Jolm Stuart Mill, \ System of Logic, B. II, ch

Tout d'abord Stuart Mill est bien forcé de reconnaître que les axiomes de géométrie ou d'arithmétique, ainsi que le principe de contradiction qui en est inséparable, offrent un caractère de nécessité et d'universalité, indépendant de l'expérience, et même supérieur à toute expérience. Mais ce n'est là, dit-il, qu'une apparence trompeuse et une illusion facile à dissiper.

En ce qui concerne la géométrie, si l'on prenait à la i/iiiusion lettre les définitions euclidiennes du point, de la ligne, tions de de la surface, et les théorèmes qui s'y rattachent ; si on nie. les considérait comme de pures abstractions, indépendantes des réalités qui tombent sous nos sens, aussitôt la science géométrique n'aurait aucun objet réel et s'abîmerait dans le néant.

Les définitions d'Euclide supposent, en effet, que les surfaces n'ont pas d'épaisseur, que les lignes n'ont pas d'épaisseur ni de largeur, que les points n'ont ni épaisseur, ni largeur, ni longueur ; or de tels objets seraient vides de toute réalité et chimériques. 11 faut donc les interpréter plus largement, y voir de simples approximations. La surface est ce qui a le minimum visible d'épaisseur; la ligne, ce qui a le minimum d'épaisseur et de largeur ; le point, ce qui a le minimum d'épaisseur, de largeur et de longueur. Ainsi l'objet de la géométrie devient réel et ses définitions s'illuminent.

Quant aux axiomes et aux théorèmes géométriques, Liiiusion celui-ci par exemple : Deux lignes droites, seraient-elles axiomes prolongées à l'infini, ne peuvent contenir un espace ; il ôiques. est clair que toute leur évidence vient de l'expérience sensible, ou tout au moins d'une expérience imaginaire. Car si vous ne pouvez prolonger ainsi réellement à Tinfini les lignes tracées sur le tableau noir, vous le pouvez mentalement ; et vous le faites, en effet, chaque fois que vous voulez comprendre l'axiome en question, vous prolongez par l'imagination chaque ligne droite,

L'illusion

des axiomes

et vous constate/, que dès qu'elles commencent à s'infléchir pour se rejoindre et contenir un espace circulaire, elles ont cessé d'être des lignes droites.

L'axiome n'est donc que le résumé de cette expérience sensible, et ne peut avoir d'autre portée au delà des expériences sensibles.

11 en est de même des axiomes et des définitions de l'Arithmétique. Par exemple, la définition du nombre mat'iqlTes. trois : trois est deux plus un ; c'est une vérité d'expérience. Prenez trois billes ; groupez-les en trois parties : 1 -\- 1 -f l, ou bien seulement en deux parties : 2 + l,et vous constaterez que le nombre reste le même. Donc la définition en question n'est que la reproduction d'une évidence sensible. Du reste, pour la faire comprendre à un enfant, vous êtes obligé de répéter l'expérience,sous ses yeux, avec des billes ou d'autres objets sensibles. Dès qu'il a vu l'identité de l'expérience et de la formule mentale, la formule est comprise.

Stuart Mill en dit autant des axiome* mathématiques, qui semblent présider a priori, comme des lois préexistantes, à la confection de nos additions, soustractions, multiplications et autres opérations mathématiques, et qui au contraire n'en sont que le résultat et le véritable résumé. D'ailleurs tous ces axiomes mathématiques, comme l'axiome initial qu'ils présupposent : 1 = 1, ne sont que des approximations et des à peu près. Jamais un objet d'un kilo n'égalera parfaitement un autre objet d'un kilo ; jamais une route d'un kilomètre n'égalera pleinement une autre route d'un kilomètre. Prenez des balances ou des décamètres de grande précision, vous trouverez que les deux objets ne sont égaux qu'à peu près ; et en mesurant de nouveau les deux routes, avec des mesures plus précises, vous trouverez encore entre elles une différence, sans doute très légère, que vous pourrez appeler une quantité négli-

geable, mais qui n'en existe pas moins, et n'en détruit pas moins l'égalité rigoureuse. Les axiomes ne sont donc, comme les expériences qu'ils représentent, que des approximations.

Le principe de contradiction lui-même, et les au- L'iiiusion très principes premiers, n'échappent pas à la même dpep"e" explication purement expérimentale. Au dehors, nous dfcuôn. expérimentons que la lumière et les ténèbres s'excluent; de même, le mouvement et le repos, le son et le silence, l'avant etl'après. Au dedans de nous-mêmes, nous avons pareillement conscience, que le oui et le non, l'affirmation et la négation s'excluent, et nous exprimons ce fait par la formule que les contradictoires s'excluent, ou, ce qui revient au même : qu'une chose ne peut être en même temps et n'être pas. L'empirisme suffit donc à expliquer les propositions idéales.

