VAIS

SS. On peut trouver, sous une autre forme, l'équation de la surface Ts : l'égalité aacb'x — <i'a'xhx=^0 et d-'ux analogues représentent trois quadriques circonscrites à une cubique variable

aflx a.'a'x a."a'x bx b'x b'x

de la gerbe G. Les plans polaires du point y relatifs à ces quadriques sont représentés par

a [a b'x -\- ax6^) — x' ^a'^bx + «xM = 0 et par deux relations analogues; le poiut x commun à ces trois plans est le conjugué de y; le lieu de ce point s'obtient par élimination de a, a', a" :

ayb'x -{- Uxb^ — {a'^bx -\- a'Jb^) 0

aJb^-\-aJ)'; 0 (a';&, 4- a^'ô,) =0.

a^'x -\- aj)'^ = 0 représente le plan polaire de y par rapport aux plans a et b'\ dédignons-le par 7r«2. Soient de même Tijf, tti , ; tt),, tti}, Uh, les

plans polaires de y par rapport aux couples de plans a'6", c"6; a'6, a"h' , ah" . On aura

T,zz

= 7ri27r2sTi'si — îri3Tr52Tr2i = 0.

TTlî 0 — 7:3,

La, surface Tj est donc le lieu des points dont les produits rfe,'> dis'ances à deux triples de plans, n,2, 7:25, ttsi et ttis, 7ri2, 7121, sont dans un rapport constant. Ce rapport est d'ailleurs déterminé par le point y, qui appartient, comme nous l'avons vu, à la surface.

De plus la surface T5 appartient à un faisceau dont deux surfaces particulières, 7:127:257:31 et 7:137:327:21 dégénèrent en trois plans. Le plan tangent en un point M de T5 passe par l'intersection des plans polaires de M relatifs aux deux tri[)les de plans ci-dessus.

La construction du plan tangent en un point de T5 esi linéaire.

Les éléments de la courbure de T3 en M défiendent des mêmes éléments de la quadrique polaire de M ; or, celle-ci passe par l'intersection des quadriques polaires oe M relativement aux deux angles trièdres 7ri2îr25^3i et 7:117:527:21 ; ces quadriques sont des cônes.

La construction des éléments de la courbure en un point de T5 dépend de l'intersection de d'iux cônes du second ordre.

Un plan de chacun des trièdres 7: coupe chaque plan de l'autre trièdre suivant une droite qui est tout entière sur Tj ; ceci donne neuf droites de cette surface.

Les surfaces analogues à T» et Tj, dans les gerbes de Reye et de Sturm sont aussi respectivement du quatrième et du troisième ordre. Ce fait est connu.

G9. Nous nous occuperons maintenant des plans tangents aux cubiques de la gerbe G Les relations

axhy — ayhx a'xh'y — a'yh'x a'^by — aybx

Uyby a'yby O^'yb'y

représentent, comme on l'a vu, la tatgente en y à la cubique de la gerbe qui passe par y. Les équations

ii":fh^i^ = o, 11 = 0

ttyby

représentent le faisceau des plans menés par cette tangente.

Pour qu'ua de ces plans passe par deux points i et z', il faut que la première des relations précédentes soit satisfaite pour x-=- 1 et a; = 2'. Ces substitutions nous donnent deux égalités qui, jointes à ^/ = 0, permettent d'éliminer l, l', l" . La résultante est

I a^^y — a/x' a-jby — ^yb,, tt J) ^ \ = 0.

Si l'on regarde y comme variable, on a le lieu des contacts des plans tangents menés de la droite 2z' aux courbr-s de la gerbe G.

Dans la gerbe G, le lieu des contacts des tangentes qui s' appuient sur une droite donnée est une surface du quatrième ordre U4.

Cette surfacd est évidemment engendrée aussi par une infinité simple de courbes Ci, lieux des contacts des tangentes qui passent par un point àezz'.

Son équation est satisfaite aussi pour

a-j\ — ayb,' ai>bl — a'^b',, a'.'.b^ — ol^b'^, Ces relations représentent, en apparence, une cubique gauche k^', mais, en posant y = z-\-kz', on vértfie, par un calcul facile, qu'elles sont satisfaites pour toutes les valeurs de A; donc la courbe k% dégénère en une droite zz' plus une conique ou un couple de droites. C'est ce dernier cas qui se réalise, car It a visiblement pour bisécantes ab. a'b' a"b" et ces droites, n'étant pas dans un même plan, ne peuvent être trois bisécantes d'une même conique.

