Exprimons que la cubique gauche représentée par

aux cn'a'x a."a'à hx h'x b'J

passe par un point {x^y -\- kz) d'une droite donnée ^z; nous aurons

aay -}- kxaz oL'a'y -|- ha/at a."a'y -f- ka."at hy-^kb, ^~h'y + kK "" by + hb'^ Donc la cubique de la gerbe G qui est déterminée par le point y ~\- kz, sera représentée par deux équations et ces équations résultent de l'élimination de a, ol'j a", entre les quatre égalités précédentes : voici ces résultantes.

bx («y -f- kai) bx (a'y + ka») b'J (d'y -|- ka'J) ax{by-\- kb,) "" a'xib'y -\- kb',) ^ a'x {b'y '+Wj *

En éliminant ^, on a l'équation de la surface engendrée par toutei les cubiques de la gerbe G qui s'appuient sur la droite yz.

Pour effectuer l'élimination de k, représentons par oo la valeur commuoe des trois derniers rapports; nous aurons la relation

bxtty -j- kbxttt Ojttxby kMUxbi = 0

et deux antres analogues. Multiplions par — w, ce qui donne

— ubxOy — k(>ibxCiz -\- oi^axby -}- Aw'ûa;^, = 0 et deux égalités analogues. Entre les six relations, linéaires (et non

homogènes) en Hf w, Aw, m", *o)% on peut éliminer ces cinq paramètres et l'on &

tatty hxdt dJby 0,^* j

5«a^ Vaa'% o'xlfy o!J>'i

Vxày Vxd'z «X J'y a'xVt

hxtty ixCli Cbxby

h'xtt'y l'ad'.

a'xh'y

ttxbz a'xh't

h'xa'y Vxd', a'xby a'îK Ainsi, les cubiques de la gerle G iiui rencontrent une droite donnée engendrent une surface Ta du sixième ordre.

48. L'application du théorème de Laplace sur les déterminants permet d'écrire l'équation de Te sous la forme suivante :

Te hU.Vj — U'.V, s I hxtty Ixtt^ Oxby I X I f>xa, axby axb» | — I batty bxaz dxbt I X I ^xtty axby axbx | = 0.

L'équation de T» peut résulter de l'élimination de A entre les équations de l'un ou l'autre des systèmes ci-après

Donc, la surface Te peut être engendrée, de deux manières, par deux faiiciaux projectifs de surfaces cubiques.

Ou encore, la surface Te appartient à un faisceau dont deux surfaces particulières dégénèrent chacune en an couple de surfaces cubiques.

49. Si une surface est représentée par l'évanouissement d'un déterminant à m lignes et si les coordonnées d'un point annulent les termes de k de ces lignes (ou de k colonnes), ce point est multiple de l'ordre k sur la surface. Prenons, en eflfet, le point considéré comme sommet (ari = rr2 = iPs =0) du tétraèdre de référence. Dana tout terme d'une ligne du déterminant qui s'annule, le degré en Xi , a;2, Xi est généralement Supérieur, d'une unité, au degré en a;». Or, chaque terme du déterminant développé contient h facteurs pris dans les lignes qui s'annulent. Donc, dans l'équation de la surface, le plus haut exposant de x^ est m — k.

Appliquons ce résultat : les coordonnées du point A, commun aux plans a, a\ a", annulent deux colonnes de V» et V'j, une colonne de U. et U'j.

Donc, les points A c/ B sont des points triples de la surface Ta,

De même, tout point commun aux plans a e>lh annule deux ligoeg du déterminant à six lignes que nous avons trouvé ci-dessus ; donc tout point de ab est un point double de T«; le même raisonnement s'applique aux droites a'b', a"b".

Les axes ab, a'b\ a" h" sont des droites doubles de la surface Te.

Les six droites issues de A ou B et s'appuyant sur deux des axes ab, a'b\ a"b" sont tout entières sur la surface Ta puisque chacune contient un point triple et deux points doubles. Au surplus ces six droites font partie, comme nous l'avons vu, de six cubiques dégénérées du premier système rencontrant yz. Quant à cette droite yz, elle est évidemment tout entière sur Te.

Une courbe quelconque c^/ d'ordre p, sans relation particulière avec les données rencontre Te en 6|«. points; donc il y a 6a cubiques de la gerbe s'appuyant à la fois sur la courbe C/x et sur la droite yi. On a donc les corollaires suivants.

