Exposê de la méthode de caleul

Nous nous proposons maintenant d'illustrer les considérations générales du chapitre précédent en traitant complètement le problème du fil infiniment mince enroulé en hélice. Nous évaluerons d’abord le champ en tout point de l’espace, l’emploi de séries divergentes, mais sommables, permettant de surmonter la difficulté présentée par la nature singulière du circuit. Nous justifierons ensuite l'existence d’une onde de courant de vitesse ec le long du fil. Enfin nous discuterons quelques applications des résultats obtenus et nous verrons leur utilité dans les calculs numériques intéressant la technique:

Le cylindre de rayon & sur lequel est enroulé le fil sépare une région «intérieure » d’une région Cextérieure » au circuit envisagé. Les expressions

(1V-23) et (IV-24) du chapitre précédent définissent

. ni

Te 3 MAS SA SAP) PARRE ES 1 qd es ond S qui se propagent respectivement dans chacune de ces régions. Elles seront complétées par les expressions analogues des coefficients L,, M,, N, relatifs au champ magnétique. Le raccordement des solutions intérieures et extérieures à travers la surface du cylindre permet de calculer les constantes d'intégration. Mais on se heurte alors à une double difficulté provenant du fait que le circuit est un fil sans épaisseur, c’est-à-dire une ligne singulière du champ électromagnétique. D’une part, la direction du champ électrique et du champ magnétique n’est pas déterminée sur le fil, où, d’autre part, les deux champs deviennent infinis.

On peut lever la première difficulté, c’est-à-dire fixer une orientation des champs sur le conducteur, en essayant d’assimiler celui-ci à un ruban très étroit et sans épaisseur, enroulé sur le cylindre en hélice à spires non jointives. Le fil sera considéré comme un ruban dont on aurait fait tendre la largeur vers zéro. La concordance des résultats avec ceux du chapitre III constituera la justification d’une hypo- ‘thèse qui peut sembler assez arbitraire a priori.

Le raccordement des solutions consistera à égaler les champs électrique et magnétique sur la surface du cylindre sauf sur l’hélice : = h0 où certaines des

composantes peuvent devenir infinies. Ainsi, par

k exemple, la différence El*-El%t) sera nulle sur la surface du cylindre r — a sauf sur l’hélice, où elle est infinie. Elle a done les propriétés de la fonction de Dirac à (z/h— 6) de la variable z/h — 0.

Mais les champs sont définis sous forme de développements trigonométriques. On est donc conduit à utiliser un développement de FouRIER-STIELTIES de la fonction de Dirac Ô(0) dans l'intervalle

+0co

de 7, + Tr): 9x on ei” divergent, mais som-

n=—0O mable, par exemple en moyenne arithmétique [49]. Dans le calcul formel qui suit il sera alors convenu d'évaluer les diverses composantes du champ par les sommes de CEsAro de séries sommables (C, 1). On reviendra ensuite sur la discussion des convergences.