Ainsi, la courbe &i se décompose en une droite zz' et deux droites réelles ou imaginaires s' appuyant à la fois sur ab, a'b', a"b", zz'.

On vérifie aussi que la surface U* passe par les points A et B et contient les droites ab, a'b', a"b" .

90. Le résultat du n** précédent subit ane rédaction dans le cas de la gerbe de Reye.

Faisons encore, comme au n° 57,

ax = Xi,a'x = Xi, ax=Xi, b^ = Xi ~ x^, b'x = Xi — Xi,bx = Xs — a;». L'équation de la surface U» devient

(i = 1.2, 3); ou encore

I yiZk — zty, ya'é — «iy* y< (y* — yO 1 = O-

Soustrayons, de la seconde colonne, les termes de la première multipliés par z'i : z«; les termes de la seconde colonne seront alori divisibles pary*; de sorte que, dans la gerbe de Rii/'-, la surface U4 sa décompose en un plan contenant les droites ab, a'b\ a"b'\ plus une surface du troisième ordre; car un calcul facile montra que le terme en yi de l'équation précédente n'est pas identiquement nul. Si l'on fait abstraction de ce plan yi, qui ne satisfait pas aux conditions géométriques du problème, on retrouve ce théorème connu :

Dans la gerbe de Reye, le lieu des contacts des plans tangents menés par une droite donnée est une surface du troisième ordre.

Dans le cas de la gerbe du Sturm, on doit faire a' ^.b, a"= h' et l'on voit facilement que l'équation de la surface U» se décompose en by = 0, 6y = 0 et une quadrique qui est alors le lieu cherché. Ce qui donne cet autre résultat coiiUU :

Dans la gerbe de Sturm, le lieu des contais des plans tangents menés par une droite donnée est une surface du second ordre.

9t. Si dans l'équation

I diby ttybi ttilby ttyb il ttyby \ = 0,

qui représente la surfa(;e U4 pour la gerbe G. on remplace y par z, les termes de la première colonne s'annulent, mais les termes des deux autres colonnes ne sont, en général, ni nuls ni proportionnels. Mais t est un point quelconque de la droite zz'] donc cette droite tout entière est située sur la surface U4 et en est une droite simple.

Une section de U4 par un plan tt contenant zz' se complète par une cubique, lieu des contacts du plan n avec les cubiques de la gerbe qui le touchent.

Par le même raisonnement, on montre que ce lieu est une conique dans le cas de la gerbe de Reye et une droite dans la gerbe de Sturm. On a ainsi ce théorème dont la seconde et la troisième partie sont connues.

Ze lieu des contacts d'un plan avec les cubiques de la gerbe qui le touchent est du troisième, du second ou du premier ordre, suivant qu'il s'agit de la gerbe G, de celle de Reye ou de celle de Sturm.

9 S. Cherchons à présent l'équation du plan osculateur en y à la

cabiqae Cs de la gerbe G qui est déterminée par le point y et dont les équations sont

Nous aroas trouvé que le faisceau des plans tangents en y est représenté par les relations

ajb — ah,

Entre la première de ces égalités et les équations de Cs, on peut éliminer les x et l'on obtiendra une relation du troisième degré en «; deux de ses racines sont égales au paramètre du point y et celui-ci est visiblement « = 1. Pour que les deux égalités écrites en dernier lieu représentent un plan osculateur, il faut donc que l'équation en m ait trois racines égales à l'uniré, ou. ce qui revient au même, que le produit de ses trois racines soit 1, ou enfin que le coeflSeient de &>^ et le terme indépendant de 0) aient une somme nulle.

Or, voici cette équation en o) résul1;^nt de l'élimination des x :

ajbi

aibf — oWyJ, a'tb'y — uAy^î a'/ J'y — wa'yi'/

Dans les lignes de ce déterminant, i prendra successivement les valeurs 1, 2. 3, 4. Le terme indépendant de a; et le coefficient de u* ayant une somme nulle, on doit avoir

fl,6y — Uybi

a,^}y a'ib'f a'ib't

^fl^y^-Oy^, My b'ta'y èiVy'Uo.

On simplifie le premier déterminant en retranchant, de la première coloune. les termes des trois autres divisés respectivement par dyb^f a'b' , a"b" ', on fait une opération analogue pour le second déterminant et Ton obtient

2lr^ aify a'ib'y a'.'ô»

2^ — bijUy h\cîy b'tO^

ou encore l\{baa'a") *;*'; + {àbh'h") «;«;'] + ViiVaa'a") V^b^ + {a'bh'b") a;'tf J 4- r'[(J"«a'a'0 */; + {a"bb'b") a^a\\ = 0.