Les cubiques de la gerbe G qui s'appuient sur une courbe d'ordre p engendrent une surface d'ordre Ç>fj..

Il y a six cubiques de la gerbe G qui rencontrent deux droites données.

50, Avant de poursuivre l'étude de la surface Te, déterminons la cubique de la gerbe G qui admet pour bisécante la droite yz; d'après un théorème connu, rappelé plus haut, on doit trouver une solution unique.

La suite proportionnelle

a.ax oi'a'x a."ax ^^««x b» b's b'J l'/bx

montre que les équations

où A, y, 1" sont trois paramètres arbitraires, représentent les bisécantes de la cubique.

Pour que l'une de ces bisécantes passe par deux points y et z, il faut que l'on ait

latty -j- >•'«'«» + y."a."ay = 0,

laa, + Vol' a', + l"a."a'^ = 0,

Uy -\-l'b'y -hl"by =0,

Ih^ +/'*'. +/"*;' =0.

Les deux dernières relations doDnent

}.:>::)/'=\b',b:\ :\b'^b..\: \b,b,\, et les deax premières

>a : ÀV : X"a" = 1 «^ «H • I K «• I : I «v «i | î d'où, par division,

, . „ I tfy < I . U,' «' I I «» < I ,,. a . a . a — ,—77 — rj-, • r-r,, — 7 — ; t ,—7 — rr^, • 1 / I *; *. ! I *, *. I I *r *. I

Donc, les équations de la cubique cherchée sont

«X I a' < I «x I a'' a» I «x | ûy «^ |

Reprenons à présent l'équation

de la surface engendrée par les cubiques de la gerbe G qui rencontrent j/z. Une des fonctions cubiques, par exemple

Us = I hxày ixûî «xJy I == bxb'Jf'^ \ Oy «, T" *» I '

Ox

dx «i a'x devient, quand on y remplace t ' T7 * tt, respectivement par

bx *x *x

I < «l' r I «v fl^ r I «» < r

I ay: 1 . 1 a;«, I . I «va; 1 X Uî =

à.b'j: \ aAa'/:) «.(<<) *»(*;*;)! .

Le dernier facteur du second membre est nul, car si l'on ajoute, terme à terme, les trois lignes^ on obtient les trois sommes identiquement nulles

\ Oy tty a. \ , \ a^ ay a^ \ f \ by àf bx \ .

Ainsi, tout point de la cubique de la gerbe G qui admet yz pour bisécante est situé sur la surface Uj = 0 et l'on vérifie de même que cette cubique appartient aux surfaces U3, Vj, V^.

La surface Tg a pour courbe double la cubique de la gerbe G qui admet la droite yz comme bisécante.

(*) Un cas exceptionnel sera examine au n* 63.

ftl. Si nous résumons les singularités de la surface Tg, nous lui trouvons trois droites doubles ab, a'b', a"b'\ une cubique double d et, sur celle-ci, deux points triples A et B.

Les sections planes sont, en général, des sextiques à six nœuds; pour les sections passant par A et B, il y a quatre points doubles et deux points triples, ce qui équivaut à dix nœuds et ces sections sont unicursales.

Mais la surface Tg est elle-même unicursale, et nous allons en donner une représentation plane assez simple.

D'abord, rien ne nous empêche de choisir, pour points p et z déterminant la droite yz, précisément les points d'appui de la cubique c» qui admet yz comme bisécante. Nous avons trouvé les équations d'une cubique de la gerbe G définie par le point y -{- kz de la droite yz :

a.iby + ib.) K{b; + &b:) a'Jib'J + kb'J) "'• Ces équations peuvent être remplacées par

bx (dy -j- iUz) = CàHx [by -\- Abx)

et deux autres analogues. On peut en tirer des valeurs de a?\, x^ Xs^ m* proportionnelles à des fonctions du sixième degré en k et (o, mais où ces deux paramètres n'entrent qu'à la troisième puissance. Posons

nous pourrons écrire symboliquement

Dans la représentation de la surface Te sur- un plan vr, ^i, ^2, ju,5 seront les coordonnées du point iJ-, image du point x, rapporté à an triangle de référence FGH, où GH, HF, FG ont respectivement pour équation p, =0, pa = 0, jm,| = 0.

&9. Disons un mot de cette représentation paramétrique. Nous appellerons courbes fondamentales dans le plan tt, les courbes images des sections planes de To. Elles sont du sixième ordre, et puisque (*, et H» ne figurent qu'au troisième degré, dans leurs équations, elles ont un point triple en F (fxa = fxj = 0) et en G (fxi =» |a,s == 0).

