturmW.

Deux de ces systèmes ont fait l'objet d'un examen plus approfondi : l'un, que nous appelons çerie de Reye se compose de toutes les cubiques gauches passant par cinq points (**) ; l'autre, que nous appellerons gerie de Sturm est l'ensemble des courbes du troisième ordre admettant, de la même manière, un même tétraèdre d'osculation(**^*).

A l'inverse de ce qui se présente pour les faisceaux de coniques, ces deux systèmes de cubiques gauches ne se déduisent pas l'un de l'autre par spécialisation. Bien plus, ils présentent des différences notables; aussi avons-nous recherché quel est, à défaut de filiation, le lien de parenté de ces deux gerbes. Le résultat de ces recherches sera exposé ci-après et peut se résumer de la manière suivante.

(•) R. Sturm, Frzeugnme, Elemeniar$yiteme u. Charahteristiken von cubtschen Raumzurven (Journ. f. Math , t. ^9). — id., Wettere Untenuckungen ilber cub. Maume. (ib., t. 8D). — id., Ueber hôh,ere NuUsysteme (Vlath. Ann , t. 28).

p») Th. Rbyb, Viber CurvenbUndel a*" Orinung (Zeitschr. f. Math. u.Phys., t. 13). — G. KôNiGS, Sur les cubiques gauches pasiant par cinq points d<jnnés (NouT. Ann. de Math. (3) II). — G. Humburt, Sur un complexe remarquable de coniques (Journ. de l'Ec. polyt., LXIV).

(♦**j R. iJTUBM, U^ber C$hineaUonen u. Correlttionen, welche, etc. (Math. Ann., t. ^6). — E. Heinrichs, Ueber den BUndel der/enigen kubischen Raumcurvenf roelche, etc. (Disj. Munster, 1887). — K. Dôhlemann, Zur Théorie de» Nuilsystems (Jahresber. d. Deutschea Math. Vereinig., t. 8). — M. Stdyvakrt, Notes sur les cubiques gauches (Bull, de l'Ac. roy. de Belgique, 1900).

Les gerbes de Reye et de Sturm sont des cas particuliers d'une gerbe plus générale G.

Cette circonstance justifie déjà, suivant nous, Tétude simultanée de ces systèmes. Un autre intérêt s'j ajoute; nous montrerons en effat que la gerbe G est susceptible d'une représentation analytique simple.

43. Si l'on désigne par flx, b^, ..., des formes quaternaires du premier degré, on sait que les équations Ox a'x a'g

représentent la cubique gauche la plus générale.

Les relations flx = 0, Jx = 0, ... représentent des plans que nous désignons respectivement par a, ô, ... La courbe définie par les équations (1) passe par le point A commun aux plans a, a\ a", et par le point B commun aux plans b, b\ ft"; elle admet les droites db, a'b\ a"b" comme bisécantes. Par hjpothèse, a, a' , a" ne passent pas par une même droite, non plus que h^b\b" \ et le système réglé défini par aJ, a'è', a"b" ne contient ni A, ni B.

Si, dans les relations (l), on multiplie les numérateurs par trois constantes a, a', a", les nouvelles égalités

a.ax a'a^ a"a'x

bx *x *x

représentent une autre cubique gauche.

Ces égalités représentent une gerbe linéaire de cubiques gauches, quand a, a', a." sont des paramètres variables.

En effet, les valeurs de ces paramètres sont déterminés quand on se donne un point x de la courbe.

Réciproquement, toutes les cubiques gauches passant par A et B, et admettant aô, a'b', a"h" comme bisécantes sont comprises dans le système (2), car une quelconque de ces courbes peut-être engendrée par trois faisceaux i-rojectifs de plans, ayant pour axes ab, a'b', a"b"; dans ces faisceaux, les plans a, a' a" doivent se correspondre, ainsi que b, b', b"; donc les équations de la projectivité peuvent s'écrire

aax — «Jx = 0, a'a'x — (àbâ = 0, a."a'J — oib'x = 0, a, a', a", étant déterminés par un troisième terne de plan» correspondants.

Ce raisonnement revient à dire que trois bisécantes et trois poiuts déterminent une cubique gauche, ce qui est connu; si l'on fait abstraction de l'un des trois points, on a un système doublenaent infini de courbes constituant ce que nous avons appelé la gerbe G.

La gerbe G est l'ensemble des cubiques gauches ayant en commun trois bisécantes et deux points.

44. Si les plans a, a' , b, b\ passent par un même point C, les courbes de la gerbe ont en commun trois points et trois bisécantes dont deux passent par un des points donnés.

Si en outre a, «", b, b" passent par un même point r>, les couibes ont en commun quatre points, plus deux bisécantes passant chacune par un des points donnés.