Il ne reste plus qu'à éliminer/, V , l" entre cette équation de condition et les relations qui définissent le plan langent,

La résultante est

{laa'a") l'h'' + {ahb'h") a' a'' 1

ou encore

I aj>^ - a,b, [haa'a") a^ll'/' + [aWh") h^a/y^ a^h^ \ = 0.

Pour X variable, c'est Péqualion du plan osculateur cherché; pour X fixe et y variable, c'est l'équation du lieu des contacts des plans osculateurs menés à des courbes de la gerbe G et passant par le point fixe X.

Si d^un point ^xê, on mène des plans osculateurs aux cubiques de, la gerbe G, le lieu des poiiits d'osculalion est une sur/ace du septième ordre Ti.

93. Les points de T^ qui rendent proportionnels les termes de la première et de la troisième colonne constituent la courbe Ct, lieu des contacts des tangentes passant par x.

On voit que la surface T-, a les points A et B pour points doubles, X pour point simple; elle contient les droites ab, a'b' , a"b'\ dont les pointa annulent une ligne du déterminant T^ et les droites aa' , a'a'\ a" a, bb', b'b'\ b"b, dont les points annulent les termes d'un mineur du déterminant.

La surface T7 contient encore une certaine courbe c, dont les équations

{baa'a") b^b'^ + {abb'b") a'/^ = {b'aa'a", b'^b^ + (a'bb'b") a'^a^ -= {b"aa'a") b^b^ + {a"bb'b") a^a^ s'obtiennent en écrivant que les termes de la seconde et de la troisième colonne du déterminant T7 sont proportionnels.

Un point de cette courbe satisfait à l'équation de T7 quel que soit x; en d'autres mots, touies les surfaces T7 passent par cette courbe c, ou encore, en un point M de c, le plan osculateur à la cubique de la gerbe déterminée {)ar M est indéterminé.

Si l'on observe que {aa'a")i et (pb'b")i «ont respectivement les coor-

données de A et de B, les équations précédentes peuvent s'écrire symboliquement

b^b'yb'.j + a^a^ay = b'Jb'^hy + a'^i'ya^ = b'^^byb'y -{- a'^a,ay . Si l'on pose y = A -j- ^B, les membres de ces égalités deviennent tous trois

Donc ces relations représentent deux quadrlqaes ayant en commun la droite AB et dont l'intersection se comp ète par une cubique gauche. Les points de cette courbe ne peuvent définir des cubiques proprement dites de la gerbe G, car sinon leur plan osculateur serait déterminé. Ils doivent donc se trouver sur des courbes de la gerbe dégénérant en une droite et une conique.

Les plaus menés p^r la tangente à la conique au point où elle est rencoiitrée par la droite forment évidemment le seul faisceau dont chaque élément rencontre le sysième de la droite et de la conique en trois points coïncidents.

Mais on a vu au commencemei^t de ce chapitre que les cubiques dégénérées se composent des rayons s appuyant sur ab, a'b'. a"b" et des coniques reposant sur ces mêmes droites et passant par A et B ; ainsi se trouvent engendrées deux surfaces, l'une du second, i'autre du quatrième ordre, ayant en commun les axes aby a'b'. a"b" et les deux droites qui s'appuient à la fois sur ces axes et sur AB. L'intersection de ces surfaces se complète par une cubique gauche, précisément celle dont nous venons de parier.

Toutes Ut surfaces T-, passent par la droite AB «/ par une cubique gauche^ lieu des points doubles des courbes dégénérées de la gerbe.

l-t. Pour étudier la surface analogue à T7 dans le cas de la gerle de Reye, faisons encore

by = yi~y*, b'^=^y2-y„ b'^ = yi — y,.

On vérifie aisément que l'on a, dans ce cas

(haa'a") = [b'aa'a") = {b"aa'a") = + 1, {abb'b") = [a'bb'b") = {a"bb'b") = — 1.

Dans le déterminant

Tt = I a:,^, — ajb, ibaa'a") a^b^b; + {abb'b") b^a/X «A I •

les termes de la seconde colonne deviennent

Viiyi — y^)iy2 — y4)(ys — »/») — yi«/2,î/5(</. — 1/4) (i=i.2, 3v,

ils Font tous divisibles par </-, et T7 se décompose en un plan f/4 et une surface Te. On a ainsi le ihéoièrae connu :

Dans la gerbe de Re.ya, le lieu des contacts des plans osculateurs menés pai- un pnut est une surface du sixième ordre.