Pour que la surface représentée soit du sixième ordre, il faut que les courbes fondamentales se coupent en 36 — 6 = 30 points fixes; les

deux points triples commans comptent déjà pour 18 intersections; on doi" donc trouver encora 12 points fondamentaux.

Aux droites passant par G et représentées par ai : «,3 = 4= constante, répondent les cubiques gauches génératrices de Te. Mais celles de ces droites qui passent par un point fondamental autre que F et G correspondent à des coniques de Te; les 12 points fondamentaux autres que F et G représentent donc chacun une droite d'une des douze cubiques dégénérées de la surface. La droite GH ou jw-i = 0 répond à 1 = 0, donc à la cubique génératrice passant par le point y, ou, d'après notre hjpothèse à la cubique double de Te.

La droite GF ou uj = 0 répond à w == 00, ^ = 30 et ces valeurs ne peuvent être réalisées en général que pour le seul point A.

Vojons maintenant les diverses cubiques génératrices de Te qui

dégénèrent en une droite et une conique. Une de ces droites part de A

et s'appuie sur ah et a'b' ; c'est donc la droite aa' ; dans les équations

hs {ay + H-^ K («: + *<) ^ K (g; -f la':) ^ ^

a.ih + àk) «;(*; + **;) «:,'(*;' -f- Ai;')

qni représentent une cubique générfttrice de Te, si a, = 0 et a« = 0,

K on a a = 00 et il = — r^; l'image de la droite aa' sur le plan t: est

donc le point triple G lui-même ; la droite du plan tt représentée par ft ss jcti : Uî = — b'^ : hg répond donc à la conique qui, avec aa\ conititn* une cubique dégénérée de Te et coupe donc toutes les courbes fondamentales en deux points variables seulement; elle est donc tangente, en G, à toutes les courbes fondamentales. Il en est de même des droites images des coniques qui constitoent, avec a'a" et a"a, des cubiques dégénérées.

Quant aux droites bh\ h'b", b"by elles ont pour image, chacune un point situé sur le côté HF (uj = 0, co = 0).

Aux droites du plan tt qui passent par le point triple F, répondent des cubiques gauches de Te, autres que les cubiques génératrices. Nous 7 roTiendrons bientôt. Observons seulement ici les exceptions qui se présentent : la droite FH ou /uij = 0 donne w = 0 ce qui répond au point B ou à une des droites bb' , b'b" , b"b, représentées par trois points de FH ; nous avons déjà vu que FG représente le point A et les rajoni a*', a' a", a"a; quant à la droite menée par F et définie par fxs «s m, ou (0 s=3 1 , elle répond à la droite yz, car, si dans les équations précé- .

dentés, on fait xiE.y -^-Ttz, on a w = 1; par suite cette droite ju<2 = ft» contient deux points fondamentaux répondant aux droites de Te qui s'appuient sur flJ, a'b' , a"b", yz.

Enfin il y a, dans le plan tt, quatre points fondamentaux simples; ils représentent les droites appartenant aux cubiques dégénérées qui sont rencontrées par y^ sur leurs coniques.

En résumé, les courhet fondamentales du plan n ont en commun un point triple G et trois tatiçentes communes en ce point, plus un point triple F, plus neuf points communs sim^iles, dont trois alignés sur F et deux autres alignés sur F.

53. Nous venons de trouver sur Te, une seconde série de cubiques gauches c'^\ les courbes génératrices seront appelées c,.

Les courbes images de cl ont pour équation |w,2 : /as = w = const. ; chaque cubique C; est donc le lieu des points de même paramètre sur les cubiques génératrices.

Une courbe c'^ dans l'espace est représentée par les équations suivantes, où eo a une valeur particulière :

hxtty — (ùŒxby bledy — oia^bd b'Ja'y — om'xby bxttt — coflxft» b'xttt — (aa'xb', b'^a'^ — ^d'^b',' Les courbes c, ont donc ab, a'b\ a"b" pour bisécantes.

Dans la seconde série de cubiques (c,), trois courbes dégénèrent en trois droites, savoir : pour co = 1, la droite yz et les deux directrices du système réglé (aJ, a'b' , a"b'') qui rencontrent yz\ pour co == 0, les droites bb' , b'b", b"b; pour co = oo, les droites aa', a'a", a"a.

