w^ [{ubb'a") 4- {uba'b") + {uab'b")] — oo» {ufb'b

ou, en abrégé,

Aow' + 3A,co» -f- 3A2W + Aï = 0;

les indices des coefficients A sont les degrés des termes que ces symboles représentent, par rapport aux a et aussi par rapport atx a, quand on aura introduit ces derniers paranières.

C'est encore M. Sturm(*) qui a donné l'interprétation géométrique des formes invaiiantes de celte équHtion. duns Je cas où la couibe est définie par la représentation paramétrique de Môbius (Hx : X2'. Xi'. Xi,= co' : w' : w : 1). Il a montré que le Hessien de Ja forme cubique a pour racines les pjiramètres dfs points de la cubique alignés sur Je pôle du plan u dans le système f.ical défini par Ja couibe. La droite d qui joint ces points est associée au plan u par l'intermédiaire de la cubique donnée; si celle-ci décrit une gerbe linéaire, Ja droite d décrit une coDgruence.

Pareillement le oovariant cubique représente un plan v associé au plan u et, qunnd la cubique décrit une gerbe, le pian t; enveloppe une surface.

Nous devons nous borner à ir.diquer ces problèmes; leur résolution, par la méthode actuelle, paraît en effet impraticable.

Le discriminant de la forme cubique est

4 (A„A, - k\) ik,k, - k\) - {k,k, ~ k,k,Y;

son évanouissement représente, si les u sont variables, l'équation tan-

gentielle de la cubique gauche; si les u sont constants, il exprime la

condition pour que le plan u soit tangent à la courbe Le poids de ce

discriminant est 6; donc, quaijdon intioduira les paramètres «, a', ex.",

(*) R. Sturm, Darstellùng binàrer Formen aùf der cubischen Raumcvrve (Journ. f. Math., t. 86).

ceux-ci figureront au sixième degré et quand enfin on remplacera

a, a . a par — i — ' t-; » on aura une équation du douzième degré en x. bx 0':g bx

Les cubiques fe la <ferbe G qui louchant un plan donné engendrent une sur/ace du doitiiime ordre.