Pour Is. gerbe de Sturm, le résultat est beaucoup plus simple : lorsque l'on pose a' = b, a'' = b', les déterminants (baa'a"), {b'aa'a")^ {a'bb'b"), [a"bb'b") sont nuls et l'équation du lieu considéré se réduit à

ou encore

{ahb'b")aj)lb'^

{abb'b")b^b';b\

bb' y y

{abb'b")a^blb'^'b';^

ou enfin, après un petit calcul, et en faisant abstraction des facteurs (abb'b")blb;',

«.W'[Ki:4:)-(:-:-|)]=°'

résultat conforme à celui que nous avons donné dans nos Notes sur les cubiques gauches.

Dans la gerbe de Sturm, le Heu des contacts des plans osculateurs menés par un point est une surface du troisième ordre.

13. L'équation de la surface T-, relative à la gerbe G, établit une liaison entre les points x et y. Cette liaison est très spéciale : elle fait correspondre, à tour, point p, un plan passant par ce point. ï-i l'on idemifie cette relation à une équation linéaire en 2; représentant un plan donné u, on a trois é^a ités satisfaites pour un nombre fini de points p situés dans le plan u. En d'autres termes, la liaison cousidéiée représente un système focal supérieur i^).

{^) R. Sturm, Math. Ann .^ t. 19 et 28. — Amesëdbr, Journ. f* Uath.y t. 97. — Voss, Math. Ann., t. 23.

Faisons observer qae toute gerbe linéaire de cubiques gauches donne naissance à un sys^tème pareil et que }1. Sturm a détermitié, pour tomes ces ger^es, les CHracténs'iqiies du sysiènoe focal en se servant de la géométrie dénuraérHtive. Notie élude nous permet de reirouver des résuitaUi de cet auteur et ceux-ci uous serviront de conuôle.

D'api es une théorie connue, tout système focal supéiieur a trois caraciéristiques : 1° le nombre a de plans répondant à un point (ici a = 1); 2» le nombre p de points répondant à uu plan; 3** le nombre y de fois qu'une droite est dans le plan focal d'un de ses points.

D'autre part, tout système focal supérieur a deux nombres ordinaux {Gradzahltn) : !• l'ordre m de la surface lieu des points dont les plans focaux forment une gerbe de sommet x\ ce nombre est aussi la classe de la développable envelopiie des plans focaux des foinis d'une droite; pour la gerbe G. ce n' mbre tst 7 pour la gerbe de Reye 6 pour celle de Sturm 3; — 2-^ la classe n de la surface envelof pée par les plans Lcaux des points d'un plan; ce nombre est aussi l'ordre de la cuurbe gauche lien des poiiits dont les plans focaux passent par an axe.

Enôn, entre les caractéristiques 'et les nombres ordinaux, on a les relations

Donc y vaut 6 dans la gerbe G, 5 dans celle de Reye, 2 dans celle de Sturm.

La déterniination de |3 ou de « doit être différée.

96. Jusqu'ici nous avons pu éviter de résoudre les équations d'une cubique gauche par rapport aux x\ pourtant, dans ia recherche du plan oscuiiiteur, cette résolution n'a éié que dissimulée. Il reste un certain nombre de questions pour lesquelles il ne parait guère possible de se priver de la représentation paramétrique explicite, encore que les calculs soient pénibles.

Afin de les simplifier un peu, nous les ferons pour la cubique particulière

en remettant, jusqu'au résultat final, l'introduction des facteurs a, a', a", qui affectent les formes a^, a^', a^'.

Les équations précédentes résolues! par rapport aux x donnent ^Xi={a — œh a' — wb' a" — (ub"U\ l'indice i du détertninant imiique que les symboles a, b, ••• doivent prendre, dans les lignes successives, les indices 1, 2, 3, 4, sauf i\ de plus ce déterminant sera précédé du signe -\- o\x — suivant que i sera impair ou pair.

On peut écrire aussi, en ordonnant par rapport à w,

çXi =» [aa'a")i — w [(6a'a")< + (»&'»")< -f- (aa'6").]