Quatre autres cubiques c\ se décomposent en une droite et une coni" que; les images de ces coniques sont les droites joignant F aux quatre derniers points fondamentaux trouvés.

54. Pour k constant et co variable, on a une cubique Cj génératrice de Te; donc les courbes de la première série sont aussi des lieux de points de même paramètre sur les courbes de la deuxième série.

Si l'on donne, à co, deux valeurs particulières co, et co», on détermine deux cubiques Cj'; aux mêmes valeurs du paramètre jj, répondent les intersections de ces courbes par les mêmes cubiques Ci\ mais les points répondant aux mêmes valeurs de k sont projetés de ab suivant les faisceaux de plans

bxdy — coi axby-\- k {bxa^ — wi axbi) == 0,

bxdy W2axby-\- k {bxas COîûa;^») = 0

et ces faisceaux sont projectifs. Doac toutes les courbes Cs marquent, sur deux courbes cl, des poociuelles projeciives.

Oa démontre de même que les cubiques c,' marquent, sur deux courbes Cs, des séries projeciives de points.

Ainsi, chacune des séries de cubiques gauches de T% marque, sur Us courbes de l'autre série, des ponctuelles projeciives.

5S. Une relation de la forme k(ù -\- ^k -{- yon -{- ^ = 0 établit une espèce de coliinéaiion entre les deux système >• de courbes c^ et Cj. Le lieu des points de rencontre des courbes homologues est une courbe de Te, dont l'image sur le plan - est une conique passant pur F et G; donc la courbe sur Te est en général du sixième ordre. M<iis cette courbe peut s'abaisser au cinqaiè:ne, au quatrième ou au troisième ordre, quand la conique image passe par un, deux ou trois points fondamentaux autres que F et G.

&6. Une bisécante de la cubique

b. [a, + ka.) ^ 3; (g; + ia[) ^ h'J (g'; + Aa';) a^iby-^Ab.) a',{bl-^Ab'J «-(è'J + iè';)

est représentée par les équations

2).ix (fly + *a.) = 0, 2/a. (by + kb,) = 0.

Si cette bisécante passe par un point fixe X, on a

l\b^iay-\-ka,) = 0, l/a^{by-\-kb,) = 0.

Ces deux dernières égalités donnent /, V. /." en fonctions, du second degré, de A; en partant ces fonctions dans les deux premières égalités, on obtient deux relations cubiques en k et linéaires en x; Téliminaiion de A donne une équation du sixiè ue ordre représentant le cône engendré par les bisécantes menées de X aux cubiques génératrices de la surface Te. On a donc la propriété :

Les cubiques de la gerbe G qui s'appuient sur une droite ji ont un système de bisécantes formant un complexe du sixième ordre.

&9. Après avoir étudié la surface Te, lieu des cubiques de la gerbe Q qui rencontrent une droite, il convient d'examin«r ce que devient cette surface dans les deux cas particuliers de la gerbe de Reje et de celle de Sturm.

Lorsque les trois bisécantes ab, a'b'^ a"b" sont dans un même plan C»

— soles cubiques passent par cinq points, et M. R^ye a démontré que celles de ces cubiques qui rencontrent une droite engendrent une surface du cinquième ordre. Il est naturel de conjecturer que Te se décompose alors en une surface T5 accompagnée du plan Ç.

La vérification analytique est pénible; on la simplifie par un choix convenable du tétraèdre de référence : les bisécantes ah. a'b' , a"b" deviendront les côtés de la face Xk = Q àe. ce tétraèdre; le point A sera le sommet opposé, et l'on peut toujours faire en sorte que les coordonnées de B soient égales (*). Dans ces conditions, il faut remplacer rtx, «i, a'x par a?i, X2, Xt et bx, bx^ b'x par Xi — Xi,, Xz — Xi^ Xs — a;». L'équation de la surface Te trouvée plus haut,

a dès lors pour premier membre

[ [Xi — Xi) yi {Xi — x^) Zi Xi {yi — j/',) | X

I {Xi — Xi) Zi Xi {yi — y,) Xi [Zi — z,)\ , i prenant les valeurs 1, 2, 3 dans les lignes successives des déterminants. On peut écrire l'expression précédente sous la forme

I XiVi XiZi Xi {yi - 2/4) I X 1 XiZi Xi [yi — y,) Xi {Zi — z,) |

-\-Xif{Xi,X2,Xi).