Tel n'est pas notre avis, et nous allons montrer l'insuffisance radicale de ces explications.

D'abord, pour nous prouver que la nécessité de nos Défense propositions idéales n'est qu'illusoire, Stuart Mill a com- uonsBdé mencé par nous montrer que les termes eux-mêmes de mefrle" ces propositions étaient illusoires. Comme exemple, il a cité les notions idéales de la géométrie : points, lignes, surfaces. Ces abstractions étant, pour lui , vides de toute réalité, — ce qui entraînerait l'irréalité de la géométrie tout entière, — il propose de leur donner un corps, en considérant la surface avec un minimum d'épaisseur, la ligne avec un minimum d'épaisseur et de largeur, le point avec un minimum d'épaisseur, de largeur et de profondeur.

Sans discuter ici cette transformation des notions euclidiennes, qui n'assurerait aux théorèmes de la géométrie qu'une exactitude approximative, et dépouillerait les sciences exactes de leur certitude parfaite, — bornons-nous à répondre à Stuart Mill, que les points, les

lignes, les surfaces d'Eue] ide, loin d'être des chimères, sont des réalités, puisqu'ils sont des modes réels. Sans doute, ils ne sont pas des substances, et Stuart Mill a pu dire que « leur réalisation parait incompatible avec les conditions physiques de notre globe, et vraisemblablement avec celles de l'univers entier ». Mais il s'agit de s'entendre : si leur réalisation à part, séparée des substances étendues, ou séparée des autres qualités de la même substance, est chose impossible, leur réalisation dans les substances mômes est un fait quotidien. Qui a pu expérimenter des corps sans surface réelle, des sections de surface sans une ligne réelle terminant ces sections, des sections de lignes sans un terme réel appelé point? Assurément, dans la nature, les modes réels des êtres ne sont pas séparés des êtres eux-mêmes, ni les modes séparés les uns des autres, et ne peuvent exister à part ; mais qui empêche de les étudier à part? L'abstraction n'est pas un mensonge, mais une nécessité de l'esprit humain, obligé de diviser et de subdiviser les difficultés pour mieux les résoudre, et d'analyser chaque partie et chaque aspect des êtres, avant de s'élever à la synthèse de leur unité. C'est la marche naturelle de l'esprit humain dans la conquête de la vérité totale, dont le merveilleux succès est chaque jour démontré par le progrès des sciences et leurs prestigieuses découvertes.

Défense Les définitions euclidiennes ne sont donc nullement

«le» • 1 1 • xi • •

axiomes illusoires, et leurs premiers principes ne le sont pas

métrie. davantage.

Les axiomes géométriques, cités par Stuart Mill, tels que : la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre; ou bien celui-ci: deux lignes droites prolongéesà l'infini ne peuvent renfermer un espace, — ontsans doute une origine expérimentale. C'est l'expérience qui fournit les matériaux : soit les images de chaque tonne,

soit, si l'on veut, l'image des rapports des termes comparés. Mais ces images des termes ou de leurs rapports ne sont encore ni l'idée, ni le jugement idéal. L'intuition de l'esprit, saisissant dans ces images concrètes et passagères les types idéaux qu'elles expriment, dégage ces types, et découvre entre ces termes des rapports idéaux nécessaires, universels et éternellement possibles. C'est là une véritable découverte de l'esprit, bien différente d'un simple résumé d'expériences concrètes. Un résumé de faits particuliers et contingents serait lui-même contingent, sans aucun caractère de nécessité et d'universalité.

Résumez, si vous voulez, les épisodes de l'histoire de France, vous ne ferez jamais de ce résumé un type universel et nécessaire, applicable à toutes les histoires de tous les autres peuples. Le résumé de certains faits ou de certaines expériences, n'est donc pas une explication de nos propositions idéales, Rappliquant à tous les temps et à tous les lieux. L'explication de Stuart Mill n'en est pas une : c'est plutôt une négation déguisée d'un fait qui le gêne.

Son explication des axiomes mathématiques n'est pas Défense

. . . 0 ., . des

meilleure. Dans la proposition 2 + 1 — à, il y a autre axiomes

r 'j T ■ c •+ mathe-

chose qu'un simple fait ou le résume de plusieurs taits matiques. semblables ; il y a encore et surtout une forme idéale et une impossibilité absolue qu'il en soit autrement. Sans cette impossibilité, tous les axiomes mathématiques crouleraient à l'instant, puisque l'on ne pourrait jamais affirmer que, dans les additions précédentes, 2 + 1 ayant donné 3, ils donneront encore 3 dans les additions suivantes. Au lieu d'une science exacte, les mathématiques seraient devenues une science purement conjecturale, et même tout à fait aléatoire, car s'il est possible que 2 + 1 fassent plus ou moins de 3, il n'y a aucune raison

d'affirmer que l'écart ne sera jamais que d'une valeur minime et d'une quantité négligeable.