-f 0)2 {{hh'a")i + {})a'b")i + {ab'h")i\ — œ* {bb'b")o Remplaçons les x par les expressions proportionnelles dans l'équation )a^ + !^< + '•'«x = 0 qui représente un plan n passant par A. Après cette substitution, le terme indépendant de w est identiquement nul, c'est à dire que l'équation du plan est vérifiée pour w = 0, et cette valeur du paramètre caractérise le point A. Divisant alors par cv, on obtient une équation du second degré

'—l{ab!]'a") I mabb'a") -^{aha'h")] i l{abb'b")

— p(a'«ôV') -^ J A- ij[[a'bd'a'') -\-{a'iih'b'')] — (ù'\-[- u.[a'bb'b'') = 0. \—v{a"aa'b") \-{-v[{a"bJb"}-\-{:i"ab'b")] \-\-v {a"bb'b")

Les racines de cette équation sont les paramètres des points, autres que A, où le plan tt coupe la cubique gauche. Pour que ce plan soit tangent, il foUt que les racines en w soient égales, ce qui 8*exprirae par la relation

I '/[{ab'ya") -\- {iba'b"}]\2 i l{aba'a") \ / l(nbb'b") \ -f fu [{a'bb'a") + ( l'ab'b" ,] | = 4 + a {a'ub'a") [ X +.« {a'bb'b") •

( + V [{a"ba'b")-\-{a"ab'b")] ) ( + v {a"aa'b") ) \\-v {a"bb'b") )

Cette équation est du second degré en 1, [jl, v et, si ces paramètres

sont considérés comme les coordonnées du plan tt dans la gerbe (A),

l'équation précédente est l'équation tangentielle du cône projetant la

cubique gauche du point A.

Si >, [X, V sont trois constantes, la relation ci-dessus exprime la condition pour que le plan cp passant par A touche la cubique eu un point autre que A. IiitroduisoiiS alors les coefficients a, a', a" : tout déterminant tel que {abb'b"), (abb'a"), {uba'a"), ••• se trouvera multiplié par autant de facteurs a. qu'il contient de symboles a. Ainsi féquation précédente est

homogèoe et du quatrième degré en a, a', a!' . Mais, si l'on y sobstitae,

ttx cù a^' ^ . . • j

à a, a' a", les expreâsioas j— » rr » 77^ » on obtient une équation du

bj, b-c bx

huiùèrae ordre.

Les cubiques de la gerbe G qui sont tangentes à un plan passant par A

engendrent une surface du huitième ordre.

lï. Les équations

représentent une bisécante de la cubique

Si les coefficients }., u, v vérifient la relation du n° précédent, la bîsécnnte en question est une tangente; l'élimination de A, u, v donne le lieu des tangentes à la cubique, c'est-à-dire l'équation de la dévelop pable osculatrice à cette courbe.

Mais les deux équations de la bisécante donnent

/. : u : y = {a'J}'^ — b'^a'^) : (a'^b^ — b'^a^) : {aj)'^ — a^bj) et la substitution, dans l'éga ité du n* précédent, fournit l'équation suivante, dont le premier membre est un covariant important des six formes a, a', a", by b', b".

\ «b:-b:a'')Uabb'a") -{-{aba'b")] )* ) ^{a',b,—b'^aJUa'b'a"b) + (o'ft'/»"«)] J ( +{iJ>:-bjiL)l{a"b"ab')-\-U'b'^ba',-\ \

{ (aX-KiOibaa'a") \ l {a'^b'^ -b'.a'^){abb'b") \

+ 4 + {a:b, - b':a,) {b'aa'a") X | + {<b, - b'M {a'bb'n = 0.

' + («J»; - bX) {b"aa'a") ) ( + (aj>', - bji',) (a"bb'b") ]

En 7 considérant les x comme constants, on a la condition pour que

la déveioppable osculatrii-'e à la cubique donnée passe par un point â?,

ou la condition pour qu'une tangente de cette courbe passe par x.

Si Ton introduit les symboles a, x', a!\ on voit que la relation précédente les contient, d'une façm homogène, au sixième oegré; puis,

Ox ^x flx

si l'on remplace a, a', a" par — » 1 -,, ♦ les X étant les coordon-

^i Ox &i

nées courantes, on a une équation du douzième degré en X.

Les cubiques de la gerde G qui envoient une tangente par un poitit donné engendrent une surface du douzième ordre.

!§. Soit Ux = 0 l'équHtion d'un plnn quelconque ; si l'on y remplpce les X par les fonctions de w éciiies au n° 76. on trouve une relation cubique en w dont les racines sont les paramètres des points de rencontre de la cubique gauche avec le plan u. Voici cette relation

{uaa'a") — co [iuha'a") + {uah'a") + {uaa'b")]