Le terme indépendant de x^ est égal à

x]x\xl\yi Zi yi — yi\y.\z, yi- y^ Zi~-Zi\ = x\x\xly,Zi \yi «. 1 | X | «* Vi — y* 1 I ou enfin, si, dans le dernier déterminant, on ajoute, à la seconde colonne, les termes de la troisième multipliés par ^4,

x\x\x\yiZ, \yi Zi 1 | '.

Mais, dans l'équation

le second membre ne diffère du premier que par l'interversion de y et 2 ; donc le terme indépendant de a?, est le même que dans le premier membre et la surface Te dégénère en une surface du cinquième ordre accompagnée du plan Xx. A la vérité, il faudrait voir encore si le terme en Xi ne s'annule pas; mais nous ne feroiiS pas ce calcul, qui ne peut que nous faire retrouver une proposition connue et plutôt étrangèie à notre sujet.

(*) C'est le système de coordonnées utilisé par M. Humbert {loc. cit.) pour la gerbe de Reye.

S'il s'agit de la gerhe de Sturm, il faut, d'après nos préliminaires, faire o, = 6x, o'j ^bî; la fonction UsVj devient alors

hxO-y bxdz Clxby

Kbg bxbi bjjf X b'xb'^ b'sb't b'jjb'g |

bxfiij aj}y a^bi b'Jbt bxb^ bxh'i b'X &ife'; bK

et le terme indépendant de bx s'obtient en faisant bx = 0, ce qui donne

axby

b'xbu b'Jbz

I 6x6» b'xb't

— (flx)* (6;)'6;'6,6.

Comme la fonction U'.V'j se déduit de UsVj par interversion de y et 2, le terme indépendant de 6x, dans i'équalion de Te, est iiientiqueinent nul; Te contient donc le facteur 6x et, par analogie, aus^i 6x; lea plans 6 et 6' écartés, il reste une surface du quatrième ordre eugeudrée par les cubiques de la gerbe de Sturm qui s'appuient sur une droite. Ce théorème est connu.

59. NoQS abordons la question des tangentes aux cubiques de la gerbe G. Celle de ces courbes qui passe par le point y a pour équations

ax6y a'fi'y a^by a^bx a'yb'x a'yb'x

Le réseau des hyperboloïdes circonscrits à cette courbe est représenté par l'équation suivante, /, //, À" étant des paramètres arbitraires,

j axby Uybx à\ =0.

Les pians tangents, en y. à ces quadriques sont représentés par la relation

I dxày ttyby / | + [ 0»^» «jJ* A | = 0,

ou encore par

I ax6y — Œybx Oyby / I = 0.

Bien qu'elle contienne trois paramètres i, /', /", cette équation représeute un simple faisceau de plans dont l'axe est représenté par

dxby Oybx a'Jb'y tt'yh'g Ù.'xh'y - CLyh'x

Oyhg

o'sK

Telles sont donc les équations de la tangente, en y, à la cubique de la gerbe G déterminée par ce même point y.

En y regardant les y conome variables, on a le lieu des contacts des tangentes menées aux cubiques de la gerbe et passant par un point fixe X.

59. Considérons, plus généralement, les équations m^ m'x îw'x

où les m représentent trois plans et les n trois quadriques. Elles définissant une courbe gaucha du septième ordre ^7,

En effet, si l'on égale le premier rapport successivement à chacun des deux autres, on obtient les équations de deux surfaces cubiques dont l'intersection est donc du neuviè'ne ordre. Mais les points d'une certaine conique C2 annulent les termes Wj,, »| du premier rapport et satisfont donc aux équations des deux surfaces cubiques sans égaler^ en général, les deux derniers rapports; l'intersection du neuvième ordre se compose donc de Ct et d'une courba du septième, k-t.

La théorie de cette courbe présente des analogies avec celle de la cubique gauche et nous espérons pou voir nous en occuper dans un travail ultérieur. Ici nous n'entrerons pas dans le détail de cette étude qui nous entraînerait loin de notre sujet.

