CHAMP CRÉÉ SUR L’'AXE PAR UN FIL FIN EN HÉLICE
1° Insuffisance de la méthode de la couche continue.
La méthode de la couche continue a l’avantage considérable de conduire à des résultats exprimés de façon explicite et simple. Elle fournit le champ électromagnétique en tout point de l’espace et se prête à un calcul facile de la puissance transportée. Elle a permis de développer une première théorie du tube à ondes progressives [4, 18]. Mais c’est une méthode approchée et a des limites qui sont la rançon même des simplifications sur lesquelles elle repose. Donnons deux exemples. On a vu que le champ sur l’axe du cylindre conducteur était pure-
ant an=— 0 reste dans égale
NÉTIQUES GUIDÉES
ment longitudinal. Un électron se déplaçant sur cet axe n’est donc soumis à aucun effet transversal. Cet effet tel qu’il a été étudié par certains auteurs
[26,6] n’est sensible que si le faisceau axial des élec-
trons d’un tube à ondes progressives a une section notable. Or si l’on revient à hélice proprement dite, la dyssymétrie du circuit rend à peu près évident le
‘fait que le champ sur l’axe possède une petite
composante transversale. Il serait intéressant d’examiner si l’effet perturbateur de cette composante est négligeable ou non. La méthode de la couche continue n’est pas capable de résoudre le problème en raison de la symétrie de révolution qu’elle suppose a priori.
Autre objection : la be continue ne «rayonne » pas. Elle ne peut donc pas rendre compte, par exemple, des propriétés de l’antenne en hélice. Cependant il est intuitif que si une hélice est le siège d’une onde progressive de courant la parcourant avec la vitesse de la lumière, son fonctionnement global doit être profondément modifié si la longueur de la spire devient voisine de À.
Une étude directe de lhélice, susceptible de fournir des résultats qu’il serait impossible d'obtenir par la méthode de la couche continue, complétera donc utilement celle-ci. Nous ferons l'hypothèse simplificatrice que le conducteur enroulé en hélice est sans épaisseur. Il n’y aura de difficultés qu’au voisinage du fil. Nous les examinerons au chapitre V. Dans une première étude nous nous bornerons à l'étude du champ en un point quelconque de l’axe de l’hélice, étude dont les avantages sont les suivants :
1. En un point de l’axe on est suffisamment éloigné de l’hélice pour que l’approximation de fil: infiniment mince soit raisonnable.
2. La symétrie du cireuit autour de l’axe rend les calculs relativement élémentaires.
3. Les expressions du champ sur l’axe permettront d'étendre notre méthode de calcul du champ dans tout l’espace (chapitre V).
4. Les résultats obtenus permettent de justifier ou de corriger éventuellement la théorie unidi-
mensionnelle du tube à ondes progressives.
2° Hypothèses.
On suppose que l’hélice illimitée (fig. ITT-1) : (ITT-1) C=ho=atga«p est le siège d’une onde de courant d’intensité : Ts) eiwi
“ou, Srest l'arc:
AD L’hélice porte des charges électriques réparties avec la densité linéique Q(s) ei®’ reliée au courant par la condition :
(IIT-2) J'(s) + jo Q(s) — qui exprime la conservation de l'électricité. Cette double distribution crée en un point quelconque
(afcos &)o® = É/sin «.
NS ENTER teur retardés :
= EE 2 d - + :
ce Der |
NE
& { * Chi) n EN Ÿ
Fic. III-1. — Hélice filiforme.
où avec L. DE BroGLie [42] on pose:
(HT-4) ge) = e-Ke/e, o distance PM du point courant sur l’hélice (a, +, Ô) au point fixe M{r, 0, x) est donnée par :
(HIL-5) p?= 7? + a —2ar cos (0 —) + (2 —C)°.
Le champ électromagnétique dérive des potentiels par les formules :
E (M) =—grad V—-jou A, = H (M) = rot À.
Traitons le cas de l’onde sinusoïdale de courant non atténuée :
(III-7) d(s) = Les d'amplitude 1, se propageant le long du fil, dans le sens des arcs croissants, avec une vitesse :
(III-8) ct= ok que, pour plus de généralité, nous supposerons différente de la vitesse c des ondes libres. Le problème, essentiel, de la vitesse de propagation le long du fil sera discuté plus loin (chapitre V). On se réserve ici la possibilité de tenir éventuellement compte du ralentissement des ondes du fait des pertes ohmiques ou d’un procédé artificiel (ligne de GouBau). On néglige toutefois l’affaiblissement possible de l’onde.