Aussi sommes-nous surpris que Stuart Mill ait pu accorder que l'axiome initial 1 = 1, sans lequel toutes les mathématiques crouleraient, demeure encore un axiome d'une exactitude approximative et pratiquement suffisante. Confondant de nouveau l'axiome idéal avec les faits d'égalité vulgaire de deux routes d'un kilomètre, ou de deux poids, — confusion qui fait le fond môme du système de Stuart Mill, — il en conclut, de ce que les deux routes ou les deux poids, après un mesurage plus précis, pourraient n'offrir qu'une égalité approximative et une différence négligeable, que l'axiome lui-même peut être d'une valeur approximative et pratiquement suffisante.

Mais de quel droit supposer que l'erreur des premiers mesurages n'est que d'une quantité négligeable ? N'y a-t-il jamais des erreurs plus fortes et même grossières ? Et de quel droit en conclure que l'axiome 1=1 exprime des expériences très parfaites et à peu près exactes, — au lieu d'expériences dont l'inexactitude, légère ou grave, demeure inconnue ? La certitude approximative de Stuart Mill ne peut remplacer l'incertitude complète, que par un choix arbitraire et par un défaut de logique. Du reste, nous allons revenir à l'abîme de l'incertitude totale par une autre voie.

Défense Après avoir ruiné la certitude absolue du principe ddpePd" d'identité, 1 = 1, Stuart Mill ne pouvait s'arrêter avec diaion. plus de respect devant le principe de contradiction. Celui-ci pareillement n'est pour lui que le résumé de certains faits de conscience : l'union des contradictoires nous répugne, parce qu'elles s'opposent comme le mouvement et le repos, le bruit et le silence, etc. Mais si celte répugnance n'est plus motivée par la vue d'une impossibilité idéale, mais seulement par un sentiment psy-

ehologique, quelle sera la valeur de ce sentiment ? 11 vaudra ce que vaut notre tempérament, notre mentalité ; c'est-à-dire qu'il sera inconstant et mobile comme eux. Peut-être d'autres tempéraments et d'autres mentalités sentent autrement, et goûtent au contraire ce mélange des ténèbres et de la lumière, du chaud et du froid, du doux et de l'amer. La certitude n'est plus qu'une simple affaire de tempérament et de mentalité ! Mais n'est-ce pas là précisément l'hypothèse de Kant, et le positivisme n'a-t-il pas fini par rejoindre le Kantisme, comme deux frères ennemis et également sceptiques, finissent par s'entendre et se donner la main. Hélas, cette paix ne s'est faite que sur les ruines de la certitude, et doit demeurer elle-même une paix incertaine !

l"Obiec-

Après le plaidoyer en faveur de sa thèse, Stuart Mill tfon de a ajouté contre la thèse opposée un vrai réquisitoire, au- mu. quel nous tenons à répondre.

D'après lui, nous nous appuierions sur deux arguments fondamentaux faciles à ébranler.

Notre premier argument serait celui-ci : L'observation ne peut nous donner que des termes, et non le rapport entre deux termes. Donc l'observation ne suffit pas à nous donner la proposition idéale qui formule ce rapport.

Or, Stuart Mill soutient que non seulement l'expérience donne les termes, mais encore leur rapport, et que nous ne concevrions jamais les rapports, si l'expérience ne nous les montrait pas. Ainsi, pour comprendre qu'une ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre, il faut, à l'aide défigures, la comparer avec la ligne courbe ou la ligne brisée. La différence saute aux yeux, dès que vous avez confronté les figures, tandis

que sans ce rapprochement expérimental, nous ne la comprendrions jamais.

Sans doute, ajoute-t-il, l'expérience extérieure n'est pas toujours possible, mais alors il faut que l'expérience imaginaire y supplée, comme dans l'exemple déjà donné, il faut prolonger mentalement à l'infini une ligne droite pour comprendre qu'elle ne peut, sans cesser d'être droite, se recourber pour embrasser un espace circulaire. Or l'expérience imaginaire vaut l'expérience extérieure, c'est toujours la vue d'un fait sensible qui s'exprime dans la formule idéale ; et ce fait sensible donne à la fois les termes et leur rapport.