Constatons seulement que chacun des trois rapports proposés peut être remplacé par un rapport de la forme

Unix : ^>wj, de sorte que la courbe h établit une projectivité entre une gerbe de plans m et un réseau de quadriques «*. Or, il paut arriver, dans des cas particuliers, que des quadriques de ce réseau dégénèrent en deux plans; alors la conique C\ se décompose en deux droites. Et même, si à une quadrique composée de deux plans, correspond, dans la gerbe (m), un plan passant par l'intersection des deux plans précédents, on se trouvera dans un cas plus spécial encore et la conique C2 se réduira à deux droites confondues. C'est précisément ce qui se présente dans les équations du n* précélent. que nous écrivons ici en intervertissant les y et les a?, de sorte que le point fixe est y et les coordonnées courantes Xi :

Cixhy ttyhx dxày Uy^x Clx by ttybx

ttx bx a'x b'x a'x b'î

Le plan représenté par chaque numérateur passe par l'intersection

des plans définis par le dénominateur. La courbe gauche que nous rencontrons dans la gerbe G, est donc un cas particulier de la courbe ki; elle est néanmoins encore du septième ordre, oi les axes ab, a'b', a"b" se coupent deux à deux, on a un cas plus particulier encore, relatif à la gerbe de Reye ; ce cas a été étudié avec soin par M. Humbbrt.

Ainsi, dans la gerbe G et dans la gerbe d*. Reye, le lieu des contacts des tangentes issues d'un point donné est une courbe gauche du septième ordre.

60. Le résultat se modifie dans la gerbe de Sturm. Si a'=i J, a"= b\ les équations du n" précédent deviennent

ttxby ûybx bxb'y byb'x . bxb'y — byb'x b'xb'y b'yb'x

Ux b'x bx VL

Elles représentent une biquadratique ; mais il faut en défalquer la droite bb' , dont les points annulent les termes du rapport moyen, sans égaler, en général, les rapports extrêmes du n" précédent. On retrouve ce théorème connu.

Dans la gerbe de Sturm, les cont&cts des tangentes issues d'un point dontU décrivent une cubique gauche.

Ol. Dans la gerbe G, on a trouvé une courbe «7, lieu des contacts des tangentes issues d'un point y. En faisant x = y, dans les équations de cette courbe, on les vérifie identiquement : c-, passe donc par y. Or, le cône qui projette une courbe du septième ordre d'un de ses points est, en général, du sixième degré. La même propriété est connue pour la gerbe de Reye.

Dans la gerbe G et dans la gerbe de la Reye, le complexe des tangentes est du sixième ordre.

G9. A la vérité, pour pouvoir affirmer cette dernière proposition, il faudrait établir que y n'est pas un point double de la courbe Ci. Nous pourrions faire cette démonstration qui n'est pas fort difficile, mais il nous paraît préférable de chercher directement l'équation du cône qui projette Ct du point y. Ceci se fait très simplement en remplaçant dans les équations de Ciy x par y -\- kx : nous aurons la relation

a^y -\- kaxby — fly Jy — kOybx

a,b, -\- k (flxby ■\- Qybx) + k*aj>x ~~

et deux autres analogues, entre lesquelles il faut éliminer i et co. On peut écrire la relation précédente comme il suit

A (acoby — ayix) — MŒyiy — Aco {uxhy + aybx) — k'aaxhx = 0.

Multiplions par k\ nous aurons, en tout, six relations linéaires et homogènes en k, A% co, Aw, A'co, A'w; l'élimination de ces quantités donne l'équation suivante du cône Te formé par les tangentes de la gerbe G passant par p :

Te^

cixby — aybj;

Uyby

cixby -f- agbx

ttxbx

ttxby — aybx

ttyby

ttxby + O'ybx

Uxbx

a'xb'y-a'yb'.

^yK

a'xKj -\- a'Jj'x

ttxb'x

a'xK^-a^b'x

a'xb'y-\-a',b:

a'xb'x

a'xby — a'y'b'J,

aïb'^^a'^b'^

a'xb'J

a'xby—a'y'b'x

axb'J-\-al'bx

(l'xb'x

Les coordonnées du point A annulent «x, a'xt (^'x et par suite la dernière colonne du déterminant; de plus elles rendent la première colonne identique, au signe près, à la quatrième; donc A est un point double et y Pi. une géné/airice double du cône Tq. Donc yA est tangente à deux cubiques de la gerbe, mais, pour chacune d'elles, le contact doit avoir lieu en A, car une lang^^nte en un point d'une cubique gauche ne peut plus rencontrer cette ligne ailleurs. Ainsi la droite yA rencontre c-i en deux points autres que^ et ces points coïncident en A, c'est-à-dire que yk touche c^ en A et que le cône Te a la droite y h. pour génératrice de rebroussement.

La même chose a lieu pour le point B.