D’après (2) on aura :
(HI) Q(s) = (Ko) Le, d’où, en posant :
(II10) CARS (IA) VW) = DE [Ter Ye) at
tentiels scalaire et vec. FA
Le NRC MAN
ou encore :
A= pente fTeft Y(e) sin (0 —%) dE (ITI-14) A2 peotga JT ef qe cos (0 —) dû (I11-15) 1/ Fear bd fr pote
Introduisons la notation commode :
(TIIA6) -S(w) = fer Ye) dt.
Il vient :
V = (In/4x) (B/k) S(8)
l { A\% ENCRES \Ù El En | = A Fes cotga| 6 s(8+ 5) e s(8 i)| (I11-19)
ES: Let j4 pes —jf Le, A pooteale s(B+;)+e s(8 5) | (II1-20)
A, = (IJän) S(B).
3° Expressions dés potentiels sur l’axe.
Lorsque le point M est situé sur l’axe Oz (r — 0) on peut calculer explicitement l'intégrale de (16) Le calcul est fait plus loin, en Annexe.
(IT-21) S(w) = 2e-iv Ko (aVw?— HR).
Le repère attaché à M est alors indéterminé.
Fixons-le de façon que la composante en r rencontre l'hélice : z— A0. Autrement dit, lorsque M décrit l'axe, le repère attaché à M est animé d’un mouvement hélicoïdal guidé par l’hélice.
Introduisons une quantité Y, qui jouera un rôle très important aux chapitres suivants :
(ITI-22) Yn = (nfh— BB) — ke ;
on aura les expressions explicites suivantes :
(1-23) V = 1 (1/27) (8/4) Ko (ayo) 8 (III-24) 4, = — 5 cote «[ Ko(aY:)
— Ko(ay-1)]e "ils (ITI-25) A4; = cote a [Ko(aY:) + Ko (ay)l e—iPz (11-26) 4, = (1/27 Ko(aÿo) 618.
Les potentiels se propagent le long de l’axe avec la vitesse (III-27)
projection de la vitesse le long du fil. La symétrie hélicoïdale de leur répartition est masquée ici par le choix du repère mobile.
&/8 = © sin «/k’= c’sint
ee ee sont donnés par les expressions (6).
L'La composante Æ; s'obtient immédiatement à
partir de (23) et (26) :
dV oc PE 1e la k
Le calcul des autres composantes, sans être aussi. simple, ne soulève toutefois aucune difficulté sérieuse.
els # K5(&Yo}-
a) Champ électrique :
On a :
| ARE (ITI-29) Es=———jkn4.
Partant de (16) et (17), on a :
DV InBD fre Dr = nr or Je F6 bp) dE
Î Fe , ù ÉTAIT:
Or, d’après (5) :.
dop/dr =[r—acos (0—%)]/0 donc sur l’axe (r — 0) :
dp/dr = — acos (0—)/p.
En posant :
(ILS0) TD Se DA e-wX LE d&, il vient immédiatement :
Le ire [er TB +7, x) +e T(B—F. k)] On trouvera en Annexe le calcul de l'intégrale : (III-32) T(w, se e—iwe Von} K,(aV'w?— ke).
Portons a (32) et (24) dans (30) ; il vient :
.(I-33) E,=(In/8k)e-b: {Re cote a [ Ko(aY:)
— Ko(ay-1)] — Blya Ka(ayr) + V1 Ki (a Y-1) À. Le calcul de : E, = — (1 /r) oV /20 — j knA, est
en tous points analogue. On a sur l’axe :
ÿ HO # Ba 1 es il — ei .
In B=:
(35) = Le 182 [vs Ki (ay) — a Ka(a-1)) et enfin :
(1-36) Es = —j(1n/4rk) eP: {le cotg a [ Ko(aY:) + Ko(aY-1)] — 8 [Y1 Ka (a V1) — Y-1 Ki (a Y-1)] L. b) Champ magnétique.
Le calcul des expressions :
H, = (1/r) dA4z/00—9A0/dz Ve = D) Ar/dz—dAz/dr = (1}r) d(rAo)/dr — (1/r) do Ar/d0 est nu comme précédemment en veillant, toutefois, à prendre les dérivées des composantes de
PERS a dD 4 ÉTIQUES GUIDÉES ,