Si enfin les plans a' , a" , b', b" ont, eux aussi, un (>oint commun E, les cubiques considérées passent par les cinq points A, B, C, D, E et forment la gerbe de Reye.

Ainsi, la gerbe de Reye est un cas particulier de la gerbe G et est caractérisée par l'évanouissement des inrarianls

{aba'b'), {aba"b"), {a'b'a"b").

4&. D'autre part, si le plan b coïncide avec a' et le plan b' avec a" , on peut effectuer un changement de coordonnées et prendre pouitétraèdre de référence le tétraèdre aa'a"b"\ les équations (2) deviennent

a.X\ a'Xi a."Xi Xi Xi Xi

et, pour toutes les valeurs de a, a', a", elles représentent une cubique gauche osculant le plan X\, au point Xi Xj Xs, et y touchant XiXi, osculant de même le plan x^ au point x^x-^Xk et y touchant XiXx ; en d'autres termes, les cubiques du système admettent, de la même manière, un même tétraèdre d'osculation.

Donc, la gerbe de Sturm est un cas particulier de la gerbe G et se caractérise par les identités

a'x = àx, a'J, = b'x.

Remarquons toutefois que la gerbe G n'est pas la plus générale. On sait, en effet(*) que cinq bisécantes et un point, ou quatre bisécantes

(♦) Gremona, Note sur les cubiques gauches (Journ. f. Math t, 60).

et deux points, ou une bisécaute et cinq points déterminent une courbe du troisième ordre. Par suite, cinq bisécantes, ou quatre bisécantes et un point, ou une biâécante et quatre points déterminent one gerbe de cubiques; ces systèmes doivent être étudiés à part.

4G. Nous Dous occuperons à présent de la gerbe G et, pour nous conformer au titre du présent travail, nous donnerons une attention spéciale à quelques surfaces qui prennent naissance quand on soumet les courbes d de la gerbe à une condition supplémentaire.

Rattachons d'abord cette étude au chapitre précédent en rechercbant les courbes d qui dégénèrent en une droite d et une conique Cj. La courbe c^ ne peut avoir pour bisécantes deux des droites ab, a'h\ a"V ^ si ces droites sont sans point commun.

Donc, ou bien la conique Ci admet une des droites ab, a'b\ a"h" pour bisécante, ou bien elle les rencontre toutes trois une fois.

Dans le premier cas, la droite d passe par A (ou B) et s'appuie sur deux droites, par exemple a'h' , a"b'\ tandis que d est dans le plan (A, ai) et passe par A, ainsi que p^ les traces, sur ce plan, des droites a'b', a"h" y d\ les coniques qui satisfont à ces conditions forment six faisceaux dans les plans menés par A ou B et un des axes aJ, a'V , a"b"; à ces six faisceaux répondent les six droites issues de A et B et s'appujant sur deux des axes ab, a'b', a"h" .

Dans le second cas, les coniques Ci passent par A et B et s'appuient sur ab, a'b', a"b"\ d'après le chapitre II, elles engendrent une surface du quatrième ordre, tandis que les droites d correspondantes décrivent le système réglé admettant ab. a'b' , a"b" comme directrices. Chaque conique e^ coupe la quadrique support de ce système réglé en quatre points doit trois sont sur ab, a'b' , a"b"; par le quatrième il passe une droite d. Chaque droite d coupe la surface du quatrième ordre en quatre points, dont trois sont sur ab, a'b', a"b"; par le quatrième passa une conique c>.

Ainsi, les eubiqiug de la gerbe G qui dégénèrent en une droite et une conique forment deux systèmes : le premier comprend des coniques de six faisceaux répondant chacun à une droite unique; le second comprend les coniques génératrices tTune sur/ace du quatrième ordre et les rayons d'un système réglé accouplés un à un.

Le premier système comprend 18 cubiques dégénérant en trois

droites, puisque tout faisceau de coniques contient trois couples de droites.

Le second système comprend 7 cubiques dégénérant en trois droites, puisque la surface du quatrième ordre a 8 coniques réduites à des couples de droites; deux de ces droites coïncident avec AB, et répondent à une seule et même cubique dégénérée.

Une droite quelconque g de l'espace, sans relation particulière avec les éléments donnés, rencontre six cubiques dégénérées du premier système, sur la conique, car elle perce une fois le plan de chaque faisceau; la droite^ perce quatre fois la surface du quatrième ordre et deux fois l'hyperboloïde, donc elle rencontre quatre cubiques dégénérée! du second système sur la conique et deux sur la droite.

En résumé, une droite g de l'espace rencontre douze endigues dégénérées, dont dix sur la conique et deux sur la droite.