Dans la gerbe G, le cône du complexe des tangentes ayant pour sommet un point quelconque a deux génératrices cuspidales passant par A. et B.

Il est bien évident que le même raisonnement s'applique aux cinq points de base d'une gerbe de Reye. Nous rencontrons ainsi ce théorème de M. SruRM, retrouvé plus tard par M. Humbert.

Dans la gerbe de Reye, le cône du complexe des tangentes ayant pour sommet un point quelconque a cinq génératrices cuspidales passant par les points de base de la gerbe.

63. Revenons à la gerbe G. Les faisceaux projectifs ax hx ai ,K

engendrent une quadrique passant par les droites àb, a'b', par les points A et B et (pour A = 1) par le point y.

Par ce point y on peut mener deux génératrices rectilignes de la quadrique : l'une est représentée par les équations précédentes où l'on fait A = 1; elle rencontre ab et a'b'; l'autre, de même système que ab et a'b', a pour équations

Ux a'x bx b'x

tty a'y by t'y

Appelons cette droite d; si pour un point particulier x de cette droite,

on a

ctx a'x bx b'x

dy a'y by b'g

on peut, dans le -déterminant Tg trouvé précédemment, remplacer flx, tt'x, bx, b'x par M«y, /x-a^, v&j, vb, et l'on remarque que les termes de la première et de la troisième ligne lont proportionnels, de même que les termes de la seconde et de la quatrième ligne.

Dans la gerbe G, le cône du complexe des tangentes ayant pour sommet un point j possède trois génératrices doubles d ; ce sont des rayons de systèmes réjlés passant tous trois par A, B, y et admettant respectivement pour rayons deux des droites ab, a'b', a"b".

Si deux de ces droites se rencontrent en un point C, le système réglé correspondant est un cône et la droite d passe par C; elle devient alors, comme on l'a vu au n" précédent, une génératrice cuspidale de Tç.

Le problème du n° 50 (trouver une cubique de la gerbe G qui admet

comme bisécante une droite donnée) est, en effet, indéterminé quand

la droite en question (jft) est la droite d ci-dessus, c'est-à-dire quand

on a

a, ai bs Jl

ay~a'y by~ b'y ou encore

\ay ai 1=0, |J, b:\=0.

Car alors a" est indéterminé, tandis que l'on a

Le» cubiques qui répondent à la question sont donc Cx I a'y K' I __a'x I a'y a, \ a"ax

h\b'y b':{~b'x\b'; b.\~~bT'

Elles sont toutes sur la quadrique représentée par l'égalité des deux premiers rapports et cette quadrique passe visiblement par A, B, ab, a'b' et éridemment par d, puisque celte droite est bisécante de toutes ces courbes.

Elles sont en outre chacune sur une quadrique du faisceau représenté par les deux derniers rapports {a." arbitraire); ce faisceau marque, sur d, une involution à deux points doubles correspondants à deux courbes de la gerbe qui touchent d.

04. Pour la gerbe de Sturm, nous avons vu que le lieu des contacts des tangentes issues d'un point y est une cubique et que les équations

aghy — %&a, hxh'y — hyhx^ bg^by — byhx b^by — b'„b'g

dx b'x . bg b'x

représentent cette courbe plus la droite bb'.

Le point y est sur la cubique et le cône qui la projette de y est du •econd ordre; tel est donc aussi l'ordre du complexe des tangentes.

On vérifie d'ailleurs facilement que les sommets du tétraèdre abb'b" sont sur la cubique gauche ci-dessus, quel que soit y.

Echangeons les x et les y dans les équations précédentes ; nous aurons les équations de la taugente, au point y, à la courbe de la gerbe qui passe par y :

O/gb^ — ay bx bx by — byb'x^ bx by — byb'x b'x by — by b'x

tty by by by

Ces relations peuvent s'écrire aussi :

by by~^by^ by by'^by Si la tangente perce les plans a, 6", b, b' respectivement en M, N, P, Q, le rapport anharmonique de ces quatre points est égal à celui des quatre plans,

n h" — Ci «x ttp C^r Oq

ou encore a : -i .

Or, les éqaations de la tangente donnent, puisque bp =0, b^ = 0,

flp

Uy by

et

r77 = -rr ; d ou

by by

ay by

et

*i=-^; d'où

by hy

fit finalement

On a donc le résultat suivant, d'ailleurs bien connu : Dans la gerb« de Sturm, le complexe des tangentes est un complexe tétraédral dont le rapport anliarmonique est 1/4.

Cft. Nous passons à une autre série de propriétés de la gerbe G. Nous avons vu que la courbe de cette gerbe déterminée par le point y a pour équations

aj) y a'xb'^ a'xb'y

aybx a'yb'x~^ a'yb'lf

Cherchons l'équation du cône circonscrit de sommet y; il suflSt de remplacer x par y-\-kx, puis d'éliminer k. Celte substitution donne la relation

flyô, -j- kaj)^ = û> (a,&, -\- kajb^ on encore

Oj,6, (1 — &>) + ka^by — k(ù a^bx = 0

et deux autres analogues. L'élimination de * et m donne

Cette équation représente le cône de sommet j circonscrit à la cubique de la gerbe qui passe par ce point y.

Elle exprime aussi qu'un point y d'une certaine courbe de la gerbe et un point x pris en dehors sont sur une même bisécante de cette courbe.

Donc si l'on y regarde les y comme variables, la relation précédente représente le lieu des points da rencontre des cubiques de la gerbe avec les bisécantes qu'on peut leur mener du point fixe x.

Echangeons les x et les y :

Lti bisécantes menées d'un point Jlxe j aux cubiques de la gerbe G rencontrent ces courbes sur une sur/ace du quatrième ordre T,.

66. Si on remplace x par les coordonnées de A (ou B), on annule deux colonnes du déterraiiiant ; donc A et B sont des points doubles de T4; on voit de même que les droites ab, a'b\ a"b" sont tout entières sur la surface,

La cubique de la gerbe déterminée par le point y est sur la surface T4, car les coordonnées de ses points rendent les termes des deux pre> mières colonnes du déterminant proportionnels.

Il est géométriquement évident que le point y est un point double de la surface T4, car une droite par y ne contient que deux autres points de T4; au surplus, si l'on fait x = y dans le déterminant précédent, les trois colonnes deviennent identiques, et l'on peut, par soustraction, obtenir deux colonnes de termes nuls.

Cherchons le cône des tangentes en y à T» ; posons x = y-\-hz\ le déterminant devient

I ttyby -\- kttiby ttyby -\- kttybz ttylhj -j- k {Uybi -\- ttihy) -j- A^ttife» | .

Le terme en k^ est

j I a.by ttyb, ayby I + I ttyby ttyb, ttybz + tt.by \ \

) + I a^by ttyby ttybi-^ttiby \ -j- | Uyby ttyby tt ^b , | '.

Le quatrième déterminant est nul; le second et le troisième se simplifient par soustraction de colonnes et l'un d'eux se détruit avec le premier; il reste

k^ I ttyby ttybz tt^by j

Or, pour z variable, cette expression égalée à zéro représente le cône de iommet y circonscrit à la cubique de la gerbe qui passe par y.

La sur/ace T, a le point y pour point double et le cône tangent en ce point est le cône perspectif à la cubique de la gerbe déterminée par ce

61. La première surface polaire de y relativement à T4 est une

surface cubique T3, lieu des conjugués du point y par rapport aux

cubiques de la gerbe G. Elle admet A et B comme points simples et y

comme point double et elle touche en y le même cône que la surface T*.

d Son équation s'obtient par l'application du symbole Ij/i- au determi-

nant T,, oo, succegsivfmmt, à chacune des colonnes de ce déterminant :

I «yèy aybx aj)x I 4" I '^^^î' ^»^'J ^'^"^ I

-|- j ttxby a^j a^hy \ -{- \ axb,j a^hx a^x \ ;

les deax derniers déterminaots sont nuls et les deux premiers donnent

Tj = I ajby — aj}x »y6y ax&x I

La courbe d lieu des contacts des tangentes issues de y se trouve sur Ti, car ses points rendent proportionnels les termes de la première et de la troisième colonne ; cette courbe Ci est d'ailleurs aussi sur la surface T». La tangente en y à la cubique de la gerbe passant par y est tout entière sur la surface Tj, car ses points rendent proportionnels les termes de la première et de la seconde colonne du déterminant Ts.

Le lieu des conjugués d'un point y par rapport aux cubiques de la gerbe G est une surface du troisième o'-dre, ayant le point y pour point double. Le cône des tangentes en y est perspectif à la cubique de la gerbe passant par y; la tatigente en y à cette cubique est toute entière sur la surface.

La seconde partie de cet énoncé nous est communiquée par M Ser*